基于小生境魚群算法的有限元模型修正多解問題研究*

康俊濤，張學(xué)強(qiáng)，張亞州，秦世強(qiáng)，曹鴻猷，連岳泉

(武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢 430070)

橋梁結(jié)構(gòu)中的有限元模型通常依據(jù)設(shè)計(jì)圖紙建立，隱含了多種理想化假定，從而使得理論分析結(jié)果與結(jié)構(gòu)實(shí)際響應(yīng)存在一定誤差，而精確的橋梁有限元模型對(duì)評(píng)估在役橋梁的抗震抗風(fēng)性能、結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別及橋梁健康狀況監(jiān)測(cè)是至關(guān)重要的[1]。模型修正技術(shù)通過修改初始有限元幾何參數(shù)、物理參數(shù)、邊界條件等信息從而使有限元模型計(jì)算值與實(shí)測(cè)值更接近[2]。目前，國內(nèi)外很多學(xué)者做了有關(guān)橋梁模型修正的研究。韓建平等[3]分別采用含有交叉項(xiàng)與不含交叉項(xiàng)的響應(yīng)面作為代理模型，根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)動(dòng)力特性對(duì)剛構(gòu)-連續(xù)組合橋梁進(jìn)行修正，修正后的模型更能精確反應(yīng)橋梁實(shí)際動(dòng)力響應(yīng)；彭濤等[4]聯(lián)合動(dòng)、靜力學(xué)特性對(duì)一座混凝土斜拉橋進(jìn)行模型修正，不僅參與修正的動(dòng)、靜力響應(yīng)與實(shí)測(cè)值接近，且未參與修正的動(dòng)、靜力響應(yīng)也與實(shí)測(cè)值更加接近。這些模型修正技術(shù)存在一個(gè)共同特點(diǎn)：通過采用高效的智能算法優(yōu)化模型結(jié)構(gòu)參數(shù)，得到一組使得有限元模型計(jì)算值與實(shí)測(cè)值誤差最小的全局最優(yōu)解。然而，由于荷載試驗(yàn)過程中傳感器個(gè)數(shù)有限、測(cè)量數(shù)據(jù)不充分及測(cè)量誤差的存在，或者在模型優(yōu)化中未充分考慮影響結(jié)構(gòu)響應(yīng)的因素，使得優(yōu)化得到的某組全局最優(yōu)解并不能代表實(shí)際結(jié)構(gòu)的真實(shí)參數(shù)，目標(biāo)函數(shù)存在的其他全局最優(yōu)解或局部最優(yōu)解可能比該組全局最優(yōu)解更能代表實(shí)際結(jié)構(gòu)的參數(shù)[5-6]。在國內(nèi)，陳學(xué)前等[7]指出：只采用一組修正結(jié)果的模型修正方案，修正后的模型與結(jié)構(gòu)的實(shí)際響應(yīng)仍可能存在誤差。因此，能夠產(chǎn)生多解的模型修正技術(shù)(modeling to generate alternatives，MGA)應(yīng)用而生。MGA為決策者提供的其他全局最優(yōu)解或局部最優(yōu)解所產(chǎn)生的目標(biāo)值與已產(chǎn)生的全局最優(yōu)解相同或接近，但它們的解空間卻處于不同的位置。決策者可根據(jù)實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)，權(quán)衡各方面利弊，在所有的最優(yōu)解或局部最優(yōu)解中選出一組或者多組，減少對(duì)結(jié)構(gòu)實(shí)際參數(shù)誤判的可能[8]。

