有界線性算子及其函數演算的Weyl定理*

閆慧凰，曹小紅

( 1. 長治學院數學系，山西 長治 046011；2. 陜西師范大學數學與信息科學學院，陜西 西安 710119)

在算子理論的研究中，譜理論的研究一直是一個深受學者們關注的熱點問題，而探索算子的Weyl定理對算子譜理論的研究有著重要的意義。1909年，Weyl發(fā)現了自伴算子T的所有緊攝動的譜集的交集恰好等于T的譜集但不為T的譜集中的孤立的有限重特征值。之后，這一結論被人們稱為Weyl定理。Weyl定理的研究從發(fā)現以來一直備受學者們的廣泛關注，許多學者對 Weyl定理進行了變形并且將Weyl定理擴展到Hilbert空間和Banach空間上的各類算子中去。例如Coburn[1]和Berberian[2]研究了非正規(guī)算子的Weyl定理；Raul[3]研究了Algebraically Paranormal算子的Weyl定理。甚至學者們將Weyl定理的研究擴展到算子矩陣中[4]。本文通過新定義的譜集刻畫了有界線性算子及其函數演算的Weyl定理的等價條件。另外，探索了p-hyponormal(或M-hyponormal)算子及其函數演算的Weyl定理。

1 預備知識

在本文中，H表示為復可分的無限維的Hilbert空間，B(H)表示為H上有界線性算子的全體。令T∈B(H)，那么T的零度n(T)為T的零空間N(T)的維數，T的虧數d(T)為T的值域R(T)的余維數。若n(T)<∞且R(T)是閉集，那么稱T為上半Fredholm算子；若T為上半Fredholm算子且d(T)<∞，則稱T為Fredholm算子。特別地，當T為Fredholm算子且n(T)=d(T)=0時，那么稱T為可逆算子。再者，若T為指標ind(T)=n(T)-d(T)=0的Fredholm算子，那么稱T為Weyl算子。我們定義算子T的升標

asc(T)=inf{n∈N:N(Tn)=N(Tn+1)}

和降標

des(T)=inf{n∈N:R(Tn)=R(Tn+1)}

若T的升標和降標有限，則稱T為Drazin可逆算子。若T為Fredholm算子并且是Drazin可逆的，則稱T為Browder算子。眾所周知，T為Browder 算子當且僅當T為Weyl算子且T的升標或降標有限。顯然，Browder算子一定是Drazin可逆算子。下面，我們分別定義算子T的譜σ(T)，上半Fredholm譜σSF+(T)，本質譜σe(T)，Weyl譜σw(T)，Browder譜σb(T)和Drazin譜σD(T)如下：

σ(T)={λ∈C:T-λI不是可逆算子}，σSF+(T)={λ∈C:T-λI不是上半Fredholm算子}，

σe(T)={λ∈C:T-λI不是 Fredholm算子}，σw(T)={λ∈C:T-λI不是Weyl算子}，

σb(T)={λ∈C:T-λI不是 Browder算子}，σD(T)={λ∈C:T-λI不是Drazin可逆算子}

令T的預解集和Weyl預解集分別為ρ(T)=Cσ(T)和ρw(T)=Cσw(T)。若E?C(復數集)，則isoE表示E中孤立點的全體且accE表示為E中聚點的全體。

2 主要定理

在給出本文的主要結果前，對一些記號和概念做出說明。

稱算子T∈B(H)滿足Weyl定理，若σ(T)σw(T)=π00(T)，其中π00(T)={λ∈isoσ(T):0

下面,我們利用新定義的譜集σ1(T)=accσw(T)研究算子T的Browder定理。

定理1令T∈B(H)，則下列敘述等價：

(i)T滿足Browder定理；

(ii)σ(T)=σ1(T)∪σSF+(T)∪σk(T)；

(iii)σb(T)=σ1(T)∪σSF+(T) 。

(ii)?(i)要證T滿足Browder定理，即證σw(T)=σb(T)。顯然σw(T)?σb(T)，下證σb(T)?σw(T)。令λ0?σw(T)，那么存在ε>0，當0<|λ-λ0|<ε時，T-λI為Weyl算子且λ?σk(T)。因此λ0?σ1(T)∪σSF+(T)∪σk(T)，從而λ?σ(T)，即λ0∈isoσ(T)∪ρ(T)，于是由文獻[7, 性質6.9]可知λ0?σb(T)。因此σb(T)?σw(T)。

用同樣的方法可以證明(i)與(iii)等價。

注解1(i) 在定理1中，當T滿足Browder定理時，σ(T)分解的三塊缺一不可并且σb(T)分解的兩塊也缺一不可。

例1令T∈B(l2)定義為：T(x1,x2,x3,…)=(0,x1,x2,x3,…)。

經計算可得T滿足Browder定理,

σ(T)=σ1(T)=σb(T)={λ∈C:|λ|≤1}且σSF+(T)=σk(T)={λ∈C:|λ|=1}

顯然,σ(T)≠σSF+(T)∪σk(T)且σb(T)≠σSF+(T)。

通過計算可得T滿足Browder定理，

σ(T)=σb(T)=σSF+(T)={0}且σk(T)=?=σ1(T)

