基于ARIMA模型分析四川省GDP

劉星辰 馮長(zhǎng)煥

一、引言

國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是指按市場(chǎng)價(jià)格計(jì)算的一個(gè)國(guó)家（或地區(qū)）所有常駐單位在一定時(shí)期內(nèi)生產(chǎn)活動(dòng)的最終成果，它不僅是核算體系中一個(gè)重要的綜合性統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，也是我國(guó)新國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算體系中的核心指標(biāo)，它反映了一國(guó)（或地區(qū)）的經(jīng)濟(jì)實(shí)力和市場(chǎng)規(guī)模。無(wú)論是政府等國(guó)家機(jī)構(gòu)，還是國(guó)企、跨國(guó)公司等企業(yè)，在制定目標(biāo)戰(zhàn)略時(shí)，均需參照GDP。

二、文獻(xiàn)綜述

對(duì)地方GDP進(jìn)行研究是政府制定宏觀調(diào)控政策的基礎(chǔ)，許多學(xué)者通過(guò)不同的研究角度對(duì)GDP的分析方法進(jìn)行了論證。

梁磊、陳曉東通過(guò)建立ARIMA模型對(duì)江蘇省GDP進(jìn)行分析，但其僅對(duì)GDP增長(zhǎng)趨勢(shì)進(jìn)行描述而未進(jìn)行預(yù)測(cè)；王鄂、張?chǎng)ㄟ^(guò)比較ARIMA模型與Holter-Winter模型的預(yù)測(cè)殘差，對(duì)湖南省GDP進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)；宋平、邱燕玲運(yùn)用ARIMA模型、最小二乘法以及逐步回歸3種方法對(duì)青海省GDP進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)，由于研究的側(cè)重點(diǎn)不同，選擇因素的差異對(duì)預(yù)測(cè)殘差有較大影響。

本文選取四川省1978年至2018年的GDP時(shí)間序列數(shù)據(jù)，運(yùn)用B-J方法建立ARIMA模型與殘差的自回歸模型，通過(guò)對(duì)AIC等信息準(zhǔn)則的比較，選取ARIMA模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并預(yù)測(cè)未來(lái)短期增長(zhǎng)趨勢(shì)。

三、四川省GDP數(shù)據(jù)在ARIMA模型中的應(yīng)用

（一）模型簡(jiǎn)介

ARIMA模型又稱求和自回歸移動(dòng)平均模型，是時(shí)間序列分析中一種極為重要的方法。它是指將非平穩(wěn)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)差分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列后，在擬合ARMA模型。

設(shè)Xt是經(jīng)過(guò)d階差分后的平穩(wěn)序列，則：

其中B為滯后算子。由于Wt是平穩(wěn)序列，進(jìn)而對(duì)該序列建立ARMA（p，q）模型。

在原始數(shù)據(jù)需要通過(guò)差分將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列的情況，則可利用ARIMA（p，d，q）模型進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。當(dāng)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的研究時(shí)，其大多數(shù)為非平穩(wěn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，故本文采用ARIMA模型對(duì)四川省GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間序列分析。

（二）模型識(shí)別

1.平穩(wěn)性檢驗(yàn)

從《四川省統(tǒng)計(jì)年鑒》中可以得到1978年至2018年四川省國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值。運(yùn)用EVIEWS軟件將其生成時(shí)序圖。從1978-2018年四川省國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的時(shí)間序列圖（如圖1所示）中可以大致判斷該列數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出無(wú)周期性的增長(zhǎng)趨勢(shì)，為非平穩(wěn)序列。

圖1 四川省GDP時(shí)序圖

2.純隨機(jī)性檢驗(yàn)

從該列數(shù)據(jù)的自相關(guān)-偏自相關(guān)圖（如圖2所示）中可得出，Q統(tǒng)計(jì)量所對(duì)應(yīng)得P值均小于0.05，應(yīng)拒絕原假設(shè)，說(shuō)明該序列為非純隨機(jī)序列，即是該序列蘊(yùn)含相關(guān)信息，序列的歷史信息對(duì)未來(lái)有影響，具有研究?jī)r(jià)值。

圖2 GDP序列的自相關(guān)-偏自相關(guān)圖

3.平穩(wěn)化處理

去增長(zhǎng)趨勢(shì)：通過(guò)對(duì)時(shí)間序列圖（圖1）的初步定性分析可知，該序列含有非周期性增長(zhǎng)趨勢(shì)，故對(duì)該序列進(jìn)行一階差分，而一階差分后的GDP序列仍存在增長(zhǎng)趨勢(shì)，為非平穩(wěn)序列，故再對(duì)該序列進(jìn)行一次差分。從圖3可以看出，二階差分后的GDP序列在0附近上下波動(dòng)，為零均值的平穩(wěn)序列。再對(duì)該序列進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)，結(jié)果如圖4所示，部分Q統(tǒng)計(jì)量所對(duì)應(yīng)的P值小于0.05，應(yīng)拒絕原假設(shè)，說(shuō)明該序列為非純隨機(jī)序列，即是該序列蘊(yùn)含相關(guān)信息，序列的歷史信息對(duì)未來(lái)有影響，具有研究?jī)r(jià)值。

