幾何與代數(shù)因“坐標(biāo)法”相得益彰

袁莉莉 祝峰

摘?要：解析幾何試題的求解應(yīng)在坐標(biāo)法的統(tǒng)領(lǐng)下，先用幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法推理論證和求解，使幾何與代數(shù)相互為用、相得益彰.

關(guān)鍵詞：坐標(biāo)法;變式;幾何;代數(shù)

1?問題提出

解析幾何體現(xiàn)了研究幾何的代數(shù)方法.利用坐標(biāo)系將點(diǎn)表示為有序數(shù)組，建立起空間中點(diǎn)與有序數(shù)組之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此可以將空間中的線（直線、曲線）、面（ 平面、曲面） 表示為一個(gè)方程，幾何問題就歸結(jié)為代數(shù)問題;進(jìn)而借助于代數(shù)運(yùn)算和變換，對(duì)這些數(shù)、代數(shù)式及方程之間的關(guān)系進(jìn)行討論;最后再把討論的結(jié)果利用坐標(biāo)系翻譯成相應(yīng)的幾何結(jié)論.

這就是教師熟悉的三步曲：翻譯——代數(shù)討論——翻譯.因此，解析幾何是在采用坐標(biāo)方法的同時(shí)，運(yùn)用代數(shù)方法來研究幾何對(duì)象[1].這里的“代數(shù)”是解決幾何問題時(shí)用到的工具.在解答過程中，首先要將幾何圖形的性質(zhì)用代數(shù)的語言來描述，最終通過坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算來研究幾何圖形的性質(zhì).但“幾何”是思考的起點(diǎn)和終點(diǎn)，也是問題的緣起和歸宿.求解解析幾何問題過程中，到底“幾何”多一點(diǎn)還是“代數(shù)”多一點(diǎn)？求解解析幾何問題的落腳點(diǎn)應(yīng)該是什么？[2]這樣的討論一直存在，筆者的觀點(diǎn)應(yīng)該是幾何與代數(shù)并舉：幾何圖形位置、數(shù)量關(guān)系的推理與論證，思維量大，運(yùn)算量小;代數(shù)運(yùn)算和變換，思維量小，運(yùn)算量大，兩者各有特征，互為表里，相互為用.本文以2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第16題的探究過程為例，闡述求解解析幾何問題的過程中，在坐標(biāo)法統(tǒng)領(lǐng)下， “幾何”與“代數(shù)”之間的權(quán)衡.

2?試題再現(xiàn)

試題?（2019年全國(guó)Ⅰ卷理科第16題）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若F1A=AB，F(xiàn)1B·F2B=0，則C的離心率為.

此題在填空題壓軸位置，綜合性強(qiáng)、難度大，具有探索性、開放性、綜合性，承載著較強(qiáng)的選拔、區(qū)分功能，很好地發(fā)揮了高考對(duì)教學(xué)的引領(lǐng)作用.

3?試題探究

3.1?代數(shù)視角

3.1.1?設(shè)出直線F1B的方程

解法1?如圖1，F(xiàn)1（-c，0），設(shè)AB的方程為x=my-c，注意到雙曲線C的漸近線方程為y=±bax.

由x=my-c，y=-bax，解得yA=bcbm+a.

同理可得yB=bcbm-a.

因?yàn)镕1A=AB，所以2yA=yB.

即2bcbm+a=bcbm-a.

解得m=3ab.于是B（c2，bc2a）.

因?yàn)?F1B·F2B=0，所以（3c2，bc2a）·（-c2，bc2a）=0.

整理，得b2=3a2.

故離心率e=ca=1+b2a2=2.

評(píng)析?點(diǎn)A，B均是直線F1B與其它直線的交點(diǎn)，在坐標(biāo)法驅(qū)動(dòng)下，需要表示出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出AB的方程，引入未知量m.通過方程的運(yùn)算，表示出點(diǎn)A，B的坐標(biāo).條件F1A=AB，F(xiàn)1B·F2B=0全部坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等式，即2yA=yB，（3c2，bc2a）·（-c2，bc2a）=0，視兩等式為方程，通過消元求得a，b的關(guān)系，達(dá)到求解離心率的目的.

3.1.2?設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)

解法2?注意到OA：y=-bax， OB：y=bax，故設(shè)B（at，bt）.所F1B=（at+c，bt），F(xiàn)2B=（at-c，bt）.

由F1B·F2B=0，得（at+c）（at-c）+b2t2=0.

解得t=±1（t=-1舍）

所以B（a，b）.

又因?yàn)镕1A=AB，所以A（a-c2，b2）.

