利用數(shù)形結(jié)合提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的策略

潘燦麗

[摘? 要] 數(shù)形結(jié)合不僅關(guān)系到數(shù)學(xué)能力的達(dá)成，同時對學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)也具有十分重要的意義. 對于初中數(shù)學(xué)而言，數(shù)形結(jié)合已然成為十分重要的教學(xué)手段，文章在此基礎(chǔ)上結(jié)合新課標(biāo)的推進(jìn)趨勢對數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透進(jìn)行闡釋，并通過對具體例題的分析提供關(guān)于學(xué)生能力培養(yǎng)的新路徑.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;以形助數(shù);以數(shù)解形;數(shù)形互譯

數(shù)形結(jié)合是學(xué)生通過活動對感性素材進(jìn)行的抽象，它是高度投入、高階認(rèn)知參與的一種培養(yǎng)學(xué)生能力的方法，同時它也是學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，相對于其他思想方法而言，形象、直觀是其顯著的特點. 數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法之一，也是數(shù)學(xué)解題中直接性理解和創(chuàng)造性構(gòu)建的紐帶，對發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)具有重要意義. 本文結(jié)合具體例題分析數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中的滲透，進(jìn)而提供關(guān)于學(xué)生能力培養(yǎng)的新路徑.

以教材內(nèi)容為載體，培養(yǎng)數(shù)形

結(jié)合

相較于小學(xué)數(shù)學(xué)，初中教材明顯更具有復(fù)雜性和抽象性，同時數(shù)形結(jié)合思想也貫穿于整個教材中，有效架起了抽象知識與直觀圖形的橋梁，成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法. 這就要求教師深度挖掘教材內(nèi)容，運用數(shù)形結(jié)合思想實現(xiàn)目標(biāo)定位，在數(shù)形轉(zhuǎn)化中培養(yǎng)學(xué)生靈活運用數(shù)形結(jié)合思想的良好習(xí)慣.

1. 通過直觀性圖示，有所感知

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不少抽象而復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題可以通過直觀圖示的“形”來加深理解，通過豐富的感性素材豐富學(xué)生的感性認(rèn)知，提高分析的精確度. 例如，教學(xué)“實數(shù)”，學(xué)生對正數(shù)已經(jīng)有了一個初步的認(rèn)識，教師再演示溫度計、水閘蓄水和放水等直觀圖示，導(dǎo)入負(fù)數(shù)概念和有理數(shù)的運算法則，將抽象的正、負(fù)數(shù)的數(shù)量關(guān)系放于圖示中分析并解決，再輔以詳細(xì)的講解，為本節(jié)課難點的突破建構(gòu)橋梁. 因此，結(jié)合直觀性圖示進(jìn)行分析是滲透數(shù)形結(jié)合思想的第一步，它有助于提升學(xué)生對相關(guān)概念的感知程度，有利于抽象思維的提升.

2. 通過實踐性活動，有所體驗

實踐性活動是促進(jìn)概念理解最常用的方法，借助多種操作性活動引出數(shù)學(xué)概念最抽象、最本質(zhì)的屬性，使學(xué)生有所體驗. 例如，引入“乘方”的概念時，可安排動手折紙的實驗活動或觀察拉面師傅拉面的場景，從而導(dǎo)出概念. 這樣的過程中，通過對事物的剪、拼、拆、折等方法獲取必要的信息，逐步在腦海中形成清晰的表象，從而為問題的探究和解決指明方向.

以習(xí)題特征為突破，培養(yǎng)數(shù)形

結(jié)合思想

在解題中，需關(guān)注到數(shù)與形的融合，細(xì)細(xì)斟酌問題的具體特征，通過形來觀察數(shù)的問題，借助數(shù)的方法去思考形的問題，并合理掌控好二者的融合，使這兩種方法相輔相成、相得益彰，找尋到解決問題的思路，開闊學(xué)生的解題思路.

1. 以形助數(shù)

例1？搖 如圖1，已知A（2，2）和B兩點是反比例函數(shù)y=■的圖像C與正比例函數(shù)y=ax（a≠0）的圖像l的交點，將函數(shù)y=■的圖像與直線AB向右平移n（n>0）個單位長度，所得圖像分別為C′和l′，已知圖像C′過點M（2，4）.

（1），（2）略.

（3）試直接寫出不等式■≤ax-1的解集.

