用一元一次方程解決利潤(rùn)問(wèn)題的教學(xué)研究

吳金鳳 王杰

摘 要：一元一次方程作為七年數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)，其應(yīng)用題的教學(xué)是難點(diǎn)，特別是利潤(rùn)問(wèn)題的教學(xué)。一元一次方程以及其應(yīng)用題的教學(xué)被安排在初一上冊(cè)，初一上學(xué)年是中小學(xué)之間重要的教學(xué)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，不僅存在較多的教學(xué)內(nèi)容變化問(wèn)題，更存在較多的教學(xué)方式生的銜接問(wèn)題，學(xué)生思維轉(zhuǎn)變上的問(wèn)題。因此，一元一次方程“利潤(rùn)”相關(guān)的應(yīng)用題教學(xué)時(shí)，教師不僅要從教材內(nèi)容出發(fā)，還要時(shí)刻關(guān)注學(xué)生思維方面的轉(zhuǎn)變，及時(shí)調(diào)整教學(xué)方式、內(nèi)容或進(jìn)度。

關(guān)鍵詞：一元一次方程;利潤(rùn)問(wèn)題;教學(xué)

一元一次方程是學(xué)生最早接觸的運(yùn)用未知數(shù)結(jié)合題目已知條件，通過(guò)建立等量關(guān)系從而解決方程問(wèn)題的題型，它自身就是教學(xué)中的一個(gè)重難點(diǎn)，對(duì)于現(xiàn)代生活中常見(jiàn)的“利潤(rùn)”問(wèn)題，方程能夠有效解決這些問(wèn)題，教師要進(jìn)行正確且科學(xué)的引導(dǎo)。運(yùn)用未知數(shù)與已知的條件，從而建立等量關(guān)系，進(jìn)而求得未知數(shù)，這樣的解題過(guò)程與小學(xué)階段的直線思維解決直接的問(wèn)題上存在較大的差別，學(xué)生在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答的過(guò)程中需要不斷切換兩種不同的思維模式，不斷培養(yǎng)學(xué)生思維能力，為今后的學(xué)習(xí)奠定正向以及逆向思維的思想基礎(chǔ)[1]。

一、 一元一次方程知識(shí)點(diǎn)上的問(wèn)題

一元一次方程教學(xué)中，其應(yīng)用題不是獨(dú)立的內(nèi)容，是基于較多的數(shù)學(xué)方法以及內(nèi)容，為了解決各種現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，而使用的方程式，其重要特征在于不同知識(shí)點(diǎn)之間的銜接。教學(xué)過(guò)程中，銜接不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)方面的聯(lián)系，更多的是在于問(wèn)題的思維模式、尋找不同數(shù)學(xué)元素之間的聯(lián)系，建立一定的等量關(guān)系，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題，在這樣的解答過(guò)程中能夠有效訓(xùn)練學(xué)生思維和邏輯，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于問(wèn)題的分析和解答的能力。

（一） 方程和代數(shù)式之間的聯(lián)系

利潤(rùn)相關(guān)的應(yīng)用題，其最明顯的特點(diǎn)在于要將實(shí)際問(wèn)題背景、數(shù)學(xué)方法、理論等進(jìn)行科學(xué)結(jié)合，然而問(wèn)題背景更多的是以文字描述的形式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答之前，學(xué)生要利用已知的文字描述中提取出有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)信息，將這些文字內(nèi)容轉(zhuǎn)化為正確的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，在這樣的提取過(guò)程中就要運(yùn)用代數(shù)式對(duì)其相關(guān)的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行表述，這就是列出方程式對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解答的基礎(chǔ)，只有精準(zhǔn)的將各個(gè)未知量和已知量間的關(guān)系找出來(lái)，所羅列的方程才是正確的[2]。在對(duì)應(yīng)用題進(jìn)行列方程時(shí)，運(yùn)用代數(shù)式將文字呈述的內(nèi)容通過(guò)思維轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，這是解答中最關(guān)鍵的步驟，也是對(duì)各種數(shù)學(xué)應(yīng)用題進(jìn)行解答時(shí)的關(guān)鍵步驟，是建立數(shù)學(xué)模型以及求解各種數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。