代入直線OA的方程得（a-c）b+ab=0.

解得c=2a.所以e=ca=2.

評(píng)析?代數(shù)法解決問題的前提是點(diǎn)有坐標(biāo).解法1中，設(shè)出直線AB的方程，通過解方程求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo);解法2是設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，引入未知量t，把F1B·F2B=0方程化，求得t=±1，先求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再把條件F1A=AB坐標(biāo)化，獲得A（a-c2，b2），代入直線OA的方程，即構(gòu)建a，c的關(guān)系.整個(gè)過程，緣于坐標(biāo)，通過方程求解，止于圖形性質(zhì).

3.1.3?列出點(diǎn)B的軌跡方程

解法3?由F1B·F2B=0，可得點(diǎn)B軌跡方程為x2+y2=c2.

聯(lián)立直線OB有x2+y2=c2，y=bax.

解得B（a，b）.下同解法2.

評(píng)析?如何利用條件F1B·F2B=0？在解法1、解法2中都是把向量表達(dá)式坐標(biāo)化，利用數(shù)量積為零，列出關(guān)系式，得到方程.而解法3則依據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡求解思想，直接得到點(diǎn)B滿足的軌跡方程.

3.1.4?列出直線AB的方程

解法4?雙曲線C的漸近線方程為y=±bax.

由F1A=AB知A是F1B的中點(diǎn).

因?yàn)镺是F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A//BF2.

又F1B·F2B=0，所以AB⊥OA.

由直線OA的方程為y=-bax，可知AB的方程為y=ab（x+c）.

聯(lián)立y=ab（x+c），y=-bax，解得xA=-a2c.

同理xB=-a2c2a2-c2.

結(jié)合A是F1B的中點(diǎn)，可得-a2c2a2-c2-c=-a2c×2 .

整理可得c4-5a2c2+4a4=0.

即e4-5e2+4=0.

解得e=2（其中e=±1，e=-2舍去）.

評(píng)析?與設(shè)出直線AB方程不同，解法4是把F1B·F2B=0轉(zhuǎn)化為圖形特征，即AB⊥OA.求出直線AB的斜率，直接列出其方程，沒有引入新的未知量.條件F1A=AB則轉(zhuǎn)化到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系上，建立了a，c的關(guān)系.

上述四種求解方法，均側(cè)重于圖形的幾何特征坐標(biāo)化、方程化，通過代數(shù)運(yùn)算解決問題.坐標(biāo)法是對(duì)學(xué)習(xí)和研究解析幾何具有廣泛、持久、深刻影響的基本數(shù)學(xué)思想方法和基本思維策略方法[3].在這種基本思想的引領(lǐng)下，當(dāng)學(xué)生面對(duì)解析幾何問題時(shí)總能想到問題解決的辦法.在解決幾何問題中注重坐標(biāo)法思想的引領(lǐng)作用，“可以提高思維的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性、邏輯性，有效克服‘做得到但想不到的尷尬，使數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)更具‘必然性” [2].同時(shí)應(yīng)注意的是，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)由幾何作圖得到，要將各種幾何性質(zhì)翻譯成坐標(biāo)運(yùn)算，需借助幾何定理，利用圖形描述分析數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)與形的聯(lián)系，才能探索出解決問題的思路.

3.2?幾何視角

3.2.1?證明ΔOBF2為正三角形

解法5?因?yàn)镕1A=AB，結(jié)合O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A//BF2.所以∠F1OA=∠OF2B.

由雙曲線漸近線的對(duì)稱性，有∠F1OA=∠F2OB.

所以∠F2OB=∠OF2B.

所以O(shè)B=BF2.

又因?yàn)镕1B·F2B=0，

所以在RtΔF1BF2中，OB=OF2.

所以ΔOBF2為正三角形.

所以∠F2OB=60°.

所以ba=tan60°=3，即b=3a.

所以b2=3a2.

因?yàn)閍2+b2=c2，所以c2-a2=3a2.

所以e=2.

評(píng)析?沒有進(jìn)行任何坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，而是把條件F1A=AB，F(xiàn)1B·F2B=0均轉(zhuǎn)化為圖形的幾何特征，借助幾何直觀，感知圖形的形態(tài)規(guī)律.通過演繹論證得到ΔOBF2為正三角形，依據(jù)斜率的定義，構(gòu)建a，b關(guān)系，達(dá)到求解離心率的目的.

3.2.2?斜率的定義

解法6?如圖2，由F1A=AB知點(diǎn)A是F1B的中點(diǎn).

因?yàn)镺是F1F2的中點(diǎn)，

所以O(shè)A//BF2.

