在數(shù)學(xué)單元起始課中實(shí)現(xiàn)“思維的教學(xué)”

【摘要】數(shù)學(xué)單元起始課要實(shí)現(xiàn)思維的教學(xué)，需正確把握三個(gè)關(guān)系，即動(dòng)手與動(dòng)腦之間的關(guān)系，即時(shí)思考與長(zhǎng)時(shí)間思考之間的關(guān)系、各種思維品質(zhì)之間的關(guān)系，從而改進(jìn)學(xué)生的思維方式，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)更清晰、深入、全面、合理地思考問題。

【關(guān)鍵詞】動(dòng)手與動(dòng)腦；思維品質(zhì)；初中數(shù)學(xué)

【中圖分類號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號(hào)】1005-6009（2020）11-0048-05

【作者簡(jiǎn)介】王華，江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒區(qū)石馬中學(xué)（江蘇鎮(zhèn)江，212113）副校長(zhǎng)，高級(jí)教師，江蘇省“333高層次人才培育工程”培養(yǎng)對(duì)象，鎮(zhèn)江市學(xué)科帶頭人。

數(shù)學(xué)單元起始課，即數(shù)學(xué)單元開篇的第一節(jié)課，是整個(gè)單元學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。起始課作為一個(gè)單元留給學(xué)生的“第一印象”，承擔(dān)著激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情、培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的責(zé)任。在教學(xué)過程中，教師常常根據(jù)單元特點(diǎn)創(chuàng)設(shè)問題情境，通過設(shè)置合適的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作、計(jì)算、推理等過程，對(duì)本章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)有一個(gè)大致的了解。

但由于一節(jié)課需讓學(xué)生領(lǐng)略整個(gè)單元的內(nèi)容結(jié)構(gòu)（如概念、性質(zhì)及應(yīng)用）及貫穿始終的思想方法，課堂容量較大?，F(xiàn)實(shí)中經(jīng)常看到這樣的現(xiàn)象：學(xué)生一直在做，一直在算，一直在動(dòng)手，但就是不想！然而“數(shù)學(xué)歸根到底是自己思考的產(chǎn)物”（陳省身語），因而單元起始課的教學(xué)必須將學(xué)生的動(dòng)手與動(dòng)腦結(jié)合起來，將思維的學(xué)習(xí)與具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)結(jié)合起來，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維，并逐步學(xué)會(huì)想得更清晰、更深入、更全面、更合理。

“中心對(duì)稱圖形”是蘇科版八年級(jí)下冊(cè)第九章學(xué)習(xí)內(nèi)容，具體包括：（員）圖形的旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)；（圓）研究圖形的旋轉(zhuǎn)的“特例”，即中心對(duì)稱、中心對(duì)稱圖形；（猿）旋轉(zhuǎn)知識(shí)在數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，即用旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱的概念和性質(zhì)研究一些特殊平面圖形的性質(zhì)，解決數(shù)學(xué)問題；（源）將旋轉(zhuǎn)知識(shí)應(yīng)用于認(rèn)識(shí)和解決現(xiàn)實(shí)問題?？梢?，圖形旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)是本單元的基礎(chǔ)，最為重要。

本節(jié)課是“中心對(duì)稱圖形”單元起始課，要求學(xué)生經(jīng)歷在一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，從中抽象出圖形旋轉(zhuǎn)的概念，并探尋幾何圖形性質(zhì)研究的一般方法，為進(jìn)一步探究旋轉(zhuǎn)的特例及相關(guān)圖形的性質(zhì)提供策略，構(gòu)建中心對(duì)稱圖形這一章的研究思路。因此，筆者注意從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)及思維特點(diǎn)出發(fā)，通過設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，豐富思維活動(dòng)，正確把握動(dòng)手與動(dòng)腦之間的關(guān)系，即時(shí)思考與長(zhǎng)時(shí)間思考之間的關(guān)系、各種思維品質(zhì)之間的關(guān)系，從而嘗試改進(jìn)學(xué)生的思維方式。