MGA修正技術(shù)與多目標(biāo)尋優(yōu)有著本質(zhì)區(qū)別，MGA適用的目標(biāo)函數(shù)只有一個(gè)，需找到使得一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)或較優(yōu)的多個(gè)全局最優(yōu)解或多個(gè)局部最優(yōu)解。而多目標(biāo)尋優(yōu)產(chǎn)生的多個(gè)解集適用的目標(biāo)函數(shù)為多個(gè)，如優(yōu)化參數(shù)值使得模態(tài)誤差與撓度誤差兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)值最小。MGA技術(shù)已經(jīng)成功應(yīng)用在多個(gè)領(lǐng)域，包括數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的多峰值函數(shù)尋優(yōu)、工程領(lǐng)域中的抗震設(shè)計(jì)及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、航空路線規(guī)劃設(shè)計(jì)等。國外，已有學(xué)者將MGA運(yùn)用在模型修正上，如：Boris A. Zárate等[8]通過數(shù)值仿真分析驗(yàn)證了MGA的可行性后，將該技術(shù)應(yīng)用在一座斜拉橋的模型修正上，修正結(jié)果產(chǎn)生了4組解，它們的目標(biāo)函數(shù)值接近但解空間卻截然不同。

在國內(nèi)，鮮有學(xué)者將MGA應(yīng)用在有限元模型修正上。本文提出了一種改進(jìn)的小生境魚群算法，將傳統(tǒng)的人工魚群算法(artificial fish swarm algorithm，AFSA)融合小生境技術(shù)[9]與反向?qū)W習(xí)策略[10]，并在算法運(yùn)行后期采用模擬退火算法進(jìn)行局部細(xì)化尋優(yōu)，克服了傳統(tǒng)AFSA算法在尋找函數(shù)峰值時(shí)難以同時(shí)找到多個(gè)峰值、對(duì)初值敏感、尋優(yōu)結(jié)果精度不高的弊端[11]。通過數(shù)值仿真分析，驗(yàn)證了小生境魚群算法的可行性；接著將該算法應(yīng)用在一座縮尺斜拉橋模型的修正上。

1 有限元模型修正的多解問題

傳統(tǒng)的有限元模型修正技術(shù)是通過智能算法找到一組參數(shù)值使得模型誤差達(dá)到最小，忽略了可能存在的多組全局最優(yōu)解；且，由于傳感器數(shù)量有限，測(cè)量數(shù)據(jù)不充分以及儀器識(shí)別存在誤差，局部最優(yōu)解可能比全局最優(yōu)解更能代表結(jié)構(gòu)實(shí)際參數(shù)。模型修正的多解理論為決策者提供了多組解，這些解都具有減少模型理論誤差的功能，區(qū)別在于它們的解空間處于不同的位置。圖1很好地詮釋了有限元模型修正多解的原理。函數(shù)g(x,y)為二元函數(shù)，以最小值作為最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的解集有2個(gè)，這兩個(gè)解集能同時(shí)滿足g(x1,y1)=g(x2,y2)=min(g(x,y))；次優(yōu)解有1個(gè)，滿足|g(x3,y3)-min(g(x,y))|=ε，ε為常數(shù)，起到控制是否接受次優(yōu)解的功能。

圖1 雙變量模型修正多解問題的可行區(qū)域

為找到有限元模型修正的多組解，本文提出了一種改進(jìn)的小生境魚群算法，使用該算法找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解或次優(yōu)解，目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式如式(1)所示：

x∈[VLB ,VUB ]

(1)

2 改進(jìn)的小生境魚群算法及數(shù)值仿真

分析

2.1 改進(jìn)人工魚群算法策略

傳統(tǒng)的人工魚群算法[12]存在以下三個(gè)問題： ① 對(duì)于存在多個(gè)全局最優(yōu)解或多個(gè)局部最優(yōu)解的函數(shù)，該算法運(yùn)行一次只能找到其中一個(gè)最優(yōu)解，多次執(zhí)行優(yōu)化并不能保證收斂到所有解； ② 人工魚群移動(dòng)步距設(shè)定為固定值，當(dāng)算法執(zhí)行到后期，人工魚在全局最優(yōu)值附近震蕩，收斂速度減慢，優(yōu)化精度低； ③ AFSA算法采用隨機(jī)生成的方式確定魚群初始坐標(biāo)點(diǎn)，對(duì)初值敏感?；诖?，本文提出一種改進(jìn)的小生境魚群算法，從以下三方面改進(jìn)：