（二） 方程與函數(shù)之間的聯(lián)系

中學(xué)階段的數(shù)學(xué)，更多的是體現(xiàn)方程與函數(shù)間的緊密聯(lián)系，在對(duì)諸多函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行解答時(shí)，可以運(yùn)用方程思想。比如，在運(yùn)用未知數(shù)對(duì)函數(shù)進(jìn)行解析時(shí)，可以將問(wèn)題化為相應(yīng)的方程組，然后逐步解答，最終準(zhǔn)確求出相關(guān)系數(shù)。

（三） 不同方程間的轉(zhuǎn)化

不同方程問(wèn)題間有著一定的聯(lián)系，同時(shí)，不同形式方程可以互相轉(zhuǎn)化。如若問(wèn)題中只有一個(gè)未知數(shù)，可以直接找準(zhǔn)等量關(guān)系，建立一元一次方程進(jìn)行解答;如若題目中有兩個(gè)未知數(shù)，則需要找到不同未知數(shù)各自的等量關(guān)系，建立二元一次方程進(jìn)行解答，但是，不少實(shí)際習(xí)題解答中，如果題目已經(jīng)將兩個(gè)未知數(shù)相關(guān)的信息都包含得較為具體，可以不建立二元一次方程，可以利用相關(guān)的未知數(shù)和等量關(guān)系之間的聯(lián)系，建立一元一次方程，運(yùn)用“消元”的數(shù)學(xué)思維將二元一次方程準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化為一元一次方程[3]。

二、 一元一次方程中利潤(rùn)問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)——數(shù)學(xué)邏輯

首先，要理解利潤(rùn)問(wèn)題的基本關(guān)系：（1）利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià);（2）利潤(rùn)率=利潤(rùn)/進(jìn)價(jià)×100%;（3）打X折后售價(jià)=原售價(jià)×X÷10。然后再對(duì)各種利潤(rùn)問(wèn)題進(jìn)行解析和教學(xué)。

（一） 重視思維變通

小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容較為單一，數(shù)學(xué)習(xí)題的難度偏低，在這樣的學(xué)習(xí)中學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答方面也會(huì)產(chǎn)生一定程度的定式思維，在對(duì)一些習(xí)題進(jìn)行解答時(shí)會(huì)受到定式思維的影響，這些都是教學(xué)方式不科學(xué)導(dǎo)致。初中數(shù)學(xué)難度增加、內(nèi)容增多，小學(xué)的定式教學(xué)不能有效培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)變的思維，因此初中數(shù)學(xué)需要更加注重學(xué)生思維上的遷移與變通的引導(dǎo)。一元一次方程式對(duì)學(xué)生思維訓(xùn)練的第一陣地，因?yàn)橐辉淮畏匠趟膽?yīng)用題內(nèi)容涉及多方面，題目變化較多，只要正確引導(dǎo)學(xué)生，就能夠讓學(xué)生快速高效地掌握解答技巧。但是由于題目類(lèi)型較為繁多，學(xué)生不能夠在段時(shí)間之內(nèi)將所有題型進(jìn)行練習(xí)，單一的定向式教學(xué)不能讓學(xué)生有效掌握這部分知識(shí)，因此一元一次方程解決利潤(rùn)問(wèn)題教學(xué)時(shí)，要注重對(duì)學(xué)生思維的引導(dǎo)，讓他們通過(guò)思維變通來(lái)深入理解題目?jī)?nèi)涵，例題如下：

某商場(chǎng)的一個(gè)服裝店準(zhǔn)備裝修升級(jí)，因此對(duì)大量商品進(jìn)行了調(diào)價(jià)，現(xiàn)了解到一件T恤衫是按原價(jià)的8折進(jìn)行出售的，打折之后T恤衫的利潤(rùn)率是20%，已知T恤衫的原價(jià)是63元，那么T恤衫的進(jìn)價(jià)是多少元？

