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    非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜與自相關(guān)的關(guān)系推導(dǎo)

    2020-04-21 05:28:48胡敬安魏冬梅
    關(guān)鍵詞:維納傅立葉廣義

    胡敬安 魏冬梅

    (山東師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,山東 濟(jì)南 250014)

    0 引 言

    佩利-維納準(zhǔn)則指出平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)是1對(duì)傅立葉變換,一般涉及隨機(jī)過(guò)程的教材或書籍通常都會(huì)介紹佩利-維納準(zhǔn)則,有的直接給出結(jié)論[1-3],也有很多教材會(huì)同時(shí)給出該結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程以幫助理解[4-8].但很少有文獻(xiàn)介紹非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系,文獻(xiàn)[9-10]也僅僅介紹了一類特殊的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程:循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜與自相關(guān)的關(guān)系.循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)R(t,t+τ)對(duì)時(shí)間(t)具有周期性,將其在1個(gè)周期內(nèi)對(duì)t進(jìn)行平均即可蛻變?yōu)橐辉瘮?shù)R(τ),然后取傅立葉變換即為循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜,即

    (1)

    式中F表示求傅立葉變換,Pξ(f)為隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度,T0為自相關(guān)函數(shù)R(t,t+τ)對(duì)t的周期.文獻(xiàn)[9-10]只是給出了結(jié)論,沒(méi)有導(dǎo)出過(guò)程,這可能令初學(xué)者感到困惑.鑒于此,本文將對(duì)非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo).

    1 結(jié)論的導(dǎo)出

    隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度定義為所有樣本函數(shù)的功率譜密度的統(tǒng)計(jì)平均.記隨機(jī)過(guò)程為ξ(t),其功率譜密度為Pξ(f),則

    (2)

    其中ΞT(f)為截取過(guò)程

    的傅立葉變換.式(2)中|(ΞT(f)|2可表示為

    將其變?yōu)槎胤e分可得

    (3)

    式(3)的積分區(qū)域Dt1t2如圖1所示.

    圖1 積分區(qū)域Dt1t2

    記t1=t,令t2-t1=τ,則式(3)積分變?yōu)?/p>

    其中積分區(qū)域(Dtτ)如圖2所示.于是

    將其帶入式(2)可以得到

    (4)

    由式(4)可以看出,隨機(jī)過(guò)程的功率譜為其自相關(guān)函數(shù)的二重廣義積分.

    圖2 積分區(qū)域Dtτ

    現(xiàn)將圖2中Dtτ以t軸為界分為上下2個(gè)部分,先對(duì)t積分,再對(duì)τ積分,則式(4)可變?yōu)?個(gè)廣義二次積分

    將2個(gè)廣義二次積分先對(duì)t的積分求極限,再對(duì)τ的積分求極限

    (5)

    應(yīng)注意到式(5)中對(duì)t的2個(gè)廣義積分相等,即

    (6)

    即隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度是其自相關(guān)函數(shù)的時(shí)間平均的傅立葉變換.

    2 討 論

    式(6)所給結(jié)論不僅對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程、還對(duì)包括循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程在內(nèi)的非平穩(wěn)過(guò)程都是成立的.當(dāng)隨機(jī)過(guò)程為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程時(shí),其自相關(guān)函數(shù)R(t,t+τ)與t無(wú)關(guān),即其蛻變?yōu)橐辉瘮?shù)R(τ),所以R(t,t+τ)的時(shí)間平均就是R(τ)自身,此時(shí)有

    即平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度為R(τ)的傅立葉變換,因此佩利-維納準(zhǔn)則只是式(6)所給結(jié)論的1個(gè)特例.

    而對(duì)于循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,其自相關(guān)函數(shù)R(t,t+τ)對(duì)t具有周期性,其在1個(gè)周期內(nèi)的平均等于整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)的平均,即有

    其中T0為自相關(guān)函數(shù)R(t,t+τ)對(duì)t的周期,故

    因此描述循環(huán)平穩(wěn)過(guò)程功率譜與自相關(guān)關(guān)系的式(1)也只是本文結(jié)論式(6)的1個(gè)特例.

    另外,如果對(duì)自相關(guān)函數(shù)R(t,t+τ)不進(jìn)行時(shí)間平均,直接針對(duì)變量τ進(jìn)行傅立葉變換,結(jié)果將同時(shí)也是t的函數(shù),如式(7)所示

    Fτ[R(t,t+τ)]=Pξ(t,f),

    (7)

    式中Fτ表示針對(duì)變量τ進(jìn)行傅立葉變換.現(xiàn)將Pξ(t,f)在整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分,則有

    即Pξ(t,f)對(duì)頻率的積分為ξ(t)的瞬時(shí)功率的統(tǒng)計(jì)平均值,因此Pξ(t,f)可定義為隨機(jī)過(guò)程的瞬時(shí)功率譜,則有

    3 總 結(jié)

    本文從隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的定義出發(fā)導(dǎo)出了隨機(jī)過(guò)程功率譜與平均自相關(guān)是1對(duì)傅立葉變換的結(jié)論,不管是描述平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜與自相關(guān)關(guān)系的佩利-維納準(zhǔn)則,還是描述循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜與自相關(guān)關(guān)系的式(1),都可看成是本結(jié)論的1個(gè)特例.

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