1)將小生境技術(shù)與AFSA算法結(jié)合，引入小生境半徑來控制魚群之間的距離。每次執(zhí)行AFSA算法后，對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行判斷，滿足要求后放入小生境核內(nèi)，在下次執(zhí)行AFSA算法的每代中，通過初始化方式控制人工魚與小生境核內(nèi)已有的最優(yōu)解的距離，使得當(dāng)前魚群往新的領(lǐng)域搜索，從而獲得函數(shù)的多個(gè)全局最優(yōu)解及局部最優(yōu)解。具體操作如下：

①初始化小生境核內(nèi)人工魚群坐標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)魚群各維度參數(shù)定義域長度設(shè)置小生境半徑R，取值建議如式(2)所示：

(2)

②在執(zhí)行魚群算法迭代的每代中，計(jì)算當(dāng)代魚群與小生境核內(nèi)已存最優(yōu)解的人工魚的距離，并將距離與小生境半徑進(jìn)行比較，若在半徑范圍內(nèi)，則初始化該人工魚位置；

③將每次執(zhí)行AFSA算法所得到的最優(yōu)解與小生境核內(nèi)已存的最優(yōu)解比較，若優(yōu)于任意一個(gè)，則將該最優(yōu)解放入小生境核內(nèi)；否則放棄，繼續(xù)下一輪循環(huán)，直到找到所有局部最優(yōu)解及全局最優(yōu)解或滿足算法終止條件。

2)將每一次執(zhí)行AFSA算法所得到的最優(yōu)解采用模擬退火算法進(jìn)行局部細(xì)化尋優(yōu)，提高算法的優(yōu)化精度。具體操作如下：

①執(zhí)行AFSA算法各步驟，找到最優(yōu)解bestx；

②設(shè)置模擬退火算法初始溫度T0，終止溫度Tend，確定每個(gè)溫度下的迭代次數(shù)L；

③讓最優(yōu)解bestx產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)，得到一個(gè)新解bestx’；

④判斷bestx’的適應(yīng)度值是否優(yōu)于bestx的適應(yīng)度值，若是則接受；否則，判斷exp(-df/T)>rand，若是，仍然接受bestx’，否則放棄。重復(fù)步驟③與④，直到滿足終止溫度條件。其中，df=f(bestx’)-f(bestx)，rand為0～1之間的隨機(jī)數(shù)。

3)引入反向?qū)W習(xí)的種群策略，魚群在初始化種群產(chǎn)生n條人工魚后，利用反向?qū)W習(xí)策略生成當(dāng)前人工魚位置的對(duì)立點(diǎn)，從而增加種群的多樣性，加快AFSA算法的收斂速度，有效解決AFSA對(duì)初值敏感、迭代過程中由于超級(jí)個(gè)體存在陷入局部最優(yōu)的問題。具體操作如下：

①初始化種群后第i條人工魚位置為xi(xi1,xi2,xi3,…,xim)，根據(jù)反向?qū)W習(xí)策略，第i條人工魚第m維的對(duì)立參數(shù)取值如式(3)：

(3)

②每次迭代分別計(jì)算當(dāng)前人工魚及利用反向?qū)W習(xí)策略得到的人工魚適應(yīng)度值，將2n組適應(yīng)度值按照遞增或遞減的順序排序，篩選出較優(yōu)的前n組作為當(dāng)前代數(shù)人工魚群。

2.2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)及分析

為測(cè)試本文所提小生境魚群算法的性能，選取三個(gè)典型的多峰函數(shù)進(jìn)行了仿真測(cè)試，并將優(yōu)化結(jié)果與AFSA算法優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較。測(cè)試函數(shù)如式(4) - (5)所示，小生境魚群算法的參數(shù)設(shè)置如表1所示。

f1(x,y)=cos(2πx)×cos(2πy)

×e-(x2+y2)/10

-1≤x,y≤1

(4)

f2(x,y)=200-(x2+y-11)2

-(y2+x-7)2

-6≤x,y≤6

(5)

