基于數(shù)形結(jié)合 培養(yǎng)初中學(xué)生推理能力的體會(huì)

言晨棟

[摘? 要] 文章作者通過(guò)“全等三角形”（蘇教版）的知識(shí)教學(xué)發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生思維的對(duì)象是“幾何圖形”（即三角形），推理的依據(jù)是“數(shù)量關(guān)系”（相等），推理所需要運(yùn)用到的邏輯關(guān)系是“相等是否全等”. 在幾乎所有數(shù)形結(jié)合的例子中，都可以找到這樣三個(gè)要素，因此數(shù)形結(jié)合確是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的機(jī)會(huì).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;推理能力

對(duì)于推理能力培養(yǎng)的關(guān)注，來(lái)源于兩個(gè)主要原因：一是傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，原本就重視推理能力的培養(yǎng)，學(xué)生在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)及其結(jié)構(gòu)的時(shí)候，推理能力的支撐必不可少，而且初中學(xué)生在進(jìn)入抽象能力發(fā)展的高速階段之后，更加習(xí)慣于通過(guò)推理來(lái)建構(gòu)并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí);二是核心素養(yǎng)背景下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，在瞄準(zhǔn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的時(shí)候，其中的六個(gè)要素中就有邏輯推理，盡管邏輯推理只是推理的一種，但對(duì)于初中數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)來(lái)說(shuō)，已經(jīng)進(jìn)一步凸顯了推理的價(jià)值與地位.

縱觀初中數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生推理能力培養(yǎng)的時(shí)機(jī)實(shí)際上非常豐富，而利用數(shù)形結(jié)合來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，筆者發(fā)現(xiàn)效果非常理想. 下面就利用數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生推理能力談?wù)劰P者的幾點(diǎn)體會(huì).

初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合中培養(yǎng)推理

能力的意義

眾所周知，數(shù)學(xué)是一門(mén)研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的自然科學(xué)，即人們常說(shuō)的“數(shù)”與“形”. 人們?cè)陂L(zhǎng)期的認(rèn)識(shí)和改造自然的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間有著緊密的聯(lián)系，數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究中兩個(gè)不同的側(cè)面，在一定條件下，它們可以互相轉(zhuǎn)化. 這樣的闡述，實(shí)際上表明了一種關(guān)系，即數(shù)與形之間是存在密切關(guān)系的，這個(gè)關(guān)系可以理解為數(shù)與形之間可以互相描述——數(shù)可以描述形，形可以表示數(shù)，而要體現(xiàn)這樣的關(guān)系，推理是必須存在的.

在利用數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)學(xué)生的推理能力之前，首先要明確的是數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題. 顯然，這里所說(shuō)的解決問(wèn)題，既包括新的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)的問(wèn)題解決，也包括知識(shí)建構(gòu)完畢之后解決相關(guān)的問(wèn)題. 在這樣的過(guò)程中，推理又起著什么樣的作用呢？我們可以通過(guò)“全等三角形”（蘇教版）的知識(shí)來(lái)說(shuō)明.

在建立全等形概念的時(shí)候，教材設(shè)計(jì)了一個(gè)體驗(yàn)的環(huán)節(jié)，即讓學(xué)生在一組圖形中尋找兩個(gè)疊起來(lái)能夠重合的圖形（實(shí)際教學(xué)中可以根據(jù)這一思路，設(shè)計(jì)一個(gè)真實(shí)體驗(yàn)的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，即讓學(xué)生制作出兩個(gè)能夠完全重合的圖形）. 這實(shí)際上是一個(gè)合情推理的過(guò)程，即通過(guò)感官信息的刺激結(jié)合經(jīng)驗(yàn)來(lái)判定“完全重合”，即可認(rèn)為“全等”. 盡管初中數(shù)學(xué)相對(duì)于此前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，合情推理已經(jīng)減少了運(yùn)用，但在實(shí)際教學(xué)中如果能夠恰到好處地發(fā)揮作用，一樣可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu).

