古希臘三大幾何問題的近似尺規(guī)作圖①

蔣 迅 王淑紅

(河北師范大學數(shù)學與信息科學學院 050024)

1 引言

尺規(guī)作圖是初等幾何教育中的一個課題.它對培養(yǎng)學生的幾何想象能力起到了重要作用.在古代，尺規(guī)作圖的研究曾經(jīng)促成過多個數(shù)學領(lǐng)域的發(fā)展.一些結(jié)果就是為解決古希臘的三大幾何問題而得到的副產(chǎn)品.對尺規(guī)作圖的探索推動了對圓錐曲線的研究，并發(fā)現(xiàn)了一批著名的曲線.我們也知道，不是任何的幾何圖形都可以用直尺和圓規(guī)作出來的，其中最著名的就是古希臘的三大幾何問題.盡管如此，人們還是嘗試著用直尺和圓規(guī)作出盡可能接近目標的圖形來.本文就介紹自古至今人們對古希臘三大幾何問題的近似解法，特別是拉馬努金(Srinivasa Ramanujan，1887—1920)的一個作圖法和丟勒(Albrecht Dürer，1471-1528)的一個作圖法.本文也將提及著名數(shù)學家陶哲軒(1975—)在其中一個問題上的討論.

2 古希臘三大幾何問題

所謂尺規(guī)作圖，指的是只使用直尺和圓規(guī)經(jīng)過有限次使用來作出不同的平面幾何圖形.這里，直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè).只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上面畫刻度.而圓規(guī)可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度.它只可以拉開成你之前構(gòu)造過的長度或一個任意的長度.

古希臘三大幾何問題是早期希臘數(shù)學家特別感興趣的三個問題.它們分別是：

三等分角問題：分任意角為三等分.

倍立方體問題：求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍.

化圓為方問題：作一個與給定的圓面積相等的正方形.

下面我們分別介紹這三個問題的的發(fā)展歷史和近似尺規(guī)作圖.

2.1 三等分角

三等分角的尺規(guī)作圖被旺澤爾(Pierre Wantzel，1814-1848)在1837年證明是不可能的.他是以代數(shù)方程理論為基礎(chǔ)得到證明的.此后，人們對這個問題仍然興趣滿滿.有些人力圖給出其他證明或推廣.這方面的一個著名結(jié)果是陶哲軒在2011年給出的幾何證明.他的結(jié)果實際上證明了，任何n等分角都是不可能的，只要n不是2的冪.還有康奈爾大學數(shù)學教授卡恩(Peter J. Kahn)的一些工作.另一些人則在減弱限制條件下證明.這方面的嘗試有二刻尺方法、折紙方法、連鎖作圖法、直角尺作圖法、輔助曲線作圖法等，或者對一些特殊角度作圖.關(guān)于二刻尺方法和折紙方法，可見作者發(fā)表于《數(shù)學文化》雜志的文章“二刻尺作圖的古往今來”.更多的是一些缺乏數(shù)學訓練的業(yè)余數(shù)學愛好者們給出的大量尺規(guī)作圖方法.他們聲稱旺澤爾的結(jié)果是錯誤的.有人把這些作圖法收集起來，出版了書.這真是一件可悲的事情.而我們在這里要討論的是在減弱結(jié)果的條件下的尺規(guī)近似作圖.

三等分角的尺規(guī)近似作圖相對于倍立方體和化圓為方來說是最容易的.我們可以反復四等分角來實現(xiàn).這是基于下列的幾何級數(shù)：

用這個方法作圖，可以在有限步驟里對三等分角達到任意精度.以60°角為例，用這個數(shù)列的前三項得到的是19.6875°，用前四項得到的是19.9218756875°，誤差只有0.078125°.注意即使是60°角，三等分角的尺規(guī)作圖也是不可能的.類似地，可以用來作三等分角的級數(shù)還有一些，比如下面的幾何級數(shù)：

除了基于級數(shù)的作圖法，也有其他達到不錯精度的近似方法.