將小生境魚群算法運(yùn)行5次；AFSA算法運(yùn)行5組，每組運(yùn)行13次，測(cè)試函數(shù)1的運(yùn)行結(jié)果如表2所示。

表1 測(cè)試函數(shù)對(duì)應(yīng)的小生境魚群算法的參數(shù)設(shè)置值

表2 小生境魚群算法及AFSA算法優(yōu)化函數(shù)f1的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

由表2、圖2可知，小生境魚群算法運(yùn)行5次，每次均能找到f1的13個(gè)峰值點(diǎn)。而，AFSA算法運(yùn)行5組，每組只能找到f1的一個(gè)全局最優(yōu)解，忽略了所有的局部最優(yōu)解及4個(gè)角點(diǎn)峰值點(diǎn)。

將小生境魚群算法運(yùn)行5次；AFSA算法運(yùn)行5組，每組運(yùn)行4次，測(cè)試函數(shù)2的運(yùn)行結(jié)果如表3。由表3、圖3可知，小生境魚群算法運(yùn)行5次，每次均能找到f2的全部全局最優(yōu)解。AFSA算法其中一組運(yùn)行結(jié)果分別如下：

f2(-3.768 343，-3.277 694)= 199.993 398

f2(3.596 599，-1.870 760)= 199.986 524

f2(-2.799 671，3.138 028)= 199.997 172

f2(-3.778 259，-3.288 557)= 199.998 502

f2(-2.808 160，3.131 370)= 199.999 699

對(duì)比結(jié)果表明，AFSA算法通過多次運(yùn)行并不能保證收斂到函數(shù)所有全局最優(yōu)解，且全局最優(yōu)解存在精度不高問題，而小生境魚群算法能夠更精確地找到f2的所有全局最優(yōu)解。

圖2 小生境魚群算法優(yōu)化f1函數(shù)峰值分布圖

圖3 小生境魚群算法優(yōu)化f2函數(shù)峰值分布圖

3 縮尺斜拉橋有限元模型修正

3.1 縮尺斜拉橋?qū)崢蚣坝邢拊Ｐ?/h3>

縮尺斜拉橋原型為某長江大橋，結(jié)構(gòu)形式為一座雙塔三跨的斜拉橋，縮尺比例采用1∶40，模型總長18.20 m。橋跨布置為4.25 m+9.70 m+4.25 m，主塔采用鉆石形，高3.46 m，拉鎖為雙面扇形，共56根。主梁材料采用彈性模量Ec=2.1×104MPa、密度ρc=2 400 kg /m3的輕質(zhì)混凝土，主塔采用彈性模量Es=2.1×105MPa、密度ρs=7 850 kg/m3、厚4 mm的鋼材，拉索采用抗拉強(qiáng)度為1 860 MPa的鋼絞線。

表3 小生境魚群算法優(yōu)化函數(shù)f2的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

有限元模型采用可通過命令流調(diào)用程序的Ansys軟件建立，模型中主梁與橋塔均采用實(shí)體單元solid45模擬，全橋共1 520個(gè)。拉索采用桿單元link10模擬，全橋共56個(gè)。邊界條件設(shè)置為主梁兩端一端豎向支撐、一端鉸接，主塔底部固結(jié)，Ansys模型如圖4所示。

圖4 縮尺斜拉橋Ansys模型

采用協(xié)方差驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)子空間對(duì)該模型橋測(cè)試組2的測(cè)試結(jié)果進(jìn)行模態(tài)識(shí)別，識(shí)別結(jié)果如圖5；并根據(jù)Ansys有限元模型提取前6階模態(tài)值，試驗(yàn)測(cè)試值與提取的結(jié)果如表4所示。

