解泊松問題的Peaceman-Rachford迭代法，共軛梯度和預(yù)處理共軛梯度法

張穎穎

(中國傳媒大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)部，北京 100024)

1 引言

假設(shè)：上述邊值問題有唯一解，且連續(xù)依賴于邊界條件和右端項(xiàng)，亦即邊值問題是適定的。[1]

2 背景

在用數(shù)值方法解possion方程時(shí)，根據(jù)方程的特點(diǎn)，選擇了三種適合求解大型方程組的求解器來解方程。

這三種方法為Peaceman-Rachford迭代法，共軛梯度法和預(yù)處理共軛梯度法，并對(duì)這三種方法的求解效率進(jìn)行比較。

3 Possion方程邊值問題求解實(shí)例

例2.設(shè)對(duì)Possion方程邊值問題

3.1 Peaceman-Rachford迭代格式

采用正方形網(wǎng)格剖分正方形區(qū)域Ω(步長為h)，對(duì)x和y方向采用中心差分并記

則對(duì)Possion方程離散后差分格式可寫成：L1uh+L2uh=f。

改寫為uh=uh-τ(L1uh+L2uh-f)，

其分量形式為

3.2 共軛梯度法(CG)

設(shè)A表示N階對(duì)稱正定陣，考慮線性方程組

Au=f，

(1)

其中u為未知向量，f為已知向量.以p(k)表示第k步的搜索方向，u(k)表示第k步近似解向量，殘向量r(k)=f-Au(k)，則用共軛梯度法求解(1)的步驟如下：

(1)取初始近似值u(0)，計(jì)算p(0)=r(0)=f-Au(0)

3.3 預(yù)處理共軛梯度法(PCG)

設(shè)A表示N階對(duì)稱正定陣，考慮線性方程組

Au=f，

(1)

其中u為未知向量，f為已知向量.以p(k)表示第k步的搜索方向，u(k)表示第k步近似解向量，殘向量r(k)=f-Au(k)，則用預(yù)處理共軛梯度法求解的步驟如下：

4 實(shí)例的三種方法比較

利用Matlab運(yùn)行二種數(shù)值解法的語言程序，[5]求解本文中的實(shí)例，求解區(qū)間[0，1]，取不同步長h，得到不同數(shù)據(jù)結(jié)果和圖形。為進(jìn)一步分析結(jié)果繪制如圖表格。

例1 取步長h=0.1時(shí) 所得的圖形如下

圖1.1 圖1.2

圖1.3 圖1.4 真解圖形

表1 數(shù)值結(jié)果

從表1可以看出CG方法迭代次數(shù)最少，此法較為優(yōu)越。

例2 取步長h=0.05時(shí) 所得的圖形如下

圖2.1 圖2.2

圖2.3 圖2.4 真解圖形

表2 數(shù)值結(jié)果

從表2數(shù)據(jù)可以得出PCG方法迭代次數(shù)最少，此法較為優(yōu)越。

5 結(jié)論

針對(duì)同一問題，步長h越大，迭代次數(shù)越多，但是誤差越小，結(jié)果越精確。

這三種方法中，共軛梯度法不穩(wěn)定，如果條件符合共軛梯度法使用的條件，那么收斂很快，但是如果條件不符合，收斂會(huì)很慢，迭代次數(shù)會(huì)很多。

Peaceman-Rachford迭代法和預(yù)處理共軛梯度法都比較穩(wěn)定，而且在兩個(gè)例子中預(yù)處理共軛梯度法的迭代次數(shù)都比Peaceman-Rachford迭代法的迭代次數(shù)少。綜上，三種方法中最好的解決Possion方程問題的方法是預(yù)處理共軛梯度法。