我們介紹德國中世紀末期、文藝復興時期著名畫家、雕刻家和數(shù)學家丟勒在1525年發(fā)表的一個作法.相信讀者對他在藝術(shù)上的成就所知甚多，但其實他也是一位優(yōu)秀的數(shù)學家，曾經(jīng)寫過關(guān)于幾何學的著作《量度四書》，其內(nèi)容主要是使用圓規(guī)、直尺的量度指南.而且他特別著重講了幾何學原理在建筑學、工程學和排版式編排設(shè)計中的應(yīng)用.從他就可以看出西方藝術(shù)家早就認識到數(shù)學對于藝術(shù)創(chuàng)作的重要性.

梁元帝蕭繹是個愛讀書的人，常常讓身邊的人晝夜不停地為他讀書，即使睡著了，他手里也還拿著書卷。而如果為他讀書的人讀錯了或者故意漏讀欺騙他，他就會馬上驚醒——可以說，此人的確是個超級書迷了。

1966年，一位美國數(shù)學業(yè)余愛好者給出了一個只適用于小于90°的方法(當角度大于90°時，我們可以先減去一個90°的角來實現(xiàn)).他以為自己得到了一個完美的三等分角的尺規(guī)作圖法，但其實是一個不錯的近似方法.后來美國蒙塔納州的一位程序員羅伊(Jim Loy)作了一些簡化.我們介紹如下：

2.2 倍立方體

倍立方體問題最早是柏拉圖給歐多克斯(Eudoxus，約前408-前347)、阿爾庫塔斯(Archytas，前428—前347)和梅內(nèi)赫莫斯(Menaechmus，前380—前320)提出的.當時提出時，柏拉圖沒有給出一個嚴格的問題描述.有一種說法是這些人用了一些工具作出來了.這迫使柏拉圖明確地提出必須用“純幾何”的方法.另一種說法是他們給出的解答過于抽象而不具實際用途.還有一個相關(guān)的神話故事.關(guān)于這個問題，我們在《數(shù)學都知道2》第5章里介紹過.這里不再敘述.

倍立方體的尺規(guī)作圖不可能性的證明是旺澤爾在1837年證明三等分角問題之不可能性時一起得到的.如果我們愿意減弱限制條件，那么這個問題也是有解的.比如，二刻尺、折紙、直角尺以及借助蔓葉線(Cissoid of Diocles)、蚌線(Conchoid)和費隆線(Philo line)等方法.在“二刻尺作圖的古往今來”中，我們也介紹了倍立方體問題的二刻尺和折紙作圖.在這里最值得一提的是阿爾庫塔斯在公元前四世紀給出的在三維空間中的作圖.他在那個時候就有了用曲線作旋轉(zhuǎn)體的思想.

盡管這個問題有很深的歷史淵源和有趣的神話故事為依托，尺規(guī)近似作圖的例子卻不多.這很可能是因為這些作圖法都比較簡單，不值得大數(shù)學家們下筆吧.我們選擇1872年發(fā)表在《倫敦皇家學會會報》上的一個作圖法.

|BL|=|BG|+|GL|

≈3.77962646453,

V2=|AL|3≈53.9941419096.

1921年，《科學美國人》月刊發(fā)表過另一個作圖法.2016年，一位德國人在維基百科上發(fā)布了一個非常棒的作圖法.按照此人的方法，如果給定邊長為十億公里(光也要走55分鐘！)，那么體積加倍后的邊長誤差僅為0.2毫米，體積的誤差為0.8立方分米(大約一升).

2.3 化圓為方

如果能夠利用尺規(guī)化圓為方，那么必然能夠從單位長度出發(fā)，用尺規(guī)作出長度為π的線段.化圓為方的尺規(guī)作圖之不可能性的證明晚于三等分角和倍立方體.它是由德國數(shù)學家林德曼(Ferdinand von Lindemann，1852—1939)在1882年證明的.魏爾斯特拉斯(Karl Weierstrass ,1815—1897)在1885年推廣了林德曼的結(jié)果.他們的結(jié)果被稱為“林德曼-魏爾斯特拉斯定理”.