一、把握動(dòng)手與動(dòng)腦之間的關(guān)系

對(duì)于這里所說的“動(dòng)手”，我們應(yīng)作廣義的理解：這不僅是指具體的實(shí)物操作，如旋轉(zhuǎn)三角尺等，也包括各種數(shù)學(xué)運(yùn)作，如讓學(xué)生對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行度量，乃至各種各樣的計(jì)算。南京大學(xué)教授鄭毓信認(rèn)為，教師在教學(xué)中往往特別重視學(xué)生“動(dòng)手”，卻忽視了如何能夠促使他們更為積極地去“動(dòng)腦”，忽視了幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)想得更深、更合理、更清晰。咱1暫在“動(dòng)手”之前教師需圍繞：“為什么要?jiǎng)邮帧薄笆聦?shí)上在做什么”“動(dòng)手究竟產(chǎn)生了怎樣的效果”三個(gè)問題讓學(xué)生“動(dòng)腦”，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生各種感官參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，根據(jù)提供的現(xiàn)實(shí)材料，經(jīng)歷動(dòng)手操作、觀察現(xiàn)象、提出猜想、驗(yàn)證結(jié)論等環(huán)節(jié)，體驗(yàn)“知識(shí)從何而來”“知識(shí)是什么”“知識(shí)向何而去”的完整數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。

本課作為“中心對(duì)稱圖形”的單元起始課，內(nèi)容龐雜，其中圖形旋轉(zhuǎn)的概念最為基礎(chǔ)與核心。我們知道，概念教學(xué)的核心就是讓學(xué)生經(jīng)歷概念本質(zhì)特征的概括過程，讓學(xué)生根據(jù)具體事例，經(jīng)歷觀察、操作、思考等過程，從中抽象出概念的本質(zhì)特征。而圖形旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)特征是旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向“三要素”，因此本節(jié)課為探究旋轉(zhuǎn)“三要素”定向設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生任意畫一個(gè)吟ABC，并制作一個(gè)與之全等的三角形硬紙片，（1）將三角形紙片繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn) 30毅，得到的結(jié)果怎樣？（2）讓它分別繞點(diǎn)A和點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30毅，得到的結(jié)果一樣嗎？（3）讓它繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到的圖形有多少個(gè)？（4）給定怎樣的條件才能使旋轉(zhuǎn)后的圖形唯一確定？顯然，經(jīng)歷上述4步的動(dòng)手動(dòng)腦比“看圖歸納共同特征”更能凸顯并提煉旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)特征。

學(xué)生通過操作（1）明白了旋轉(zhuǎn)方向不確定，可得出兩個(gè)不同位置的圖形；操作（2）明白了旋轉(zhuǎn)中心不確定，可得出兩個(gè)不同位置的圖形；操作（3）明白了旋轉(zhuǎn)角度不確定，可得出無數(shù)個(gè)不同位置的圖形，進(jìn)而引發(fā)對(duì)“如何唯一確定旋轉(zhuǎn)后圖形”的必然追問和思考，達(dá)到了“導(dǎo)而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)”的境界。這樣的手腦結(jié)合，使學(xué)生經(jīng)歷探究、反思、感悟、發(fā)現(xiàn)的過程，而旋轉(zhuǎn)的概念慢慢“長(zhǎng)”出，從而讓學(xué)生回到“知識(shí)發(fā)生的現(xiàn)場(chǎng)”。

當(dāng)然，上述4步驟的設(shè)計(jì)還有如下的考量，即讓學(xué)生不僅僅明白“為什么要?jiǎng)邮帧?，還要知道怎樣設(shè)計(jì)操作流程才能達(dá)到效果。顯然，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的概念，其旋轉(zhuǎn)后圖形的確定需要三個(gè)變量的同時(shí)確定，因此為了感受旋轉(zhuǎn)“三要素”，在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，可采用控制變量法，將其中的兩個(gè)變量加以確定，進(jìn)而感受圖形受第三個(gè)變量變化的影響，從而抽象出概念的本質(zhì)特征。學(xué)生獲得了這樣的認(rèn)知，做到“知其然，更知其所以然”，思維便能得到發(fā)展。

二、把握即時(shí)思考與長(zhǎng)時(shí)間思考之間的關(guān)系

日本數(shù)學(xué)家、菲爾茨獎(jiǎng)獲得者廣中平佑在《創(chuàng)造之門》一書中曾明確指出：思考問題的態(tài)度有兩種。從專業(yè)角度看，一種是花費(fèi)較短時(shí)間的即時(shí)思考型，一種是較長(zhǎng)時(shí)間的長(zhǎng)期思考型。所謂的思考能人，大概就是指能夠根據(jù)思考的對(duì)象自由自在地分別使用這兩種類型的思考態(tài)度的人。

