具有時(shí)滯的腫瘤免疫模型的穩(wěn)定性與Hopf分支*

梁雨琴， 賈云鋒

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710062)

腫瘤是生物體器官局部組織的細(xì)胞在生長(zhǎng)過程中失去了生長(zhǎng)的正常調(diào)控或受病毒感染而發(fā)生的以細(xì)胞異常增生、過度增殖為主要特點(diǎn)的新生物。臨床醫(yī)生和腫瘤學(xué)家認(rèn)為, 腫瘤細(xì)胞生長(zhǎng)、增殖、轉(zhuǎn)運(yùn)和免疫應(yīng)答具有不可預(yù)測(cè)的動(dòng)態(tài), 因此, 人們?cè)谥委煱┌Y方面遇到了許多困難。 近三、四十年來, 數(shù)學(xué)模型已逐步成為人們認(rèn)識(shí)復(fù)雜的腫瘤系統(tǒng)的重要工具。自從Stepanova[1]提出經(jīng)典的腫瘤免疫模型以來, 各種腫瘤免疫模型相繼被建立并取得了許多有價(jià)值的研究成果[2-12], 這些成果對(duì)惡性腫瘤的研究具有重要的理論與臨床意義。最近,文獻(xiàn)[13]中研究了一類具有時(shí)滯和擴(kuò)散項(xiàng)的生物模型, 研究結(jié)果表明：物種的擴(kuò)散行為會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性, 擴(kuò)散和時(shí)滯的結(jié)合可以導(dǎo)致并加劇系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。由于生物體本身具有免疫功能, 生物體內(nèi)的免疫細(xì)胞能夠識(shí)別并消除腫瘤細(xì)胞, 文獻(xiàn)[14]中研究了一類具有時(shí)滯的腫瘤免疫模型, 結(jié)果表明：時(shí)滯會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性, 適當(dāng)調(diào)節(jié)時(shí)滯參數(shù)可以控制惡性腫瘤的生長(zhǎng)。事實(shí)上, 由于生物體的免疫系統(tǒng)在識(shí)別非自身細(xì)胞后需要一定的時(shí)間來產(chǎn)生合適的免疫反應(yīng), 因此, 在研究腫瘤問題時(shí)將時(shí)滯因素引入到具體的數(shù)學(xué)模型中是合理的。同時(shí), 從生物學(xué)角度來看, 腫瘤細(xì)胞與免疫細(xì)胞的生長(zhǎng)、相互作用不僅與時(shí)間有關(guān), 也會(huì)受到空間因素的影響與制約。受文獻(xiàn)[13-14]中擴(kuò)散、時(shí)滯可以導(dǎo)致并加劇系統(tǒng)的不穩(wěn)定性結(jié)果的啟發(fā), 本文引入并研究具有時(shí)滯的腫瘤免疫反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)：

(1)

其中u,v分別表示腫瘤細(xì)胞數(shù)和免疫細(xì)胞的數(shù)量,D1和D2分別為u,v的擴(kuò)散率,τ為時(shí)滯參數(shù),r為腫瘤細(xì)胞的自然生長(zhǎng)率,K表示環(huán)境最大承載能力,d是免疫細(xì)胞的自然死亡率,α1表示受免疫細(xì)胞攻擊而減少的腫瘤細(xì)胞的死亡率,α2表示與腫瘤細(xì)胞作用而消亡的免疫細(xì)胞的死亡率,β為免疫細(xì)胞的活化率, 反應(yīng)項(xiàng)βvu(x,t-τ)表示在腫瘤細(xì)胞的刺激下免疫細(xì)胞能夠被激活、從而產(chǎn)生合適的免疫反應(yīng)在時(shí)間上會(huì)有延遲。系統(tǒng)中所有參數(shù)均為正數(shù)。