與三等分角和倍立方體問題不同的是，化圓為方不能用二刻尺和折紙方法實現(xiàn).在西方甚至用化圓為方來比喻做不可能的事情.但借助其他工具化圓為方還是可行的，比如借助希比阿斯(Hippias of Elis，生于公元前460年左右)的割圓曲線(quadratrix of Hippias)、阿基米德螺線(Archimedean spiral)等.

第一位對化圓為方表達興趣的古希臘人是安納薩哥拉斯(Anaxagoras，約前500-前428)，但我們沒有更詳細的記載.希波克拉底(Hippocrates of Chios，前470—前410)研究了月牙面積問題(Lune of Hippocrates)，希望由此解決化圓為方問題.正式提出化圓為方問題的是恩諾皮德斯(Oenopides of Chios，約前450年左右).但是直到1667年才有蘇格蘭數(shù)學家格列高里(James Gregory，1638-1675)開始試圖證明這個問題是不可解的.二百多年后，這個問題才被林德曼最終解決.他證明了化圓為方和化方為圓都是不可能的.

在認識到化圓為方是不可能的之后，人們開始嘗試用直尺和圓規(guī)來構(gòu)造出近似等于π的線段來.1913年，英國數(shù)學家霍布森(Ernest William Hobson，1856-1933)給出了一個方法，近似到了小數(shù)點后四位(誤差為 4.8×10-5).同年，印度著名數(shù)學家拉馬努金給出了一個構(gòu)造分數(shù)355/113的方法，從而將近似度提高到了小數(shù)點后六位(355/113 = 3.141592920353…).

拉馬努金筆記(1)拉瑪努金筆記1，第54頁.

1914年，拉馬努金又發(fā)現(xiàn)了一個作圖法能計算

這個結(jié)果將近似值提高到小數(shù)點后八位.這方面還有新西蘭裔美國數(shù)學家奧爾茲(Carl Douglas Olds，1912—1979)、美國著名數(shù)學科普大師加德納(Martin Gardner，1914—2010)和英國數(shù)學家迪克森(Robert Dixon，1947—)等.我們下面就介紹拉馬努金的作法.

現(xiàn)在我們可以介紹拉馬努金的方法了.

拉馬努金的作圖方法

連接點A和點M，同時連接點A和點N.在線段AN上取點P使得|AP|=|AM|.過點P作線段MN的平行線并交線段于AM點Q.連接點O和點Q并過點T作OQ的平行線TR交AQ于R.過點A作RT的平行線AS使得|AS|=|AR|，連接OS.拉馬努金的構(gòu)造到此為止.他聲稱線段OS和線段OB的幾何平均大約等于圓周長的六分之一.

我們下面將繼續(xù)作出一個正方形來，它的面積將近似于圓的面積.

=3.141592652582641252…

這是一個什么概念的近似呢？拉馬努金說：“當直徑為8000英里長時，誤差小于十二分之一英寸.”這大約就是2.1厘米.大師的思路是很精彩的.

3 結(jié)束語

除了以上三大不可能尺規(guī)作圖問題外，還有很多幾何圖形不能用尺規(guī)作出.最著名的是正七邊形.它是正多邊形中第一個不能由尺規(guī)實現(xiàn)的平面幾何圖形.以下的n代表著不能由尺規(guī)作出的正多邊形的邊數(shù)：

7,9,11,13,14,18,19,21,22,23,25,26,27,28,29,31,33,35,36,37,38,39,41,42,…

事實上，總共只有31個已知的奇數(shù)邊正多邊形.有些正多邊形即使能用尺規(guī)作出也是相當復雜.1900年前后，有人作出了正65537邊正多邊形，他的手稿裝滿一個大大的皮箱.這樣的作法只有理論上的意義，沒有實際應(yīng)用的意義.

于是，對實數(shù)中的非規(guī)矩數(shù)如何近似就是一個現(xiàn)實的課題了.莫海亮在他的《圓之吻：有趣的尺規(guī)作圖》中介紹了正五、七、九、十一、十九邊形的近似作圖.我們認為，即使對于不能用尺規(guī)實現(xiàn)的幾何圖形，嘗試它們的近似作圖也是一種挑戰(zhàn).

人們對完美情有獨鐘，但是有的時候近似也是一種美.