一道數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和問題解法探討

鄭麗娜

摘? 要：在無窮級(jí)數(shù)中，求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是難點(diǎn).而計(jì)算常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的方法有多種，該文對(duì)構(gòu)造冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和進(jìn)行了研究。針對(duì)一道求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的具體問題進(jìn)行了探討，給出了4種構(gòu)造冪級(jí)數(shù)的方法，并對(duì)每種方法的注意事項(xiàng)、使用技巧進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析和說明。

關(guān)鍵詞：冪級(jí)數(shù)? 和函數(shù)? 逐項(xiàng)求導(dǎo)

中圖分類號(hào)：O173 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2020）01（b）-0223-02

Abstract： in infinite series， it is difficult to find the sum of series of constant terms. There are many ways to find the sum of series of constant terms. in this paper， we study how to construct the sum function of power series and find the sum of the series of constant terms by using the analytic property of the sum function of power series. This paper discusses a specific problem of of finding the sum of series of constant terms， four methods of constructing power series are given，furthermore， the limitations， techniques for each method are analyzed and illustrated briefly.

Key Words： Power series; Sum function; Item by item derivation

無窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種工具。求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是無窮級(jí)數(shù)的一個(gè)難點(diǎn)，通常的計(jì)算方法有兩種，利用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的定義（即設(shè)，若存在，則）和借助冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。利用級(jí)數(shù)和的定義求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和這種方法具有很大的局限性，只適應(yīng)于某些特殊的級(jí)數(shù)。通過構(gòu)造冪級(jí)數(shù)，利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和更具有普遍性，該文就求一道常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和的題目進(jìn)行探討，提出構(gòu)造4種不同的冪級(jí)數(shù)來求其和。

題目：求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。

注4? 解法4和解法3類似，通過構(gòu)造一個(gè)冪級(jí)數(shù)利用兩次逐項(xiàng)求導(dǎo)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。該解法與前3種解法相比較，計(jì)算量大，主要在于求函數(shù)的原函數(shù)相對(duì)麻煩;另外，要注意到是反常積分，x=0是被積函數(shù)的瑕點(diǎn)，故。該方法對(duì)于學(xué)生來說難度較大。

該文就一道數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和問題的解法做了探討，通過構(gòu)造不同的冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的方法來求解。構(gòu)造冪級(jí)數(shù)時(shí)，要根據(jù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特點(diǎn)，構(gòu)造合適的冪級(jí)數(shù)。從計(jì)算過程中可以看到，熟練掌握和函數(shù)的性質(zhì)（冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù)、可逐項(xiàng)積分、在收斂區(qū)間上可逐項(xiàng)求導(dǎo)）是求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的關(guān)鍵。

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