3.2 有限元模型修正

3.2.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì) 根據(jù)相關(guān)研究結(jié)果[13-15]，初步選取對(duì)斜拉橋動(dòng)力響應(yīng)可能有較大影響的參數(shù)：主梁混凝土材料的彈性模量Ec及密度ρc、主塔彈性模量Es及密度ρs。4個(gè)參數(shù)的初始值分別為：2.1×104MPa、2.4×103kg/m3、2.1×105MPa、7.85×103kg/m3?？紤]各參數(shù)交叉項(xiàng)及平方項(xiàng)共14個(gè)因素，采用拉丁超立方生成50組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)后對(duì)各因素進(jìn)行F值檢驗(yàn)，根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對(duì)前6階頻率影響顯著水平滿足P<0.05的參數(shù)進(jìn)行回歸分析，采用最小二乘法確定多項(xiàng)式系數(shù)，建立前6階頻率含交叉項(xiàng)多項(xiàng)式的響應(yīng)面模型。各因素顯著性分析結(jié)果如圖6所示，前6階頻率響應(yīng)面模型擬合系數(shù)如表5所示，其中A、B、C、D分別表示參數(shù)Ec、ρc、Es、ρs。

圖5 測(cè)試組2隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)識(shí)別的穩(wěn)定圖

表4 模態(tài)實(shí)測(cè)值與有限元理論值的對(duì)比

表5 各階頻率響應(yīng)面模型擬合系數(shù)

圖6 14個(gè)因素的顯著性P值

建立各階模態(tài)的響應(yīng)面模型后，對(duì)擬合精度進(jìn)行檢驗(yàn)，本文分別采用殘差R2檢驗(yàn)及均方根誤差RMSE檢驗(yàn)，各階模態(tài)響應(yīng)面模型R2、RMSE檢驗(yàn)值如下表6所示。

由表6可得，各階模態(tài)響應(yīng)面模型的殘差值保留4位小數(shù)后均為1，均方根誤差值都在10-5數(shù)量級(jí)上，表明所建立的響應(yīng)面模型能夠精確地?cái)M合各階模態(tài)值。

3.2.2 模型修正 本文選取主梁混凝土及主塔鋼材的彈性模量與密度共4個(gè)變量作為待修正參數(shù)，并設(shè)置這四個(gè)變量的區(qū)間范圍為[x-x×0.4，x+x×0.4]。由Matlab調(diào)用小生境魚群算法及各階模態(tài)響應(yīng)面模型，找到以模型理論值與實(shí)測(cè)值誤差最小為目標(biāo)函數(shù)的若干組全局最優(yōu)解及局部最優(yōu)解，目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式如式(6)所示：

(6)

通過多次運(yùn)行小生境魚群算法優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)參數(shù)值，當(dāng)魚群數(shù)目取值區(qū)間為[50,100]，最大迭代次數(shù)取值區(qū)間為[50,100]，視野取值區(qū)間為[2.0,6.0]，步距取值區(qū)間為[0.3,0.8]，擁擠因子取值區(qū)間為[0.1,0.6]，小生境半徑按式(6)取值區(qū)間為[0.58,1.75]，模擬退火算法初始溫度T0=200 0 ℃，終止溫度Tend=0.01 ℃，各溫度下的迭代次數(shù)L=200，目標(biāo)函數(shù)可得到較優(yōu)解集。

特殊地，小生境魚群算法參數(shù)設(shè)置如下：魚群規(guī)模為N=50，最大迭代代數(shù)gen=100，魚群視野范圍為2.12，步距為0.40，擁擠因子設(shè)為0.218，小生境半徑設(shè)置為0.8；模擬退火算法初始溫度T0=200 0 ℃，終止溫度Tend=0.01 ℃，各溫度下的迭代次數(shù)為200次。經(jīng)迭代計(jì)算，得到1組全局最優(yōu)解及7組局部最優(yōu)解，并將優(yōu)化所得到的參數(shù)值分別代入有限元模型中提取前6階模態(tài)值。限于篇幅，本文僅列出1組全局最優(yōu)解與3組局部最優(yōu)解，模型修正前后參數(shù)取值變化如表7所示，全局最優(yōu)解及局部最優(yōu)解對(duì)應(yīng)參數(shù)下的模態(tài)理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值如表8所示。