鄭毓信教授以康納曼的工作作為直接背景，賦予了即時(shí)思考與長(zhǎng)時(shí)間思考一些新的含義：

起始課強(qiáng)調(diào)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性，課堂往往呈現(xiàn)出熱鬧的氛圍，學(xué)生一般采取即時(shí)思考的方式解決問題。但課堂不能只追求熱鬧的場(chǎng)面，必須處理好學(xué)生獨(dú)立思考與合作學(xué)習(xí)、積極交流之間的關(guān)系，畢竟“數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物”。綜上可見，起始課也應(yīng)努力追求另一種課堂境界，即營(yíng)造安靜的課堂、思維的課堂、開放的課堂，培養(yǎng)學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間思考的習(xí)慣與能力。

例如，教材在得出圖形旋轉(zhuǎn)的概念后，立即設(shè)置了探究性質(zhì)的活動(dòng)。如圖1，吟ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到吟ABC的過程中，它的形狀、大小沒有改變，圖1中還有哪些相等的線段、相等的角？根據(jù)這樣的問題，學(xué)生能夠快速地得出教師需要的答案，引出旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。但我們不能忽視這樣一個(gè)重要的問題，就上述內(nèi)容的教學(xué)而言為什么要突出“形狀、大小是否改變”“有哪些相等的線段、相等的角”這樣的信息？或者說，這樣的信息究竟從哪里來？是怎么想到要從這些角度研究性質(zhì)的？如果這些問題解決了，學(xué)生就不僅能探究出這幾個(gè)性質(zhì)，而且還會(huì)思考“還有哪些性質(zhì)？”更重要的是能從中得到“如何研究性質(zhì)”的鍛煉。那么如何才能讓學(xué)生不僅做得到，而且想得到呢？

筆者以為，與教材設(shè)置的問題相比，以下的問題引領(lǐng)更為恰當(dāng)：（1）你認(rèn)為研究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是要研究什么？（2）具體而言是要研究什么呢？對(duì)應(yīng)元素之間有什么關(guān)系？（3）對(duì)應(yīng)元素有哪些？它們?cè)谛螤?、大小和位置方面有什么不變性？?）觀察旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形，你能立即得到它們有哪些不變性？對(duì)應(yīng)點(diǎn)的不變性怎么體現(xiàn)？這些問題是讓學(xué)生知道，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就是研究旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的關(guān)系，圖形變化中的那些不變性，具體而言就是旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)元素在形狀、大小和位置關(guān)系方面的不變性。通過上述問題的設(shè)置與解決，讓學(xué)生養(yǎng)成有序思考的習(xí)慣，賦予學(xué)生“想得到”的能力。

當(dāng)然，這里還存在一個(gè)問題，即一旦引入某個(gè)概念，如圖形的旋轉(zhuǎn)，我們往往就會(huì)急于讓學(xué)生通過動(dòng)手操作去發(fā)現(xiàn)它們的性質(zhì)，卻沒有認(rèn)識(shí)到其中的很大一部分特性是相關(guān)概念的直接推論。本節(jié)課關(guān)于圖形旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的不變性是教學(xué)的重難點(diǎn)，學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)并表述清楚，教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生“從概念出發(fā)”思考性質(zhì)，也就是要有利用“三要素”研究性質(zhì)的意識(shí)。綜上，學(xué)生不僅獲得了圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，更重要的是有了進(jìn)一步探究旋轉(zhuǎn)的特例及相關(guān)圖形性質(zhì)的策略與能力，在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)中訓(xùn)練學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間思考的能力，促進(jìn)其思維的發(fā)展。