顯然，σ(T)≠σ1(T)∪σk(T)且σb(T)≠σ1(T)。

例3令T∈B(l2)定義為：T(x1,x2,x3,…)=(0,x2,x3,x4,…)。

經計算可得T滿足Browder定理，另外σ(T)={0,1}，σ1(T)=?，σSF+(T)={1}且σk(T)={0,1}。顯然，σ(T)≠σ1(T)∪σSF+(T)。

(ii) 在定理1中，當σ(T)=σ1(T)∪σSF+(T)∪σk(T)或者σb(T)=σ1(T)∪σSF+(T)成立時，并不能推出T滿足Weyl定理。

經計算可得σ(T)=σb(T)=σk(T)=σSF+(T)={0}且σ1(T)=?。顯然，σ(T)=σ1(T)∪σSF+(T)∪σk(T)且σb(T)=σ1(T)∪σSF+(T)。但T不滿足Weyl定理。

下面，我們研究有界線性算子的Weyl定理。稱T∈B(H)為isoloid算子，若λ0∈isoσ(T)時，有n(T-λ0I)>0。

定理2令T∈B(H)，則T為isoloid算子并且滿足Weyl定理當且僅當

σb(T)=σ1(T)∪accisoσ(T)∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}

證明必要性。設T為isoloid算子并且滿足Weyl定理。顯然

σ1(T)∪accisoσ(T)∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}?σb(T)

另外，若λ0?σ1(T)∪accisoσ(T)∪{λ∈C:n(T)=∞}，由于λ0?σ1(T)可知λ0∈isoσw(T)∪ρw(T)，因此存在ε>0使得0<|λ-λ0|<ε時，有T-λI為Weyl算子。又因為T滿足Weyl定理，故λ∈isoσ(T)∪ρ(T)。但由于λ0?accisoσ(T)，從而可知λ0∈isoσ(T)∪ρ(T)并且n(T-λ0I)<∞。因為T為isoloid算子，因此λ0∈π00(T)∪ρ(T)，結合T滿足Weyl定理可知λ0?σb(T)。因此，σb(T)=σ1(T)∪accisoσ(T)∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}。

利用與證明定理2同樣的方法，我們可以得到：

T∈B(H)滿足Weyl定理當且僅當

σb(T)=σ1(T)∪[accisoσ(T)∩σd(T)]∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}

其中σd(T)={λ∈C:R(T-λI)不為閉集}。另外，通過定理2，很容易得到下面的結論。

推論1令T∈B(H)，則下列敘述等價：

(i)T滿足Weyl定理；

(ii)σb(T)=σ1(T)∪accisoσ(T)∪σSF+(T)∪{λ∈C:n(T-λI)=0}∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}；

(iii)σb(T)=σ1(T)∪[accisoσ(T)∩σd(T)]∪σSF+(T)∪{λ∈C:n(T-λI)=0}∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}。

注解2(i) 在定理2中，若T為isoloid算子且滿足Weyl定理，則σb(T)分解的三部分缺一不可。

①σ1(T)不可缺。

例5令T∈B(l2)定義為：T(x1,x2,x3,…)=(x2,x3,x4,…)。

通過計算可得σ(T)=σw(T)=σb(T)={λ∈C:|λ|≤1}，π00(T)=accisoσ(T)=?且{λ∈C:n(T-λI)=∞}={λ∈C:|λ|=1}。顯然，T有Weyl定理且為isoloid算子，但是

σb(T)≠accisoσ(T)∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}

② accisoσ(T)不可缺。

顯然，σ1(T)={λ∈C:n(T-λI)=∞}=?且σb(T)=accisoσ(T)={0}。因此T為isoloid算子且滿足Weyl定理，但是σb(T)≠σ1(T)∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}。

③ {λ∈C:n(T-λI)=∞}不可缺。

經計算可得σ(T)=σw(T)=σb(T)={0}并且π00(T)=σ1(T)=accisoσ(T)=?。因此T滿足Weyl定理且T為isoloid算子但σb(T)≠σ1(T)∪accisoσ(T)。

(ii) 在定理2中，“T為isoloid算子”也不可缺。

由例2中的算子T可知T滿足Weyl定理但不為isoloid算子。然而，

σb(T)≠σ1(T)∪accisoσ(T)∪{λ∈C:n(T-λI)=∞}

令π(T)={λ∈σ(T):T-λI為Drazin可逆算子}，由文獻[8,定理10.2]可知π(T)?isoσ(T)。另外，若isoσ(T)?π(T)，那么稱T為poloroid算子。因此，當T為poloroid算子時，有isoσ(T)=π(T)。下面，我們研究poloroid算子的Weyl定理。