又因?yàn)镕1B·F2B=0，

所以F1B⊥F2B.

在RtΔBF1F2中，設(shè)∠AF1O=θ，則∠BOF2=2θ.

依據(jù)斜率的定義，kOB=tan2θ=ba.

因?yàn)镕1B⊥OA，所以kF1B=ab=tanθ.

所以ba=tan2θ=2tanθ1-tan2θ=2·ab1-（ab）2.

整理，得b2=3a2.所以e=2.

評(píng)析?把條件中的垂直及中點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線OB和直線F1B傾斜角之間的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合斜率的定義，建立a，b之間的關(guān)系，達(dá)到求解離心率的目的.

三角、向量都具有數(shù)與形的雙重身份，為減少計(jì)算量，在坐標(biāo)化前要考慮可否利用三角、向量、平面幾何知識(shí)簡(jiǎn)化幾何問題.對(duì)某些看似與三角、向量、平面幾何無關(guān)的距離、面積等問題，若能結(jié)合三角、向量、平面幾何知識(shí)，則可收到事半功倍之效.因此，只有挖掘“形”的特征，才能簡(jiǎn)化“數(shù)”的繁難.

4?試題變式

不失原問題特征，試題可作如下不同視角的變式：

變式1?已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，曲線x2+y2=a2+b2與雙曲線C的漸近線在第一象限交于點(diǎn)B，連接F1B，與另一條漸近線交于點(diǎn)A，滿足2OA=OF1+OB，則C的離心率為.

變式2?已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若F1A=22AB，F(xiàn)1B·F2B=0，則C的離心率為.

變式3?已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為2，過點(diǎn)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若F1A=λAB，F(xiàn)1B·F2B=0，則λ=.

變式4?已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為2，過點(diǎn)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若F1A=22AB，則F1B·F2B=.

變式5?已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若F1A=（m2+1）AB（m∈R），F(xiàn)1B·F2B=0，則C的離心率的取值范圍是.

變式6?已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若F1A=λAB，F(xiàn)1B·F2B=0，則λ的取值范圍為.

變式7?已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn).若F1A=λAB，F(xiàn)1B·F2B=0，證明：雙曲線C的離心率為2λ.

在上述問題的探究過程中，可得如下命題：

已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B（B位于第一象限）兩點(diǎn).

命題1?點(diǎn)B坐標(biāo)為（a，b）F1B⊥F2B.

命題2?若F1A=λAB，則雙曲線C的離心率為2λ.

5?結(jié)束語

高中階段，研究圖形的主要思想方法有：綜合幾何法、解析幾何法、向量幾何法.在討論特定問題時(shí)，還可以用變換幾何法、分析（微積分）方法等[4].在平面幾何問題的求解過程中，解析幾何是“以代數(shù)方法研究幾何問題”，但解題中應(yīng)注意幾何與代數(shù)的相互為用.實(shí)際上，首先應(yīng)明確面臨的幾何問題是什么，然后才能使用代數(shù)方法研究，所以在求解解析幾何試題的過程中一定要注意“先用幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法推理、論證和求解”的基本思路，不要忽視“幾何要素的分析”這一環(huán).也就是要處理好“代數(shù)求解”與“幾何直觀”之間的關(guān)系.如果過多地把注意力集中在代數(shù)研究，雖然能達(dá)到細(xì)致入微的境界，但沒有直觀形象的支撐，最后還是不能很好地把握?qǐng)D形的幾何性質(zhì).所以，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行“代數(shù)關(guān)系的幾何意義”的訓(xùn)練也是很有必要的[5].只有在坐標(biāo)法的統(tǒng)領(lǐng)下，才能使幾何與代數(shù)互為表里、相得益彰;才能想得到、做得到;才能感悟到解析幾何這門學(xué)科的精髓.

參考文獻(xiàn)：

[1] 章建躍.解析幾何的思想、內(nèi)容和意義——“中學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何”之一 [J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007（13）：1-3+16.

[2] 章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育思想隨想錄 [M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[3] 李昌官.為發(fā)展學(xué)科一般觀念而教——兼談解析幾何復(fù)習(xí)起始課教學(xué) [J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（09）：11-15.

[4]史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

[5]章建躍.人教A版高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材中的解析幾何——“中學(xué)數(shù)學(xué)中的解析幾何”之四[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2007（19）：3-6.

[6] 王雅琪.坐標(biāo)一橋飛架?數(shù)形天塹變通途——談2015年高考數(shù)學(xué)北京卷對(duì)解析幾何的考查[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（03）：46-48+53.

（收稿日期：2019-11-15）