用數(shù)形結合思想求解2019年高考全國Ⅱ卷函數(shù)解答題

吳天斌

摘?要：本文運用數(shù)形結合思想求解2019年高考全國Ⅱ卷理科第20題，例析由數(shù)想形、由數(shù)畫形、以形助數(shù)、由形化數(shù)在解函數(shù)題中的應用.

關鍵詞：函數(shù)解答題;零點;數(shù)形結合

函數(shù)解答題往往是高考數(shù)學中難度最大的，它不僅運算量大，更為重要的是立意新穎，構思精巧，思維容量大，大多數(shù)考生找不到解題的切入點與突破口，而心生畏懼，一籌莫展.數(shù)形結合思想往往是解決該類問題的有力杠桿與指路明燈，下面就以2019年高考全國Ⅱ卷理科函數(shù)解答題為例，例析由數(shù)想形、以形助數(shù)、由形化數(shù)、數(shù)形兼?zhèn)湓谇蠼夂瘮?shù)零點等相關問題中的應用.

1?試題呈現(xiàn)

試題?（2019年高考全國Ⅱ卷理科第20題）已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1x-1.

（1）討論f（x）的單調(diào)性，并證明f（x）有且僅有兩個零點;

（2）設x0是f（x）的一個零點，證明曲線y=lnx 在點A（x0，lnx0）處的切線也是曲線y=ex的切線[1].

2?試題解析

2.1?第（1）問解析

思路1?（直接判斷法）先對函數(shù)f（x）求導，結合定義域判斷函數(shù)的單調(diào)性，畫出f（x）草圖，取一些特殊函數(shù)值，然后結合零點存在定理證明函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點.

解法1?函數(shù)f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+

）.

由f（x）=lnx-x+1x-1，得f ′（x）=x2+1x（x-1）2.

因為函數(shù)f（x）的定義域為（0，1）∪（1，+

），所以f ′（x）>0恒成立，即函數(shù)f（x）在（0，1）和（1，+

）上是單調(diào)增函數(shù)，如圖1所示.

根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性與函數(shù)值的特殊性，得

f（1e2）=-2+e2+1e2-1=3-e2e2-1<0，

f（1e）=-1+e+1e-1=2e-1>0，

f（e）=1-e+1e-1=-2e-1<0，

f（e2）=2-e2+1e2-1=e2-3e2-1>0.

所以f（1e2）·f（1e）<0，f（e）·f（e2）<0.

由零點存在定理與f（x）單調(diào)性知f（x）在（0，1）與（1，+

）上各有一個零點，所以函數(shù)f（x）在定義域（0，1）∪（1，+

）內(nèi)有2個零點.

評注?大多數(shù)考生想不到畫f（x）的草圖.實際上，結合函數(shù)圖象才更容易想到特殊值lne=1，lne2=2，ln1e=-1，ln1e2=-2.正是這些考生最熟悉而又與題目息息相關的東西幫助他們順利求解此題.所以說，圖形就像一根杠桿，發(fā)揮著四兩撥千斤的作用，指引著考生順利求解題目.

思路2?（極限、極值、最值分析法）先對函數(shù)f（x）求導，結合定義域判斷函數(shù)的單調(diào)性，畫出f（x）草圖，求端點極限值或極值或最值，比較它們與0的大小關系;再結合零點存在定理證明函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點.

解法2?函數(shù)f（x）的單調(diào)性同解法1，如圖1.

①x∈（0，1），當x→0+時y→-

，而x→1-時y→+

，由f（x）單調(diào)性和零點存在定理知，當x∈（0，1）時，函數(shù)f（x）有唯一的零點;

②x∈（1，+），當x→1+時y→-

，而x→+

時y→+

，由f（x）單調(diào)性和零點存在定理知，當x∈（1，+）時，函數(shù)f（x）有唯一的零點.

所以函數(shù)f（x）在定義域（0，1）∪（1，+

）內(nèi)有2個零點.

評注?x→0+指的是變量x從0的右側趨向于0，x→1+指的是變量x從1的右側趨向于1，其余類似.這種做法是把解法1推向于極限情形，更直接地解決問題，只不過對考生的知識、能力要求更高.

思路3?（函數(shù)分離法） 先對函數(shù)f（x）求導，結合定義域判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后令f（x）=0，將所給函數(shù)分離成兩個我們熟悉的函數(shù)，兩個新函數(shù)的交點個數(shù)即為原函數(shù)的零點個數(shù).

解法3?函數(shù)f（x）的單調(diào)性同解法1，如圖2.

根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性與函數(shù)值的特殊性，得f（e）=1-e+1e-1=-2e-1<0，f（e2）=2-e2+1e2-1=e2-3e2-1>0，所以f（e）·f（e2）<0.

由零點存在定理得f（x）在（1，+）上有唯一一個零點x1，即f（x1）=0.

又0<1x1<1，f1x1=-lnx1+x1+1x1-1=-f（x1）=0，故f（x）在（0，1）上有唯一一個零點1x1.

綜上，函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點.