分析? 不等式■≤ax-1可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=■的圖像都位于y=ax-1的函數(shù)圖像上方，它們的交點分別為（3，2）和B（-1，-2），解集為x<-1或0

評注? 從本題中可以看出，若采用常規(guī)代數(shù)方法解決這個問題顯然是不大可行的，但若借助圖形特征，則可使本題的難點迎刃而解.

2. 以數(shù)解形

例2？搖 如圖2，已知平面直角坐標(biāo)系中有Rt△OAB，且其中的一個頂點A位于x軸正半軸，頂點B的坐標(biāo)為（3，■），邊OA上的一點C的坐標(biāo)為■，0，點P在斜邊OB上移動，則PA+PC的最小值為（? ）

分析? 這道題我們往往習(xí)慣選擇以幾何方法進(jìn)行解決，但通過合理作圖，很容易看出來，如果以勾股定理解決，則可以簡化解題過程，從而彌補(bǔ)幾何問題的一些缺憾. 本題這樣思考：作點A關(guān)于OB的對稱點D，連接DC交OB于點P，那么該點P則為所求的點. 構(gòu)造直角三角形通過勾股定理即可求出CD.

評注? 本題為一道幾何問題，在對題目的條件和問題進(jìn)行分析和整合的過程中，深入觀察并理清題目中的圖形特征，然后再將這些特征借助相應(yīng)的公式、定理建立關(guān)聯(lián)，通過代數(shù)方法解決問題.

3. 數(shù)形互譯解決應(yīng)用問題

在解決問題中，常常需要運用到數(shù)形互譯的數(shù)形結(jié)合，從而轉(zhuǎn)化抽象的數(shù)量關(guān)系，在觀察、分析和聯(lián)想中解決問題.

例3？搖 小李和小陸從A地出發(fā)去B地，沿著同一行駛路線，圖3為他們距離A地的距離s（單位：km）與行駛時間t（單位：h）之間的函數(shù)關(guān)系圖像，觀察圖中信息，可得：①小李和小陸都行駛了20 km;②小陸行駛?cè)桃还灿昧?.5 h;③兩人相遇后，小李的速度比小陸的小;小李在行駛過程中停留了0.5 h. 以上說法中正確的有（? ? ?）

A. 1個 B. 2個

C. 3個D. 4個

分析? 本題的解決需要學(xué)生精準(zhǔn)分析圖形，讓原本模糊的問題逐步清晰，學(xué)生從圖示以及數(shù)量關(guān)系著手，通過數(shù)形互譯，找尋到相關(guān)解題公式，搭建解題路徑.

評注? 若本題僅僅在“形”上進(jìn)行分析和觀察，則會出現(xiàn)一系列學(xué)生不易察覺的解題錯誤.

注意事項

1. 數(shù)形結(jié)合思想的運用中，大多涉及作圖問題，有些問題只需通過一個草圖作為輔助手段搭建解題路徑，也有一些題目需要精確作圖，此時則需要避免因作圖不夠精確而導(dǎo)致的錯誤.

2. 數(shù)形結(jié)合思想在解題中，還需關(guān)注到圖形的合理性以及分析問題的各種情形，做到不漏不重.

例4？搖 如圖4，已知網(wǎng)格中有一個直角三角形（且網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1個單位長度），現(xiàn)以此直角三角形的一條邊為公共邊畫出一個新的三角形與原直角三角形構(gòu)成一個等腰三角形，且此新三角形的頂點位置不限，并與原直角三角形僅有一條公共邊，不存在任何公共點，則滿足該要求的新三角形有______個.

分析? 從題意出發(fā)，可以探究得出，以原直角三角形的每條邊為底邊可以構(gòu)造2個新三角形與原直角三角形構(gòu)成一個等腰三角形，那么新三角形的個數(shù)則為6個;再以原直角三角形的斜邊為腰考慮，可以構(gòu)造1個新三角形，故新三角形的個數(shù)共有7個.

總之，數(shù)學(xué)解題不是就題論題的過程，而是通過教學(xué)策略使學(xué)生萌生數(shù)學(xué)思想，并轉(zhuǎn)化為解決問題的策略，再到數(shù)形結(jié)合中體悟核心思想的啟發(fā)性成分，進(jìn)而生成有效的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，實現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的提升. 雖然本文只是以一些單一的例題為例，但其實具有普遍性的意義，對此我們需做到思之再三.