對一道斜率比為定值試題的拓展探究

福建省仙游第一中學

一 試題及已有結論呈現(xiàn)

題目(2018年全國高中數(shù)學聯(lián)賽重慶賽區(qū)預賽第9題)設橢圓C的左、右頂點為A(-a,0),B(a,0)過右焦點F(1,0)作非水平直線l與橢圓C交于P,Q兩點,記直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2,試證明為定值,并求此定值(用含a的函數(shù)表示).為定值文[1]把本題的結論推廣到一般的圓錐曲線中,文[2]又把文[1]的結論由焦點F推廣為定點M(m,0),得到了結論1、2、3,讀后頗受啟發(fā),但覺意猶未盡,經探究發(fā)現(xiàn),文[2]的結論1、2 可以拓展到更一般的情形.先把文[2]的結論1、2 抄錄如下:

圖1

圖2

結論1[2]設A,B為橢圓的左、右頂點,過點M(m,0)作任一條非水平直線l與橢圓C交于P,Q兩點,記直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2,則(如圖1)

結論2[2]設A,B為雙曲線0)的左、右頂點,過點M(m,0)作任一條非水平直線l與雙曲線C交于P,Q兩點,記直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2,則

二 縱向拓展:由橢圓(雙曲線)長(實)軸端點到定點弦端點的拓展

上述結論1、2 揭示了橢圓(雙曲線)的左、右頂點,即長(實)軸端點A,B與過定點M(m,0)的弦的端點P,Q連線的斜率比為定值的性質,如果把長(實)軸AB這條過定點M(m,0)的特殊(過曲線中心)的弦拓展為過定點M(m,0)的一般的弦AB(異于PQ),直線AP,BQ的斜率k1,k2存在且非零,那么,是否為某個定值? 經探究,結論1 可拓展為

結論Ⅰ設橢圓的弦AB過定點M(m,0)(0< |m| < a).過定點M作非水平直線l與橢圓C交于P,Q兩點,若直線AP與x軸交于定點N(n,0)(n

證明如圖2,對于橢圓設定點M(m,0)(0< |m| < a),直線AP與x軸交于點N(n,0)(n < m),記直線AP,AM,PM的方程分別為x=h1y+n,x=h2y+m,x=h3y+m,把直線AP的方程x=h1y+n與橢圓C的方程聯(lián)立,得b2(h1y+n)2+a2y2-a2b2=0,整理得

設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),據(jù)韋達定理,得則同理可得

于是有

本題的答案是:

代入(2)式,得

又

推論設橢圓的弦AB過定點M(m,0)(-c < m < a,m ?= 0),過定點M作非水平直線l與橢圓C交于P,Q兩點,若直線AP與x軸交于左焦點(-c,0),直線AP,BQ的斜率k1,k2存在且非零,則為定值

在以上證明中,以“-b2”替換“b2”,可把文[2]的結論2拓展為

結論ⅠⅠ設雙曲線C:的弦AB過定點M(m,0)(|m| > a),過定點M作非水平直線l與雙曲線C交于P,Q兩點,若直線AP與x軸交于定點N(n,0)(n

推論設雙曲線的弦AB過定點M(m,0)(-ca),過定點M作非水平直線l與雙曲線C交于P,Q兩點,若直線AP與x軸交于左焦點(-c,0),直線AP,BQ的斜率k1,k2存在且非零,則為定值

特別地,當n=-a即點A,N(n,0)重合于左頂點(-a,0)時,由AB過點M(m,0)得點B為右頂點(a,0),且,結論Ⅰ、ⅠⅠ分別為文[2]的結論1、2.

例1 (2018年武漢大學自主招生試題)如圖3,在平面直角坐標系xOy中,已知點F1,F2為橢圓1(a > b >0)的左、右焦點,A、B分別是橢圓C的左、右頂點,D(1,0)為線段OF2的中點,且

(1)求橢圓C的方程(答案:

(2)若M為橢圓C上的動點(異于A,B),連接MF1并延長交橢圓C于點N,連接MD,ND并分別延長交橢圓C于點P,Q,設直線MN,PQ的斜率分別為k1,k2,試問是否存在常數(shù)λ,使得k1+λk2=0 恒成立? 若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

圖3

圖4

三 橫向拓展:由橢圓、雙曲線到拋物線的拓展

結論Ⅰ、Ⅱ揭示了橢圓、雙曲線過同一定點M的兩條相交弦端點連線斜率比為定值的性質,那么拋物線是否具有類似性質? 如圖4,對于拋物線C:y2=2px(p >0),設弦AB過定點M(m,0)(m >0),過點M作非水平直線l與拋物線C交于P,Q兩點,若直線AP與x軸交于定點N(n,0),直線AP,BQ的斜率k1,k2存在且非零,那么是否為某個定值? 經探究可得拋物線的類似性質.

結論ⅠⅠⅠ設拋物線C:y2=2px(p >0)的弦AB過定點M(m,0)(m>0),過點M作非水平直線l與拋物線C交于P,Q兩點,若直線AP與x軸交于定點N(n,0)(n < m),直線AP,BQ的斜率k1,k2存在且非零,則為定值

證明設直線AP,AM,PM的方程分別為x=h1y+n,x=h2y+m,x=h3y+m.把直線AP的方程x=h1y+n與拋物線方程y2=2px聯(lián)立,得y2=2p(h1y+n),整理得y2-2ph1y-2pn=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),據(jù)韋達定理,得y1y3=-2pn.

同理可得y1y2=-2pm,y3y4=-2pm.則y2=則所以 圓的即為定值證畢.

圖5

特別地,當n=p=2,m=4時,這就是2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川省預賽試題第14題的答案:

例2(2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽四川省預賽第14題)已知F為拋物線y2=4x的焦點,M點的坐標為(4,0),過點F作斜率為k1的直線與拋物線交于A,B兩點,延長AM,BM交拋物線于C,D兩點,直線CD的斜率為k2.(1)求的值;(2)略(如圖5).