表6 各階模態(tài)R2及RMSE的檢驗(yàn)值

表7 修正前后的材料參數(shù)值對(duì)比

表8 修正后計(jì)算模態(tài)值與實(shí)測(cè)值誤差

由表8可以看出，采用全局最優(yōu)解所得參數(shù)值代入有限元模型后理論頻率與實(shí)測(cè)頻率的誤差在第1、2、4、5、6階模態(tài)均有減少，且第4、6階模態(tài)的誤差下降為0%，第3階模態(tài)誤差值與修正之前相同。全局最優(yōu)解參數(shù)變化最大的為主塔材料，其彈性模量相對(duì)初值減少20.0%，密度減少36.3%，而主梁所采用的混凝土材料的彈性模量相對(duì)初值增大11.9%，密度減少1.2%。3組局部最優(yōu)解代入有限元模型后理論頻率與實(shí)測(cè)頻率的誤差在第1、2、4、5、6階模態(tài)均有減少，但對(duì)第3階模態(tài)值修正空間不大。雖然局部最優(yōu)解與全局最優(yōu)解各維參數(shù)值有所差異，但均能夠有效減少模態(tài)理論計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的誤差，能夠?yàn)楣こ虥Q策者提供更多選擇方案，減少對(duì)結(jié)構(gòu)真實(shí)參數(shù)取值誤判的可能。

小生境魚群算法與AFSA算法優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解迭代過程如圖7所示，兩者分別收斂到0.083與0.085，表明后期采用模擬退火的小生境魚群算法收斂精度比AFSA精度高。

圖7 小生境魚群算法及AFSA算法優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)收斂曲線

4 結(jié) 論

1)提出一種改進(jìn)的小生境魚群算法，該算法引入了小生境技術(shù)、反向?qū)W習(xí)策略、并在算法后期采用模擬退火算法局部細(xì)化尋優(yōu)，文中給出3個(gè)典型的函數(shù)測(cè)試小生境魚群算法的性能，驗(yàn)證了小生境魚群算法能夠精確、快速找到多峰值函數(shù)多個(gè)峰值的功能。

2)采用拉丁超立方生成實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并通過F值檢驗(yàn)，剔除影響不顯著因素，建立縮尺斜拉橋以前6階模態(tài)為輸出對(duì)象的響應(yīng)面模型，并對(duì)各階模態(tài)響應(yīng)面模型采用R2及RMSE檢驗(yàn)其準(zhǔn)確度。檢驗(yàn)結(jié)果表明，采用含有二次交叉項(xiàng)的各階響應(yīng)面模型殘差值均為1(保留4位小數(shù)后取值)，均方根誤差數(shù)量級(jí)均為10-5，表明所建立的響應(yīng)面模型能夠精確地代表有限元模型。

3)與傳統(tǒng)有限元模型修正不同，本文將所提的小生境魚群算法應(yīng)用在一座縮尺斜拉橋有限元模型修正中，得到1組全局最優(yōu)解及7組局部最優(yōu)解。全局最優(yōu)解及局部最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值均有效減少了縮尺斜拉橋在第1、2、4、5、6階模態(tài)理論值與試驗(yàn)測(cè)試值間的誤差。并認(rèn)為由于傳感器數(shù)量有限，所測(cè)量數(shù)據(jù)不充分以及測(cè)試過程中儀器識(shí)別可能存在誤差等原因的存在，局部最優(yōu)解可能比全局最優(yōu)解更能代表結(jié)構(gòu)實(shí)際參數(shù)，為決策者提供了更多的選擇方案。因此，決策者可根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)對(duì)多組解做出進(jìn)一步判斷，例如：縮尺橋梁構(gòu)件在制作過程中的材料性能實(shí)際值與理論值的可能誤差范圍；結(jié)合縮尺橋梁的靜力特征驗(yàn)證各組解；通過對(duì)縮尺橋梁進(jìn)行外觀檢測(cè)，根據(jù)詳細(xì)病害確定各構(gòu)件可能會(huì)發(fā)生的材料性能變化等，以減少對(duì)結(jié)構(gòu)實(shí)際參數(shù)誤判的可能性。