關(guān)于Milosevic不等式的再研討

郭要紅

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 241000)

1 引言

設(shè)a,b,c,R,r,s,△分別為△ABC的三邊長(zhǎng)、外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，半周長(zhǎng)與面積，∑表示循環(huán)求和.

文[1]介紹了由D.M.Milosevic提出的如下不等式：

①

文[2]給出了不等式①的一個(gè)加強(qiáng).

定理1在△ABC中，有

②

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.

對(duì)Milosevic不等式進(jìn)行再研討，本文得到不等式①的一個(gè)逆向不等式以及不等式②的一個(gè)加強(qiáng).

定理2在△ABC中，有

③

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.

定理3在△ABC中，有

④

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.

2 三個(gè)引理

為證明不等式③與不等式④，先給出三個(gè)引理.

引理1[3]在△ABC中，有

∑ab=s2+4Rr+r2；

∑a2=2(s2-4Rr-r2)；

∑a3=2s(s2-6Rr-3r2).

引理2[4]在△ABC中，有

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.

引理3[5]在△ABC中，有

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立.

3 主要結(jié)論的證明

利用引理1與abc=4Rrs，有

(b+c)(c+a)(a+b)

=(2s-a)(2s-b)(2s-c)

=2s(s2+2Rr+r2)，

根據(jù)半角公式與余弦定理，有

3.1 不等式③的證明

證明根據(jù)熟知的歐拉不等式R≥2r知

18R2-3Rr-2r2-16R2=2R2-3Rr-2r2

=(2R+r)(R-2r)≥0，

于是18R2-3Rr-2r2≥16R2，

⑤

⑤式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)R=2r,即△ABC為正三角形時(shí).

利用引理2與⑤式，有

由引理2與⑤式等號(hào)成立的條件知，不等式③等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí). 定理2得證.

3.2 不等式④的證明

證明由歐拉不等式R≥2r知

8R3-(4R3+6R2r+3Rr2+2r3)

=(4R2+2Rr+r2)(R-2r)≥0，

所以4R3+6R2r+3Rr2+2r3≤8R3，

⑥

⑥式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)R=2r，即△ABC為正三角形時(shí).

利用引理3與⑥式，有

由引理3及⑥式等號(hào)成立的條件知，不等式④等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)成立，定理3得證.

4 討論

注意到

于是，我們得到不等式①的一個(gè)類似.

推論1在△ABC中，有

所以，不等式④是表不等式②的加強(qiáng).