當isoσ(T)=?時，則T為isoloid算子且T為poloroid算子，此時σb(T)=σ(T)。于是有下列推論。

推論2令T∈B(H)，則isoσ(T)=?且T滿足Weyl定理當且僅當σ(T)=σ1(T)。

另外，當isoσ(T)為有限集時，有以下結論。

推論3令T∈B(H)，設isoσ(T)為有限集，則T為poloroid算子且滿足Weyl定理當且僅當σ1(T)=σD(T)。

接下來，我們證明在一定條件下，若f(T)滿足Weyl定理當且僅當σ1(·)滿足譜映射定理。

推論4令T∈B(H)，設isoσ(T)=?，且T滿足Weyl定理，則對任意的f∈H(T)，f(T)滿足Weyl定理當且僅當σ1(f(T))=f(σ1(T))。

證明若isoσ(T)=?，則isoσ(f(T))=?，此時由推論2知σ(f(T))=σ1(f(T))，故對任意f∈H(T)，f(T)滿足Weyl定理當且僅當σ1(f(T))=σ(f(T))=f(σ(T))=f(σ1(T))。

另外，由Drazin譜映射定理[9]，同樣可以得到下面的結論。

推論5令T∈B(H)，設isoσ(T)有限，則當T為poloroid算子且滿足Weyl定理時，對任意f∈H(T)，f(T)為poloroid算子且滿足Weyl定理當且僅當σ1(f(T))=f(σ1(T))。

事實上，關于σ1(·)的譜映射定理，我們有下面的結論。

定理4設T∈B(H)為isoloid算子且滿足Weyl定理，則下列敘述等價：

(i) 對任意的f∈H(T)，f(T)滿足Weyl定理；

(ii) 對任意的f∈H(T)，f(T)滿足Browder定理；

(iii) 對任意的f∈H(T)，f(σ1(T))?σ1(f(T))；

(iv) 對任意的λ,μ∈Cσe(T), ind (T-λI)ind (T-μI)≥0。

證明(i)?(ii)顯然。

(ii)?(iii)令μ0∈f(σ1(T))，且設λ0∈σ1(T)使得μ0=f(λ0)。若μ0?σ1(f(T))，則存在δ>0使得0<|μ-μ0|<δ時，μ∈ρw(f(T))。設

f(λ)-μ=(λ-λ1)n1(λ-λ2)n2…(λ-λk)nkg(λ)

則由算子函數演算可得

f(T)-μI=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)

其中g(T)為可逆算子。由于f(T)滿足Weyl定理，故σw(f(T))=σb(f(T))，因此由Browder譜的譜映射定理有λi?σw(T)(i=1,2,…,k)。對于λ0，存在ε>0使得0<|λ-λ0|<ε時有0<|f(λ)-f(λ0)|<δ。則f(λ)∈ρw(f(T))，因此λi?σw(T)從而λ0?σ1(T)，這與假設相矛盾。因此f(σ1(T))?σ1(f(T))。

(iii)?(iv)設存在λ0,μ0∈Cσe(T)使得ind (T-λ0I)=-m< 0

(iv)?(i)要證f(T)滿足Weyl定理，即證σ(f(T))σw(f(T))=π00(f(T))。先證σ(f(T))σw(f(T))?π00(f(T))?σw(f(T))=σb(f(T))。顯然σw(f(T))?σb(f(T))。另一方面，令μ0∈ρw(f(T))，設

f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)

顯然λi?σe(T)(i=1,2,…,k)。由條件(iv)可知λi∈ρw(T)。由于T滿足Weyl定理，因此λi?σb(T)，故μ0?σb(f(T))。再證π00(f(T))?σ(f(T))σw(f(T))。令μ0∈π00(f(T))，即μ0∈isoσ(f(T))且0

f(T)-μ0I=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)

不失一般性，假設λi∈isoσ(T)(i=1,2,…,k)。由于T為isoloid算子，因此對任意的λi，有λi∈π00(T)。再由T滿足Weyl定理可知λi?σw(T)，因此μ0?σw(f(T))。綜上可得f(T)滿足Weyl定理。

最后，我們研究p-hyponormal算子和M-hyponormal算子的Weyl定理。 稱T∈B(H)為p-hyponoromal算子，若(TT*)p≤(T*T)p；若存在正數M，使得對任意的x∈H，有M‖(T-λI)H‖≥‖(T-λI)*H‖，則稱T為M-hyponormal算子。若T為p-hyponormal(或M-hyponormal)算子，那么T有以下性質：

(P1) 對任意的λ∈C，T-λI為p-hyponormal(或M-hyponormal)算子；

(P2)T為擬冪零算子,那么T為冪零算子；

(P3) 若E?H為T的不變子空間,那么T|E為p-hyponormal(或M-hyponormal)算子；

(P4)T有有限的升標。

定理5若T∈B(H)為p-hyponormal(或M-hyponormal)算子，則下列敘述成立：

(i)T為poloroid算子且滿足Weyl定理；

(ii) 對任意的f∈H(T)，f(T)滿足Weyl定理。

證明

(ii)設T為p-hyponormal(或M-hyponormal)算子。由(i)可知，當λ0∈isoσ(T)時，T-λ0I為Drazin可逆的， 此時n(T-λ0I)>0，因此T為 isoloid算子。 又因對任意的λ,μ∈Cσe(T)有T-λI與T-μI均有有限升標，故由文獻[5,定理 3.4]可知 ind(T-λI)ind(T-μI)≥0。從而由定理4可得，對任意的f∈H(T)，f(T)滿足Weyl定理。