1 邊界平衡態(tài)解的穩(wěn)定性

顯然, ?(x,t)∈(0,π)×(0,∞), 系統(tǒng)(1)存在邊界平衡態(tài)解(K,0)。

定理1當(dāng)d>Kβ時(shí), 邊界平衡態(tài)解(K,0)是全局漸近穩(wěn)定的。

由比較原理知u(x,t)≤w(t),?x∈[0,π],t≥0。于是有

這樣, 對(duì)充分小的正數(shù)ε, 存在t1=t1(ε)1使得u(x,t)≤K+ε,x∈[0,π],t≥t1。于是, 當(dāng)t≥t1時(shí), 有u(x,t)≤max{K,maxu0(x,t),(x,t)∈[0,π]×[-τ,0]}。這樣, 由系統(tǒng)(1)的第二個(gè)方程知v(x,t)滿足

這說明v(x,t)是問題

的下解。易知函數(shù)Ce(Kβ-d)t是該問題的上解, 其中C滿足C>maxv(x,t1),x∈[0,π]。于是,v(x,t)≤Ce(Kβ-d)t,x∈[0,π],t>t1。由于d>Kβ, 因此有

的解。那么, 對(duì)充分大的t2,φ(t)≡K是滿足該問題中方程的唯一正解, 并且u(x,t)滿足

即邊界平衡態(tài)解(K,0)是全局漸近穩(wěn)定的。證畢。

2 正平衡態(tài)解的穩(wěn)定性及發(fā)自正平衡態(tài)解處的Hopf分支的存在性

設(shè)

U(x,t)=(u(x,t),v(x,t))T∈Χ={(u,v)T:u,v∈W2,2(0,π),ux=vx=0,x=0,π}

Ut=DUxx+A0U+A1U(x,t-τ)+G(U) (2)

其中D=diag(D1,D2),

眾所周知, 一維Laplace算子在X上的特征值為-k2,k=0,1,2,…, 相應(yīng)的特征向量記為

對(duì)φ=(φ1,φ2)T∈X, 簡(jiǎn)單計(jì)算表明

于是, 特征方程可寫成

從而, 特征方程等價(jià)于方程:

λ2+Akλ+Bk+Cke-λτ=0,k=0,1,2,…

(3)

其中

(4)

定理2當(dāng)τ=0時(shí), 系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的。

證明當(dāng)τ=0時(shí), 特征方程(3)變?yōu)棣?+Akλ+Bk+Ck=0。這時(shí),

設(shè)特征方程的兩個(gè)根為λ1,λ2，則λ1+λ2=-Ak,λ1λ2=Bk+Ck。此時(shí), 方程的兩個(gè)根都具有負(fù)實(shí)部, 所以系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的。證畢。

固定參數(shù)r,K,α1,α2,β,d, 記

(5)

由于k+≥0，因此集合Τ非空。再記

定理3

(i) 若k>k+, 則對(duì)?τ≥0, 正平衡態(tài)E*是局部漸近穩(wěn)定的。

(ii) 若k∈T, 則當(dāng)τ∈[0,τ*)時(shí),E*是局部漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)τ>τ*時(shí),E*是不穩(wěn)定的。

證明根據(jù)Hopf分支產(chǎn)生的條件, 不妨設(shè)±iω(ω>0)是特征方程(3)的一對(duì)純虛根, 將其代入特征方程(3)中得

-ω2+iAkω+Bk+Cke-iωτ=0

分離實(shí)部和虛部可得

Ckcosωτ=ω2-Bk,Cksinωτ=Akω

(6)

計(jì)算可得

(7)

令z=ω2, 上式變?yōu)?/p>

(8)

其中Ak,Bk,Ck(k=0,1,2,…)由(4)式給出。

3 結(jié) 論

本文研究了一類具有擴(kuò)散和時(shí)滯的腫瘤免疫模型。研究結(jié)果顯示, 時(shí)滯對(duì)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性有著重要的影響, 正平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性取決于時(shí)滯τ的大小, 存在一個(gè)臨界值τ*, 使得當(dāng)τ<τ*時(shí), 正平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的; 當(dāng)τ>τ*時(shí), 正平衡態(tài)是不穩(wěn)定的, 在正平衡點(diǎn)不穩(wěn)時(shí)系統(tǒng)可能產(chǎn)生Hopf分支解。