對(duì)幾個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考

張承宇

(深圳市中小學(xué)學(xué)科競(jìng)賽學(xué)會(huì) 518001)

有幾個(gè)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題流傳很廣，長(zhǎng)期以來(lái)，有些老師以及某些數(shù)學(xué)參考資料對(duì)這些問(wèn)題的分析與解答有的有誤，有的分析片面，對(duì)學(xué)生造成很不好的影響.筆者認(rèn)為，現(xiàn)在有必要對(duì)這幾個(gè)問(wèn)題予以澄清，以正視聽(tīng).下面談?wù)劰P者對(duì)這幾個(gè)問(wèn)題的思考.

1.不久前，筆者看到一道有趣的“字謎”測(cè)試題：

(a+c+e+g)×(b+d+f+h)

的值是.

答案是280.

原標(biāo)準(zhǔn)解答是：如果有一個(gè)十位數(shù)字大于4，至少是5，則十位數(shù)字之和不小于1+2+3+5=11，因此個(gè)位數(shù)字之和將不超過(guò)18. 此時(shí)4個(gè)個(gè)位數(shù)最小和為4+6+7+8=25 ，矛盾！因此十位數(shù)字不能大于4，故4個(gè)不同的十位數(shù)字只能是1,2,3,4. 進(jìn)而可知個(gè)位數(shù)字只能是5,6,8,9. 故

(a+c+e+g)(b+d+f+h)=(1+2+3+4)×(5+6+8+9)=10×28=280.

筆者認(rèn)為，上述解答不夠完整，它只說(shuō)明了必要條件，對(duì)這種解答，我們提出二個(gè)問(wèn)題：一. 是否存在四個(gè)二位數(shù)，其和為128? 二. 符合條件的四個(gè)數(shù)，是唯一存在的嗎？

對(duì)學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題講解時(shí) ，必須講清楚上述兩個(gè)問(wèn)題.

如果能舉出一個(gè)例子，這兩個(gè)問(wèn)題都解決了.如：19+28+36+45=128.

這里舉出實(shí)例“19+28+36+45=128”很重要，因?yàn)?，前面所述的推理只能說(shuō)明答案有可能是280，但是，不代表一定存在結(jié)果等于128的算式.當(dāng)然，作為填空題，我們看不到考生的解答過(guò)程.

2.小賣部規(guī)定4個(gè)汽水瓶可以換1瓶汽水，鵬程幼兒園大班小張阿姨買了21瓶汽水，喝完后再用空瓶去換……結(jié)果班上每位小朋友剛好每人一瓶，那么該班有______名小朋友.

筆者看到的解答是：先將21瓶汽水喝完，用其中20個(gè)空瓶換5瓶汽水，喝完；現(xiàn)在有6個(gè)空瓶，再用其中4個(gè)空瓶又可以換1瓶汽水，喝完；此時(shí)還有3個(gè)空瓶，然后借1瓶汽水喝完，將四個(gè)空瓶抵1瓶汽水還給店主.故班上共有21+5+1+1=28(人).

當(dāng)下流行的這種解答，甚至上了電視娛樂(lè)節(jié)目，當(dāng)主持人說(shuō)道“先借一瓶汽水，喝完后還店主4個(gè)空瓶”，場(chǎng)下掌聲雷動(dòng).殊不知，這不應(yīng)該是一個(gè)真正的數(shù)學(xué)老師的解法.

下面筆者給出一種更為合理，更有數(shù)學(xué)味的解答：

解： 4個(gè)空瓶換1瓶汽水，等價(jià)于3個(gè)空瓶可以喝1瓶汽水(不要店主的瓶)，那么，21個(gè)空瓶可以喝到7瓶汽水， 21+7=28，因此，班上共有28人.

