浙教版八年級(jí)數(shù)學(xué)解一元二次方程攻略

吳鳳

【摘要】筆者長期從事一線教學(xué)，在八年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中嘗試總結(jié)出一套高效、便捷的解題方法，在本文中以八年級(jí)數(shù)學(xué)一元二次方程的解法應(yīng)用為例，探索本套解題方法的實(shí)踐應(yīng)用，并希望各位同仁能不斷完善梳理，以便在其他解題過程中實(shí)踐應(yīng)用，以為學(xué)生學(xué)科思維的引導(dǎo)提出新的路徑。

【關(guān)鍵詞】浙教版;八年級(jí)數(shù)學(xué);一元二次方程;解題思路

一、一元二次方程的基本概念

一元二次方程式指未知數(shù)的最高次數(shù)是2，等號(hào)兩邊都是整數(shù)，并且只有一個(gè)未知數(shù)的方程。在常規(guī)的解題認(rèn)知中，一元二次方程一般情況下都可以轉(zhuǎn)化為ax2+ bx + c = 0（ a，b，c 為已知數(shù)，a≠0） 的基本形式，這種形式在教學(xué)中我們也稱之為基本式。在這個(gè)基本式當(dāng)中，ax2 為二次項(xiàng)， bx為一次項(xiàng)，c為常數(shù)項(xiàng)。在傳統(tǒng)教學(xué)中，一元二次方程式是教學(xué)的難點(diǎn)，加之八年級(jí)學(xué)生剛剛接觸一元二次方程，會(huì)造成理解難、沒思路等問題的產(chǎn)生。

二、一元二次方程對(duì)八年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要意義

數(shù)學(xué)是非常重視基礎(chǔ)的學(xué)科，初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是以小學(xué)數(shù)學(xué)為前提的，而初中數(shù)學(xué)又是學(xué)生步入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。只有基礎(chǔ)扎實(shí)了，才能為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，不然基礎(chǔ)不牢，大廈越高傾覆的風(fēng)險(xiǎn)就越大。一元二次方程也是如此，其學(xué)習(xí)不僅是對(duì)學(xué)生小學(xué)階段數(shù)學(xué)方程學(xué)習(xí)的檢驗(yàn)，也是以后高階方程應(yīng)用的前提，另外也是九年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的擴(kuò)展。在初中時(shí)期，一元二次方程的應(yīng)用是較為常見的，尤其是方程與圖形的結(jié)合、拋物線切線等知識(shí)的應(yīng)用，如果不夯實(shí)一元二次方程的基礎(chǔ)，以后的學(xué)習(xí)將會(huì)愈加的困難。所以，在八年級(jí)一元二次方程的教學(xué)必須幫助學(xué)生打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，使學(xué)生有清晰的思路、扎實(shí)的基礎(chǔ)、解題的思路，這樣才能為學(xué)生以后的發(fā)展提供有效的前提。

三、一元二次方程的解題思路歸納

首先，直接解法，也就是我們教學(xué)中常見的“直接開平方”。這種方法相對(duì)來說是最直觀的，對(duì)學(xué)生來說也最容易掌握，但是，這種方法使用限制較多、范圍較小。其使用范圍主要有：第一，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為0的時(shí)候，方程只存在2次項(xiàng)，就像2x2 =4此類的，那么就可以直接使用“直接開平方法”，最簡(jiǎn)單、最好理解、最適用;第二，方程的左邊是一個(gè)完全平方式或者可以轉(zhuǎn)為完全平方式，而方程右邊為0的時(shí)候，就像（x-4）2=10此類的，也可以直接使用“直接開平方法”;第三，是通過“直接開平方法”簡(jiǎn)化方程，這類適用范圍也有較為明顯的特征，也就是方程兩邊都是（ax + m）2的形式，就像（x-4）2=（3x-2）2這樣類型的方程。由此可見，“直接開平方法”非常直觀，簡(jiǎn)單易懂，但有局限性較大是缺點(diǎn)，當(dāng)然也要求計(jì)算者在計(jì)算過程中有高超精細(xì)的計(jì)算能力，不然非常容易失誤。