三、把握各種思維品質(zhì)之間的關(guān)系

相對(duì)于對(duì)具體數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，通過單元起始課實(shí)現(xiàn)思維的教學(xué)應(yīng)當(dāng)更加重視學(xué)生思維品質(zhì)的提升，包括思維的嚴(yán)密性（合理性）與深刻性，思維的整體性與結(jié)構(gòu)性，以及思維的自主性與創(chuàng)新性。在起始課教學(xué)中，各個(gè)思維品質(zhì)的提升不是互相孤立存在，它們之間密切相關(guān)，這一系列思維品質(zhì)被看成理性思維最為重要的內(nèi)涵。從數(shù)學(xué)教育的更大背景來說，我們應(yīng)當(dāng)努力追求的一個(gè)更高目標(biāo)是不僅應(yīng)幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)理性地思維，也應(yīng)促成他們由理性思維逐步走向理性精神，從而真正成為一個(gè)高度自覺的理性人。咱圓暫

1.提升學(xué)生思維的嚴(yán)密性和深刻性。

思維的嚴(yán)密性和深刻性是理性思維的重要因子。正如美國(guó)數(shù)學(xué)家R·柯朗和H·羅賓所說：數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评砑皩?duì)完美境界的追求。邏輯的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要特點(diǎn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需關(guān)注學(xué)生的思維嚴(yán)密性（合理性），但又不能只停留在“是什么”的階段，還需明白“為什么”。對(duì)“為什么”的追問可以看成是提升學(xué)生思維深刻性的一個(gè)重要方面。

例如，教師引導(dǎo)學(xué)生“從概念出發(fā)”探究旋轉(zhuǎn)前后圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的不變性時(shí)，先研究一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的性質(zhì)（即對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角是旋轉(zhuǎn)角），再到兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的性質(zhì)（即兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等）。像這樣的有序思考不僅是邏輯嚴(yán)密的表現(xiàn)，從另一個(gè)角度來看，也能幫助學(xué)生提升思維的深刻性。另外，圍繞“圖形的旋轉(zhuǎn)”概念與性質(zhì)探索的“長(zhǎng)時(shí)間思考”，對(duì)為什么研究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就是要研究“形狀、大小是否發(fā)生改變？”“有哪些相等的線段、相等的角？”對(duì)這類問題地不斷追問，既能促使學(xué)生的思考合乎理性，也能將學(xué)生的思維引向深刻。

2.重視學(xué)生思維的整體性與結(jié)構(gòu)性。

數(shù)學(xué)是整體的，其主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)化。任何數(shù)學(xué)內(nèi)容都來自某一系統(tǒng)，從屬于某一結(jié)構(gòu)。從結(jié)構(gòu)的角度來把握所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，不僅能凸顯內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，建立內(nèi)容之間的聯(lián)系，而且有利于學(xué)生形成“從結(jié)構(gòu)的角度把握事物本質(zhì)”的結(jié)構(gòu)化思維。咱3暫

如圖2是“中心對(duì)稱”這一單元的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，有了前面圖形的旋轉(zhuǎn)概念和性質(zhì)的研究經(jīng)驗(yàn)，即研究性質(zhì)需從概念出發(fā)，進(jìn)而研究構(gòu)成圖形的元素及相關(guān)元素之間的關(guān)系，學(xué)生便能將圖形旋轉(zhuǎn)寅特例（性質(zhì)）寅應(yīng)用（平行四邊形等、實(shí)際問題）等內(nèi)容的研究方法一線串通，主動(dòng)探究幾何圖形的性質(zhì)，從而促進(jìn)思維的遷移，獲得研究方法的結(jié)構(gòu)化。

另外，本單元內(nèi)容的設(shè)置整體上遵循了從一般到特殊的編寫體例，如從圖形的旋轉(zhuǎn)到成中心對(duì)稱，從中心對(duì)稱圖形到平行四邊形，從平行四邊形到特殊的平行四邊形。其中，每一個(gè)特例的概念與性質(zhì)都是建立在前一個(gè)上位概念與性質(zhì)的基礎(chǔ)之上。起始課不需要面面俱到，但對(duì)于這樣的邏輯關(guān)系一定要給學(xué)生闡述清楚，讓學(xué)生“見樹木又見森林”。這樣學(xué)生就會(huì)獲得一般的研究方法，如研究成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)，就能想到圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其具備圖形旋轉(zhuǎn)的一切性質(zhì)，并“從概念出發(fā)”思考其“特別之處”。其余特例的研究亦是如此。教師可以根據(jù)起始課的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生用不同的方式來表達(dá)數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)（如圖2），發(fā)展學(xué)生的整體性思維、結(jié)構(gòu)化思維、系統(tǒng)性思維，讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要“法寶”，起到事半功倍的效果。