這道題粗略看去，題目中含有兩個(gè)未知數(shù)（一是T恤衫的進(jìn)價(jià)，二是T恤衫的折后價(jià)）難道要用二元一次方程進(jìn)行解答？會(huì)讓學(xué)生有一種習(xí)題超綱的感覺(jué)，只要心細(xì)讀題，我們不難發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)未知數(shù)之間存在一定的聯(lián)系，其中進(jìn)價(jià)與折后價(jià)能夠通過(guò)已知的其他量進(jìn)行表示，將進(jìn)價(jià)設(shè)為X，因?yàn)槔麧?rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)/進(jìn)價(jià)×100%，則利潤(rùn)=利潤(rùn)率×進(jìn)價(jià)，即可知利潤(rùn)率×進(jìn)價(jià)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)（X×20%=63×8÷10-X），那么解得X=42，因此進(jìn)價(jià)42元。對(duì)于這種內(nèi)部互相存在聯(lián)系的題目，各數(shù)之間的關(guān)系是較為多變的，不僅內(nèi)部自檢的聯(lián)系有變化，而且已知數(shù)與未知數(shù)之間可以互相轉(zhuǎn)換。因此在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析題目各數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)變通思維，改變不同數(shù)之間的聯(lián)系，建立一定的等量關(guān)系，繼而準(zhǔn)確地進(jìn)行習(xí)題解答。

（二） 強(qiáng)化思維拓展訓(xùn)練

一元一次方程在利潤(rùn)問(wèn)題中出現(xiàn)的形式低多樣的，不同類(lèi)型題目的解答方式都不盡相同，如果不能找到正確的解答方法，不僅會(huì)浪費(fèi)大量時(shí)間，而且不一定能夠得到正確的答案，因此教師在教學(xué)時(shí)，要多方面拓展訓(xùn)練，不斷鍛煉學(xué)生思維的靈活度。例題如下：

某家文具店有兩個(gè)不同進(jìn)價(jià)的計(jì)算器，但是這兩種計(jì)算器的售價(jià)均為64元，其中一種計(jì)算器可以盈利60%，另一種計(jì)算器則要虧損20%，如果一個(gè)顧客同時(shí)購(gòu)買(mǎi)這兩種計(jì)算器，那么在這次買(mǎi)賣(mài)中，文具店（?）

A. 賺8元 B. 虧8元 C. 不賺不虧 D. 賺32元

這道選擇題最終問(wèn)的是利潤(rùn)，對(duì)于接觸一元一次方程不僅的學(xué)生，他們會(huì)思考這個(gè)題有兩個(gè)未知數(shù)，不是需要建立二元一次方程么？但是教師要引導(dǎo)學(xué)生建立一元一次方程，立足于“利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)”從而快速解答習(xí)題。因?yàn)橛袃煞N計(jì)算器，他們的進(jìn)價(jià)都不相同，引導(dǎo)學(xué)生分別建立一元一次方程，設(shè)兩種計(jì)算器的進(jìn)價(jià)分別為X1元、X2元，那么可以分別列出：X1（1+60%）=64，X2（1-20%）=64，求得X1=40，X2=80。那么利潤(rùn)=64×2-（40+80）=8，因此文具店賺了8元，選擇A。老師在講解利潤(rùn)問(wèn)題時(shí)，需要學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)思維，且在對(duì)基礎(chǔ)的利潤(rùn)、售價(jià)、進(jìn)價(jià)等管理的理解上進(jìn)行，引導(dǎo)學(xué)生找出解題的突破口。如此題，最終問(wèn)的利潤(rùn)就是一個(gè)突破口，而售價(jià)是已知的，那么只要找出不同計(jì)算器的進(jìn)價(jià)，利用未知數(shù)和已知數(shù)之間的等量關(guān)系，這個(gè)題就能解答出來(lái)了。

三、 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，一元一次方程解決利潤(rùn)問(wèn)題的教學(xué)中，教師要重點(diǎn)訓(xùn)練學(xué)生分析題目的態(tài)度和能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維習(xí)慣，立足于不同數(shù)量之間的等量關(guān)系，對(duì)實(shí)際題目進(jìn)行解答。教學(xué)實(shí)際中，教師要激勵(lì)學(xué)生多分析、深思考、變思維，勇于嘗試，積極提問(wèn)，使學(xué)生在解答不同類(lèi)型利潤(rùn)問(wèn)題的時(shí)候能夠深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣，提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力。

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[2] 冀懷忠.理解教材編寫(xiě)意圖確保教學(xué)內(nèi)容嚴(yán)謹(jǐn)——“打折銷(xiāo)售”教學(xué)思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2019（Z1）.

[3] 劉頓.商品交易與一元一次方程[J].中學(xué)生數(shù)理化：配合人教社教材，2015（10）.

（作者單位：甘肅省天水市麥積區(qū)龍園中學(xué)，甘肅 天水 741020 ）