在“全等三角形的判定”知識(shí)的教學(xué)中，則存在著大量的邏輯推理能力的培養(yǎng)機(jī)會(huì). 基于全等三角形的性質(zhì)去探究全等三角形的判定法則，是一個(gè)具有探究意味的學(xué)習(xí)過(guò)程. 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生主要通過(guò)證明中的證實(shí)或證偽，來(lái)判斷自己所猜想的依據(jù)是否能夠成為判定法則. 這里的邏輯推理首先存在于全等性質(zhì)——三邊相等，三角相等，去推理得出可能的判定依據(jù)（此時(shí)還不能叫法則），于是“邊邊邊”（這是學(xué)生最容易猜想到的，實(shí)際上是基于全等形“完全重合”的認(rèn)識(shí)，以近乎直覺(jué)思維的形式推理出來(lái)的）“角角角”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”“邊邊角”等，會(huì)迅速地被猜想（推理）出來(lái);其后，對(duì)這些猜想進(jìn)行證實(shí)或證偽，就成為另一個(gè)充分運(yùn)用推理（推理能力的培養(yǎng)蘊(yùn)含其中）的過(guò)程.

在這樣的過(guò)程中，學(xué)生思維的對(duì)象是“幾何圖形”（即三角形），推理的依據(jù)是“數(shù)量關(guān)系”（相等），推理所需要運(yùn)用到的邏輯關(guān)系是“相等是否全等”. 實(shí)際上，在幾乎所有數(shù)形結(jié)合的例子中，都可以尋找到這樣的三個(gè)要素，因而認(rèn)為數(shù)形結(jié)合是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的機(jī)會(huì)，是科學(xué)合理的.

基于數(shù)形結(jié)合案例培養(yǎng)學(xué)生推

理能力簡(jiǎn)析

實(shí)際上，在類似于“全等三角形”的知識(shí)教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思路培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，也有同行做過(guò)類似研究，其中相關(guān)的結(jié)論是：培養(yǎng)學(xué)生具有一定的邏輯推理能力，是中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)目的之一. 對(duì)于這種能力的形成，初中數(shù)學(xué)教師有義不容辭的責(zé)任，而“全等三角形”有其特殊的地位和作用. 關(guān)于這個(gè)特殊地位與作用，筆者的觀點(diǎn)就是結(jié)合上面的三個(gè)要素，讓學(xué)生的思維真正沉浸到推理的過(guò)程中，推理能力的培養(yǎng)就必然具有相應(yīng)的空間. 具體的教學(xué)過(guò)程可以這樣設(shè)計(jì)：

首先，幫學(xué)生回顧全等三角形的性質(zhì)，提煉出“三邊相等，三角相等”的結(jié)論.

其次，讓學(xué)生基于上述總結(jié)，猜想判斷三角形全等的依據(jù). 這個(gè)過(guò)程中，有可能會(huì)出現(xiàn)學(xué)生猜想“邊邊邊”或“邊邊角”的可能，但這個(gè)證偽很容易，所運(yùn)用的也是合情推理與邏輯推理的結(jié)合. 限于篇幅，此處不再贅述. 此處主要的推理過(guò)程就是證實(shí)或證偽過(guò)程中的邏輯運(yùn)用.

其中，“邊邊邊”的證實(shí)是最容易的，甚至有學(xué)生結(jié)合“三角形的穩(wěn)定性”就得出，只要三邊對(duì)應(yīng)相等，那三角形就必然全等的結(jié)論. 這個(gè)過(guò)程中，對(duì)“邊角邊”“角角邊”“邊邊角”的證明是存在一定挑戰(zhàn)性的. 學(xué)生在證明“邊角邊”的時(shí)候，推理的思路大概是這樣的：由一邊和一角的相等，確認(rèn)兩個(gè)三角形的這條邊和這個(gè)角是可以“先全等”的——學(xué)生語(yǔ). 雖然全等概念運(yùn)用不準(zhǔn)確，但可以表達(dá)學(xué)生的內(nèi)在認(rèn)識(shí)，教師此時(shí)可以不必糾纏;然后形成此角的另一條邊也是相等的，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)第三條邊必然相等. 通過(guò)這樣的推理，證明思路也就初步形成. 但需要指出的是，正是在此形成的推理思路，使得學(xué)生在證明“邊邊角”的時(shí)候，也容易形成類似的認(rèn)識(shí)，即當(dāng)兩個(gè)三角形的兩邊相等且非兩邊夾角的任意一個(gè)角相等時(shí)，這兩個(gè)三角形也是“固定”的，因而就是全等的. 實(shí)際教學(xué)中，教師就是要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)推理，去發(fā)現(xiàn)這個(gè)“固定”實(shí)際上是錯(cuò)誤的，具體的就是通過(guò)提供“反例”的思路去進(jìn)行，這也是一個(gè)內(nèi)涵豐富的推理過(guò)程，尤其是學(xué)生發(fā)現(xiàn)“邊邊角”還存在兩種可能時(shí)，學(xué)生會(huì)有非常強(qiáng)烈的成就感.