3.實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維的自主性與創(chuàng)新性。

數(shù)學(xué)是人類文化的有機(jī)組成部分，它和其他文化一樣，彰顯著人的主體精神與創(chuàng)造性，散發(fā)著自身迷人的學(xué)科氣息。因而，數(shù)學(xué)課堂上應(yīng)特別關(guān)注學(xué)生的主體參與，在探究、反思、感悟、發(fā)現(xiàn)中去粗取精、去偽存真、由表及里、化繁為簡(jiǎn)，讓知識(shí)慢慢“長(zhǎng)”出來，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生。而思維的創(chuàng)新不應(yīng)簡(jiǎn)單地被等同于與眾不同，其主要表現(xiàn)為對(duì)已有工作的不斷優(yōu)化，包括不同意見的適當(dāng)整合。

本課在探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)之前設(shè)置了這樣一個(gè)活動(dòng)，利用準(zhǔn)備好的透明紙、白紙、硬紙板、三角尺、大頭針等，創(chuàng)造一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)的情境。學(xué)生經(jīng)過自主探究，會(huì)先形成三種設(shè)計(jì)方案———

第一種方案是在白紙上描出一個(gè)三角尺的形狀，即吟ABC，按著頂點(diǎn)A，將三角尺旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，描出旋轉(zhuǎn)后三角尺的形狀，得到旋轉(zhuǎn)前后的圖形。

第二種方案是學(xué)生剪出一個(gè)三角形紙片，在白紙上描出該紙片的形狀，在三角形內(nèi)任取一點(diǎn)，用大頭針固定，將三角形紙片旋轉(zhuǎn)一定的角度，描出旋轉(zhuǎn)后三角尺的形狀，得到旋轉(zhuǎn)前后的圖形。

顯然第二種方案比第一種方案更具有一般性，此時(shí)，學(xué)生觀察到旋轉(zhuǎn)中心從形上來到了形內(nèi)，于是大膽想象、操作，創(chuàng)造了第三種方案：取一張硬紙片，在上面挖出一個(gè)三角形的洞，任意選硬紙片上一點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，用大頭針將其固定在白紙上，先描出三角形，然后繞著旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)硬紙片，再次描圖，得到旋轉(zhuǎn)前后的圖形。這樣得到的旋轉(zhuǎn)圖形，其旋轉(zhuǎn)中心更具有普遍性，利于性質(zhì)的進(jìn)一步探究，而在整個(gè)設(shè)計(jì)過程中，學(xué)生從最初的方案開始自主設(shè)計(jì)、優(yōu)化整合，表現(xiàn)出來的創(chuàng)新意識(shí)彌足珍貴。

總的來說，正如鄭毓信教授所強(qiáng)調(diào)的：數(shù)學(xué)思維顯然并非是思維的唯一可能形式，各種不同的思維形式，如文學(xué)思維、藝術(shù)思維、哲學(xué)思維、科學(xué)思維等，又都有其一定的合理性和局限性。從而，我們就不應(yīng)唯一地去強(qiáng)調(diào)“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”，“應(yīng)當(dāng)跳出數(shù)學(xué)，并從更為一般的角度去認(rèn)識(shí)各種數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的普遍意義”，“用思維方法的分析去帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)”。咱4暫尤其是單元起始課的教學(xué)，要讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦，在具體知識(shí)內(nèi)容中感受整體，在結(jié)構(gòu)中實(shí)現(xiàn)建構(gòu)，在思維中學(xué)會(huì)思考。

【參考文獻(xiàn)】

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)會(huì)思維———“教數(shù)學(xué)、想數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)”系列之四[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（6）：4-11.

[2]鄭毓信.數(shù)學(xué)應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維（上）——數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理論性思考與實(shí)踐性解讀[J].湖南教育，2017（1）：22-26.

[3]許衛(wèi)兵.以思維為核心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)導(dǎo)向———基于課堂教學(xué)的視角[J].小學(xué)數(shù)學(xué)，2017（1）：12-15.

[4]鄭毓信.“數(shù)學(xué)與思維”之深思[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015（1）：1-5.

（本文系第31屆江蘇省“教海探航”征文競(jìng)賽獲獎(jiǎng)?wù)撐?，有刪改。）