評注?由（1，+

）上的函數(shù)零點x1，猜測1x1是函數(shù)f（x）在（0，1）上的零點，這不僅僅是創(chuàng)新，更是來自平時解題經(jīng)驗的總結與靈感的涌現(xiàn).

解法4?函數(shù)f（x）的單調(diào)性同解法1.

函數(shù)f（x）=lnx-x+1x-1在（0，1）∪（1，+

）的零點個數(shù)，即為方程lnx=x+1x-1（0

它們有且僅有兩個交點，即最初的函數(shù)f（x）=lnx-x+1x-1（0

評注?數(shù)形結合思想的本質(zhì)是轉化，由函數(shù)零點轉化為兩個我們最為熟悉的函數(shù)的交點，把復雜問題轉化為較容易的問題，是數(shù)形結合思想的靈魂和精神所在.有時候，一個圖形勝過千言萬語，把數(shù)學的簡捷美、直觀美、形象美體現(xiàn)得淋漓盡致，這不但能簡化運算，降低試題難度，而且還能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.

2.1?第（2）問解析

思路1?先求出曲線y=lnx在A（x0，lnx0）處的切線l，然后證明當曲線y=ex的切線l′的斜率與l斜率相等時，曲線y=ex的切線l′在縱軸上的截距與l在縱軸的截距相等即可.

解法1?如圖4所示，x0是f（x）的一個零點，所以f（x0）=lnx0-x0+1x0-1=0.即lnx0=x0+1x0-1.

由y=lnx得y′=1x，所以曲線y=lnx在A（x0，lnx0）處的切線l的斜率k=1x0.

故曲線y=lnx在A（x0，lnx0）處的切線l的方程為y-lnx0=1x0（x-x0）.

而lnx0=x0+1x0-1，所以l的方程為y=xx0+2x0-1，它在縱軸的截距為2x0-1.

設曲線y=ex的切點為B（x1，ex1），過切點B（x1，ex1）的切線為l′.由y=ex得y′=ex，所以在B（x1，ex1）處的切線l′的斜率為ex1.

因此切線l′的方程為y=ex1x+ex1（1-x1）.

當切線l′的斜率k1=ex1等于直線l的斜率k=1x0時，即ex1=1x0，得x1=-lnx0.

切線l′在縱軸的截距b1=ex1（1-x1）=e-lnx0（1+lnx0）=1x0（1+lnx0）.

而lnx0=x0+1x0-1，所以b1=1x0（1+x0+1x0-1）=2x0-1.

直線l，l′的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線l，l′重合.故曲線y=lnx在A（x0，lnx0）處的切線也是曲線y=ex的切線.

評注?函數(shù)解答題給考生最大的痛點是抽象，數(shù)形結合思想?yún)s很好地解決了這一問題，化抽象為具體、化復雜為容易、化陌生為熟悉，根據(jù)圖象我們很容易想到函數(shù)y=ex的切線斜率為1x0，之后問題就迎刃而解了.

思路2?要證明曲線y=lnx在點A（x0，lnx0）處的切線也是曲線y=ex的切線，首先求得這條切線的斜率k=1x0，所以必須在曲線y=ex上找一點B（x1，ex1），使y′=ex1=1x0，從而求得點B的坐標（-lnx0，1x0），結合f（x0）=0得直線AB的斜率，再由導數(shù)的幾何意義確定曲線y=ex在點B（-lnx0，1x0）處的切線斜率及曲線y=lnx在點A（x0，lnx0）處的切線斜率，從而使問題得證.

解法2?因為1x0=e-lnx0，所以點B（-lnx0，1x0）在曲線y=ex上.

由題設知f（x0）=0，即lnx0=x0+1x0-1.

如圖4所示，連接AB，則直線AB的斜率KAB=1x0-lnx0-lnx0-x0=1x0-x0+1x0-1-x0+1x0-1-x0=1x0.

因為曲線y=ex在點B（-lnx0，1x0）處切線的斜率是1x0，曲線y=lnx在點A（x0，lnx0）處切線的斜率也是1x0.

所以曲線y=lnx在點A（x0，lnx0）處切線也是y=ex的切線.

評注?為什么選點B（-lnx0，1x0）在曲線y=ex上，絕非偶然，而是事先分析出函數(shù)y=ex的切線斜率等于1x0，推得切點B（-lnx0，1x0）的坐標，之后反向解析、論證.

在面對山重水復疑無路的解題困境時，數(shù)形結合思想往往是柳暗花明又一村的有效途徑，所以我們要一邊演算，一邊思考，一邊修正草圖，畫出與之匹配的圖形，通過數(shù)與形的結合，將抽象問題具體化、復雜問題簡單化、陌生問題熟悉化，這不僅有利于考生快速地找到解決問題的切入點、突破點，摸索到解題思路，弄清問題實質(zhì)真相，而且有助于減輕考生對函數(shù)解答題的恐懼心理，指引考生順利求解，成功登頂.

參考文獻：

[1]杜志建.金考卷特快專遞2019年全國各省市高考試題匯編[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2019.

（收稿日期：2019-11-12）