巧用圓的幾何性質求解解析幾何題

劉建華

(江蘇省揚州大學附屬中學,225000)

解析幾何作為高中數(shù)學的重要內容之一,一直在高考試題中占據(jù)重要地位.這類題往往綜合性強,求解過程復雜繁瑣,使不少學生望而生畏.其實，在解題過程中,如果巧妙運用數(shù)形結合,比如平面幾何中圓的幾何性質,不僅可以避免由于方法繁瑣以致得不到正確答案的困惑,而且能在輕松解決問題的過程中充分感受到數(shù)學的魅力.

一、利用圓的定義

平面內到定點距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心,定長為半徑的圓.在求動點軌跡方程時,如果能依據(jù)題目條件及圖形特點,分析出定點和定長,則由圓的定義可以直接確定點的軌跡.

解如圖1,分別延長F1P和F2A交于點B.易知?ABF1是等腰三角形,AB=AF1，且P是F1B的中點.

由圓的定義，可得點P的軌跡是以O為圓心,4為半徑的圓.所以，點P的軌跡方程為x2+y2=16.

評注此題抓住關鍵條件AP既是角平分線,又是垂線,根據(jù)等腰三角形的三線合一,得到P為線段BF1的中點;再由橢圓的對稱性知O也是F1F2的中點,由中位線性質得OP為定長,從而確定點的軌跡,避免了用解析法求方程的繁瑣運算.

二、利用圓周角性質

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等;相等的圓周角所對的弧也相等;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.解析幾何題經(jīng)常涉及角的大小問題,此時不妨利用圓周角的幾何性質構造出圓，并巧用其性質解題.

若切點Q在x軸上方(如圖3),因為直線l在x軸上方的所有的點(除點Q)都在圓外,由圓的幾何性質可知,這些點對點F1、F2的張角均小于∠F1QF2；若切點Q在x軸下方,同理可知∠F1QF2即為所求的最大角.

由圓M經(jīng)過F1、F2兩點,可知圓心M在y軸上.又因為圓M與右準線l相切,故圓M的半徑r=OP=2.連結MF1、MF2,有

評注此題由題中條件∠F1QF2為動點P對兩定點F1、F2所張的角,聯(lián)想到圓周角的性質構造圓,并結合題中條件,找出角之間的大小關系,確定最大角,從而使得問題簡單直觀,目標明確.

解先確定臨界狀態(tài),即∠F1PF2為直角時點P的橫坐標.若∠F1PF2為直角時,則點P在以F1F2為直徑的圓x2+y2=6上(如圖4).

三、利用垂徑定理及推論

對于一個圓和一條直線來說，如果這條直線具備下列五個條件中的任何兩個，那么它也一定具有其它三個性質:① 垂直于弦;② 過圓心;③ 平分弦;④ 平分弦所對的優(yōu)弧;⑤ 平分弦所對的劣弧(當以③ 為題設時，“弦”不能是直徑).

例3已知平面上點P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0.過點P的動直線l交圓C于A、B兩點,M為線段AB中點.

(1)求點M的軌跡方程;

(2)當OP=OM時,求直線l的方程及?POM的面積.

解(1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,故圓心C(0,4),半徑為4.

(2) 由OM=OP，知點O在MP的垂直平分線上(如圖5).

評注此題根據(jù)弦的中點、弦的垂直平分線等條件多次使用了垂徑定理及其推論,通過尋求圖形的幾何關系,不斷將問題轉化,使得解法簡潔清晰,提高了解題效率.

四、利用直線與圓、圓與圓的位置關系的判定

直線與圓的位置關系分為相交、相切、相離.判斷具體的位置關系有兩種方法:一是確定直線與圓公共點的個數(shù);二是用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系判定直線與圓的位置關系.反之,也可由直線與圓的位置關系得到d與r的數(shù)量關系.

圓與圓的位置關系分為外離、外切、相交、內切、內含.判斷具體的位置關系也有兩種方法:一是確定圓與圓公共點的個數(shù);二是用圓心距d與兩圓半徑之和r1+r2、半徑之差|r1-r2|的大小關系判定圓與圓的位置關系.反之,也可由兩圓的位置關系得到圓心距d與兩圓半徑之和r1+r2、半徑之差|r1-r2|之間的數(shù)量關系.

解圓M：(x-6)2+(y-7)2=25,故圓心M(6,7)，半徑r=5.

由Q(x2,y2)在圓M上,得(2+x1-t-6)2+(4+y1-7)2=25,即(x1-t-4)2+(y1-3)2=25,故點P在以N(t+4,3)為圓心,5為半徑的圓上.

評注在此題中,先設出點的坐標,代入題目中的約束條件,得到點坐標滿足的方程;再根據(jù)方程的結構特征確定動點在兩個圓上運動,將點的存在性問題或方程組有解問題化歸為兩圓的位置關系的判定,使問題迎刃而解.

五、利用切線性質

經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;圓的切線垂直于過切點的半徑.在圓的切線問題中,可以利用切線的幾何性質得到直線間的垂直關系,從而進一步解題.

①

評注此題經(jīng)過伸縮變換,將橢圓轉化為圓,求橢圓的切線問題轉化為求圓的切線問題.由于圓中幾何性質更為明顯,故可直接應用幾何性質解題,易于理解,也避免了大量的運算,只需最后還原即可.

變式已知P是直線l:3x+4y+8=0上的動點,PA、PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的切線,A、B是切點,C是圓心,那么四邊形PACB面積的最小值是______.

解如圖7,由題意,圓的方程可化為(x-1)2+(y-1)2=1,故圓心C(1,1),半徑為1.

由此可見，當PC最小時,四邊形PACB的面積最小.

數(shù)形結合思想是數(shù)學解題中重要的思想方法，它可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化,呈現(xiàn)出問題的本質規(guī)律和數(shù)學的內在美.在解決解析幾何問題的過程中,需要我們有一雙善于發(fā)現(xiàn)的眼睛,找出題中隱含的與圓相關的幾何條件或代數(shù)關系；通過構造或轉化,結合圓的幾何性質,簡化運算過程;解題方法也從“單一”走向“靈活”.這將有助于培養(yǎng)學生敏銳的觀察力、創(chuàng)造性的想象力等思維品質.