圖3 二階差分后GDP序列的時(shí)序圖

圖4 二階差分后GDP的自相關(guān)-偏自相關(guān)圖

（三）建立ARMA模型

從二階差分后的GDP序列的自相關(guān)-偏自相關(guān)圖（圖4）可看出，自相關(guān)系數(shù)在滯后6步后呈拖尾狀態(tài)，偏自相關(guān)系數(shù)在滯后4步后后呈拖尾狀態(tài)，據(jù)此進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，在系數(shù)通過(guò)檢驗(yàn)的條件下，初步選擇AR(4)、ARMA(2,2)、ARMA(4,2)、ARMA(4,6)4種模型。

表1 4種模型的信息準(zhǔn)則比較

通過(guò)對(duì)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)（如表1所示），在信息準(zhǔn)則越小，模型越佳的條件下，比較AIC、SC、HQ三種信息準(zhǔn)則，最終確定AR（4）模型為最優(yōu)模型。

（四）模型檢驗(yàn)

對(duì)上述模型所生成的殘差序列進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)，觀察該序列所蘊(yùn)含的信息是否被提取完全。由于其所有P值均大于0.05，接受原假設(shè)，說(shuō)明該序列為白噪聲序列，不蘊(yùn)含歷史信息，通過(guò)檢驗(yàn)。

（五）殘差自回歸模型的對(duì)比

1.曲線擬合

在前文分析中可以得出，四川省GDP逐年增長(zhǎng)，初步判斷該項(xiàng)數(shù)據(jù)是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，使用SPSS軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合并尋找最佳擬合曲線。

圖5 GDP的曲線擬合圖

從上圖5中可以看出，指數(shù)曲線在前30年（1978-2008年）的時(shí)間里擬合度極高，但從2010年起擬合殘差開(kāi)始增大；二次曲線雖對(duì)前30年數(shù)據(jù)擬合度較低，卻對(duì)后十年數(shù)據(jù)高度擬合，預(yù)測(cè)殘差較小，故選取二次曲線對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合。

2.建立自回歸模型

為了更好地分析與預(yù)測(cè)四川省GDP的增長(zhǎng)趨勢(shì)，現(xiàn)將擬合曲線與實(shí)際走勢(shì)的殘差進(jìn)行修正。從擬合殘差的自相關(guān)-偏自相關(guān)圖（如圖6所示）中可以看出，自相關(guān)系數(shù)正弦波動(dòng)變化，呈拖尾狀態(tài)，偏自相關(guān)系數(shù)在滯后2階后迅速收斂為0，呈截尾狀態(tài)，初步建立AR（1）、AR（2）模型，在通過(guò)對(duì)AIC信息準(zhǔn)則以及擬合優(yōu)度的比較，選擇AR（2）模型，建立了二次曲線擬合后的殘差A(yù)R（2）模型。

圖6 擬合殘差的自相關(guān)-偏自相關(guān)圖

表2 ARlMA模型與殘差自回歸模型的對(duì)比

表3 2015-2018年四川省GDP的真實(shí)值與預(yù)測(cè)值對(duì)比

在兩種模型均通過(guò)殘差檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步比較AIC等信息量，在信息量越小，模型越優(yōu)的條件下，選取ARIMA（4，2，0）模型為最佳模型，再次證明ARIMA模型的可信度較高，現(xiàn)將模型書寫如下：

（六）模型預(yù)測(cè)

利用上述的ARIMA（4，2，0）模型對(duì)四川省2015-2018年的GDP序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果如表3所示，由上表3可知，2015-2018年的真實(shí)值與預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差均小于5%，說(shuō)明模型可以用于預(yù)測(cè)，且預(yù)測(cè)結(jié)果良好，但由于模型是對(duì)二階差分后的GDP序列建立的，若用于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的話，預(yù)測(cè)結(jié)果的精確性會(huì)有所下降。故僅對(duì)2019、2020年四川省GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)，分別為44454.64、48036.75億元。

四、結(jié)論

從分析的數(shù)據(jù)來(lái)看，在改革開(kāi)放前30年四川省GDP漲勢(shì)迅猛，呈指數(shù)型增長(zhǎng)，在遭遇了2008年全球金融危機(jī)及5·12特大地震之后，GDP呈二次函數(shù)型增長(zhǎng)，漲勢(shì)雖有回落，但也滿足“穩(wěn)中求進(jìn)”的要求；從建立的模型來(lái)看，在AIC等信息準(zhǔn)則的比較下，ARIMA（4，2，0）模型比殘差A(yù)R（2）模型描述四川省GDP的增長(zhǎng)規(guī)律更為精確，故采用ARIMA模型預(yù)計(jì)了2020年四川省GDP可達(dá)到48036.75億元，可實(shí)現(xiàn)四川省政府在2016年的十三五工作會(huì)上提出的“到2020年地區(qū)生產(chǎn)總值比2010年翻一番以上”的目標(biāo)。ARIMA（4，2，0）模型可為四川省政府在2020年制定宏觀調(diào)控策略上提供一定的參考。