賞析浙江高考立幾題中的異曲同工之妙

徐雅平

(浙江省柯橋中學，312030)

歐幾里得說過“幾何無王者．”立體幾何對于考查學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算這些核心素養(yǎng)有很好的作用,所以是高考的重點,也是難點．特別是選擇、填空題,更是一些學生害怕的考點．斜線和平面所成的角是高中立體幾何教材中的重要內(nèi)容, 筆者通過研究浙江省高考,特別是高考改革數(shù)學文理不分后的試卷，發(fā)現(xiàn)這些題目都有異曲同工之妙——往往借助最小角定理和三垂線定理即可破解.這也提示了高考越來越回歸到考查基本知識、基本技能、基本思想．本文希望對高三的教學帶來一定的啟發(fā)．

一、最小角定理秒破中檔題

最小角定理指與平面斜交的直線與它在該平面內(nèi)的射影的夾角不大于直線與平面內(nèi)其他直線的夾角．

例1(2019年浙江高考題)設三棱錐V-ABC的底面是正三角形,側棱長均相等,P是棱VA上的點(不含端點),記直線PB與直線AC所成角為α,直線PB與平面ABC所成角為β,二面角P-AC-B的平面角為γ,則

(A)β<γ,α<γ(B)β<α,β<γ

(C)β<α,γ<α(D)α<β,γ<β

分析本題以三棱錐為載體,綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角概念.

解法1綜合法

綜上，選B.

解法2特殊位置法

解法3最小角原理法

由最小角定理知β<α；對正四面體V-ABC，記V-AB-C的平面角為γ′(顯然γ′=γ)，則β<γ′=γ,故選B.

評注顯然，用最小角定理可快速破解問題.此題與下述2018年的第8題也是非常相似,都是比較角的大小.

例2(2018年浙江高考題)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形,側棱長均相等,E是線段AB上的點(不含端點),設SE與BC所成的角為θ1,SE與平面ABCD所成的角為θ2,二面角S-AB-C的平面角為θ3，則( )

(A)θ1≤θ2≤θ3(B)θ3≤θ2≤θ1

(C)θ1≤θ3≤θ2(B)θ2≤θ3≤θ1

解由最小角定理，可快速得到最小角是θ2,且θ3≤θ1，故選D.

二、借助三垂線定理比較面面角的大?。?/h2>

由三垂線定理可知，平面內(nèi)的一條直線,如果與穿過這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直．以例2為例,應用三垂線定理可以給出如下解法.

(A)γ<α<β(B)α<γ<β

(C)α<β<γ(D)β<γ<α

三、巧妙轉化后運用定理

有些題目為了增加區(qū)分度,可能不是直接以線面角和線線角比較大小的問題出現(xiàn),但其實只要巧妙轉化,一樣可用最小角妙解難題．

例4(2015年浙江高考題)如圖5,已知?ABC中,D是AB的中點.沿直線CD將?ACD折成?A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則( )

(A)∠A′DB≤α(B)∠A′DB≥α

(C)∠A′CB≥α(B)∠A′CB≥α

分析本題作為高考壓軸選擇題,看似和最小角定理無關,但只要巧妙轉化,也可用最小角定理和三垂線定理求解．

解如圖6,在?ABC中，作AF⊥DC于點E,翻折后,顯然∠A′EF=α,A′E=AE，A′D=AD，∠A′DB=2∠A′AB,2∠A′AE=α,∠A′AE就是A′A與平面ABC的角，所以根據(jù)最小角定理，∠A′AE≤∠A′AB，所以選B.

現(xiàn)在的新課程倡導回歸教程,回歸知識點本質(zhì)．教學中可以多啟發(fā)學生去思考,各類題型找本質(zhì)．下面的兩道變式訓練題供參考,以便讀者更好地感覺這些方法.

變式1如圖7，在?ABC中，∠ACB=90°,∠CAB=θ，M為AB的中點.將?ACM沿著CM翻折至?A′CM,使得A′M⊥MB，則θ的取值不可能為( )

(A)α<θ<β(B)β<θ<α

(C)β<α<θ(D)α<β<θ

(請讀者自己完成作圖)

參考答案：1.A;2.D.