3.筆者本人1996年原創(chuàng)的一道題目，發(fā)表在《數(shù)學(xué)通報(bào)》1996年第10期“數(shù)學(xué)問(wèn)題解答”欄目，答案發(fā)表在第11期上. 即以下

題1038在正方形紙片上有1996個(gè)點(diǎn)，加上正方形的頂點(diǎn)共2000個(gè)點(diǎn)，且這些點(diǎn)中任意三點(diǎn)都不在一條直線上，現(xiàn)在以這2000個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，將正方形紙片剪開(kāi)，問(wèn)最多能剪成多少個(gè)三角形紙片？

題目慢慢傳開(kāi)后，就出現(xiàn)了一種錯(cuò)誤的解法(以下解法一)，大多數(shù)老師和學(xué)生都是這樣做的：

解法一：如圖，紙上有一個(gè)點(diǎn)，最多可剪4個(gè)小三角形，如果增加一個(gè)，則這個(gè)點(diǎn)必在某個(gè)三角形內(nèi)部，不會(huì)在邊上，因?yàn)闆](méi)有三點(diǎn)共線，這樣，就把該三角形一分為三，增加了2個(gè)三角形，……，如此推知，最多可以剪出

4+2×(1996-1)=3994

個(gè)三角形.

為什么這個(gè)解答是錯(cuò)的(盡管最后答案是正確的)？因?yàn)檫@種剪法只是千千萬(wàn)萬(wàn)種剪法中的一種，你怎么能證明別的剪法不會(huì)剪出更多的小三角形？若紙片上有兩個(gè)點(diǎn)，就會(huì)出現(xiàn)以下不同的剪法：

正確的解法應(yīng)該是：

解法二： (刊于《數(shù)學(xué)通報(bào)》1996年第11期“數(shù)學(xué)問(wèn)題解答”欄目)

易知，在剪成的三角形紙片上不應(yīng)該再有點(diǎn)，否則三角形個(gè)數(shù)不是最多.現(xiàn)在計(jì)算所有這些三角形內(nèi)角和.為此將它們重新拼成正方形，發(fā)現(xiàn)這些角分為兩類：一是以正方形的4個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的，再是以1996個(gè)內(nèi)點(diǎn)為頂點(diǎn)的，對(duì)于前者，這些角拼成了4個(gè)直角，對(duì)于后者，這些角拼成1996個(gè)周角.所以總和為90°×4+360°×1996.因此三角形個(gè)數(shù)為

解法三： 設(shè)正方形紙片上有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多可以剪出an個(gè)小三角形，則a1=4，an+1=an+2.從而有

a1=4，a2=a1+2，a3=a2+2，……，an=an-1+2，

將上述n個(gè)式子左右兩邊分別相加，得到

an+1=2n+2，

于是，有a1996=2×1996+2=3994.

解法三與錯(cuò)解(解法一)的根本區(qū)別在于，an是n個(gè)點(diǎn)時(shí)所有剪法中剪出最多的小三角形的個(gè)數(shù).

4.二十多年前，我來(lái)到深圳中學(xué)工作，教初一超常班，那時(shí)候市面上到處都是北京海淀區(qū)出的教學(xué)資料，上面有一道題：絕對(duì)值不超過(guò)100的全體整數(shù)之和是多少？答案為0.第二年該書(shū)再版，原作者把這道題改為：絕對(duì)值不超過(guò)100的全體有理數(shù)之和是多少？答案仍為0！殊不知，這一改就成了一道錯(cuò)題了！

下面請(qǐng)聽(tīng)我慢慢道來(lái)：

①

②

可見(jiàn)0

下面有點(diǎn)像變戲法：

由此得到

現(xiàn)在把將式③和式④左右兩邊對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)分別相加，得到

觀察式③和式⑤，只是運(yùn)算順序不同(用了加法交換律)，但是，左邊卻明顯不相等，就是說(shuō)，交換數(shù)的運(yùn)算順序，所得結(jié)果變了！

這是什么原因？

現(xiàn)在回到前面，絕對(duì)值不超過(guò)100的全體有理數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，運(yùn)算的順序不同，其和就不一樣.如果我們把“有理數(shù)”改成“實(shí)數(shù)”，那就更錯(cuò)了，因?yàn)閷?shí)數(shù)是不可列的，根本無(wú)法相加！書(shū)的作者可能不知道黎曼定理，因此造成錯(cuò)解.這里，我們建議師范院校數(shù)學(xué)課本涉及內(nèi)容可以更寬更廣，但不必太深.