其次，配方法，這種方法也是常用的一種方法，從表面意義就可以看出，就是整合一次項(xiàng)、二次項(xiàng)來“配”出一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，“創(chuàng)”出一個(gè)平方式，再用“直接開平方”法，最終求出兩個(gè)結(jié)果。如一元二次方程x2-6x+5=0，用配方法解決第一步就是要把常數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)到方程的右邊，第二步就是要“配方”，先將一次項(xiàng)系數(shù)除以2，同時(shí)將其二次方，也就是將一次項(xiàng)的二分之一進(jìn)行平方，得到的數(shù)字就是配方的數(shù)字。如上方程所述，一次項(xiàng)系數(shù)為-6，其二分之一再平方為9，所以要加上9，方程也轉(zhuǎn)變?yōu)閤2-6x+9=4，平方之后則轉(zhuǎn)變?yōu)椋▁-3）2= 4，然后進(jìn)行直接開方，最終就能得到5、1兩個(gè)實(shí)根，然后代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)，正確。經(jīng)過上述總結(jié)，配方法一般是與直接開方法混合使用的一種解題方法，也是知識(shí)點(diǎn)交互使用的混合使用方法。

再次，因式分解法。因式分解法的目的就是將一元二次方程轉(zhuǎn)變形式，轉(zhuǎn)化成A·B = 0的基本方式，如果一元二次方程轉(zhuǎn)化后，=左邊的代數(shù)式能分解為兩個(gè)A·B = 0的形式。因式分解法主要適用于沒有常數(shù)項(xiàng)的情況，如4x2-4x=0，就可以適用因式分解法，根據(jù)相關(guān)步驟可得4x（x-1）=0，雖然方程形式發(fā)生了變化，其實(shí)質(zhì)沒有改變，最終可以得到兩個(gè)根0、1，代入方程可以發(fā)現(xiàn)是正確的。如果轉(zhuǎn)變?yōu)榈仁絻蛇呉蚴椒纸猓部梢杂?，比如?x（x-1）= 4（x-1），先轉(zhuǎn)移可以轉(zhuǎn)變?yōu)?x（x-1）-4（x-1）=0，經(jīng)過分解可以得到兩個(gè)根為1、2。經(jīng)過上述分析可知，因式分解法=右邊必須為0，一旦違反此規(guī)定，就無法使用因式分解法。

最后，十字相乘法。十字相乘法是一種數(shù)學(xué)思維方式的應(yīng)用，總的說來就是將一元二次方程的二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)先進(jìn)行分解，然后十字相乘，將方程轉(zhuǎn)換為兩個(gè)整式，然后將兩個(gè)整式相加，假如兩個(gè)整式相加與一次項(xiàng)相等，就說明分解成功。比如，2x2+x-21=0，這個(gè)方程就可以用十字相乘法來解，其過程就是可以先將二次項(xiàng)進(jìn)行分解為2x·x，然后將-21分解為-3與7，并將兩組數(shù)字十字相乘，2x與-3相乘、x與7相乘，這樣便形成了-6x和7x，繼而將這兩項(xiàng)相加，于是就得到了x一個(gè)項(xiàng)，所以分解是成功的;如果兩項(xiàng)相加結(jié)果不是x，那么就需要再次對(duì)二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行分解，多次分解嘗試，直到得到最終結(jié)果，這樣對(duì)于理解能力較差的學(xué)生來說，不僅費(fèi)時(shí)間，而且容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，建議學(xué)生慎重使用此方法。

結(jié)語：綜上所述，在解決一元二次方程相關(guān)問題中，學(xué)生是否熟練是重要前提。同時(shí)，筆者在總結(jié)中可以根據(jù) b2-4ac > 0那么兩個(gè)實(shí)數(shù)根定不相同;如果b2-4ac = 0那么兩個(gè)實(shí)數(shù)根則相等;如果b2-4ac < 0，該方程就沒有實(shí)數(shù)根。在上述四種解題方法中，因式法是最常用、最通用、使用范圍最大的，但在解題中要將系數(shù)值一一對(duì)應(yīng)，直接開平方法使用范圍較小，配方法則對(duì)學(xué)科思維要求較高，十字相乘法難度較大，如果不熟練，建議慎重使用。