最后，引導(dǎo)學(xué)生反思探究過(guò)程. 反思是推理能力形成的重要環(huán)節(jié)，通過(guò)上述過(guò)程中的證明過(guò)程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到結(jié)論的得出，歸根到底是因?yàn)橥评矸椒ǖ倪\(yùn)用，那么學(xué)生對(duì)推理這一方法就會(huì)產(chǎn)生高度的認(rèn)同感，同時(shí)也就強(qiáng)化了學(xué)生回顧證明過(guò)程中的推理方法運(yùn)用，這就讓學(xué)生形成的推理能力可以得到強(qiáng)化與純化.

從數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)推理能力看核

心素養(yǎng)培育

在上述案例（包括其他類似的諸多案例）中，數(shù)形結(jié)合是基本的思路，通過(guò)對(duì)全等三角形的“形”的認(rèn)識(shí)，通過(guò)對(duì)蘊(yùn)含在其中的“數(shù)”的邏輯關(guān)系的判斷，完成了一個(gè)推理的過(guò)程，并且通過(guò)這樣的推理過(guò)程，學(xué)生獲得了正確的全等三角形判定法則. 因而這是一個(gè)完整的基于數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)推理能力的教學(xué)過(guò)程. 這也印證了數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)與問(wèn)題解決中具有廣泛的應(yīng)用.

如同文章開(kāi)頭所說(shuō)的那樣，以邏輯推理為核心的推理在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中有著重要的地位，在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中培育學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育. 而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育，往往不可能是六個(gè)要素全面開(kāi)花，而應(yīng)當(dāng)有所側(cè)重，于是在數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，某種程度上就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地的重要環(huán)節(jié).

通過(guò)上述案例可以發(fā)現(xiàn)，推理能力的培養(yǎng)作為方法的運(yùn)用與能力的培養(yǎng)，是需要結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)或運(yùn)用來(lái)進(jìn)行的，而這個(gè)學(xué)習(xí)與運(yùn)用又是需要方法支撐的. 數(shù)形結(jié)合既是數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)方法之一，同時(shí)又是重要的數(shù)學(xué)思想之一. 廣泛存在的數(shù)形結(jié)合，為推理能力的培養(yǎng)提供了廣闊的空間，只要學(xué)生在研究“形”，其就必然要通過(guò)“數(shù)”去描述這個(gè)“形”，而在描述的過(guò)程中，如果有其他的需要，譬如上面全等三角形判定法則證明的需要，那么數(shù)形結(jié)合就向推理能力的培養(yǎng)敞開(kāi)了大門(mén).

通過(guò)案例研究還可以發(fā)現(xiàn)，推理能力的形成正是在數(shù)形結(jié)合建構(gòu)知識(shí)或解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)邏輯關(guān)系的認(rèn)定與運(yùn)用，通過(guò)證實(shí)或者是證偽來(lái)得到培養(yǎng)的. 于是我們就在基于數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)推理能力與核心素養(yǎng)培育之間發(fā)現(xiàn)了千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，這也就提醒初中數(shù)學(xué)教師，要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地，不是要脫離原有教學(xué)思路而另起爐灶，而應(yīng)當(dāng)是在傳統(tǒng)教學(xué)中進(jìn)一步厘清邏輯關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)核心素養(yǎng)培育的契機(jī). 對(duì)于數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，這實(shí)際上也是一個(gè)推理的過(guò)程，教師自身的推理能力培養(yǎng)契機(jī)，也存在于這個(gè)過(guò)程中. 應(yīng)當(dāng)說(shuō)，教師帶著這樣的思路實(shí)施教學(xué)，能夠更好地將自己與學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程融合起來(lái)，從而讓教與學(xué)更好地融合為一體，進(jìn)而成為核心素養(yǎng)培育的推動(dòng)力量.