對勾函數(shù)的圖像為何是雙曲線

安徽省合肥市第一中學(xué)

高中生大體上都知道反比例函數(shù)圖像是雙曲線,而且是標(biāo)準(zhǔn)形式下的等軸雙曲線逆時針旋轉(zhuǎn)45°而來,但是對其實(shí)軸長、焦距不甚了解.而對勾函數(shù)也是常見的,是其解析式形如:y=ax+(ab>0)的函數(shù).教師常解釋其名字來源為手繪圖像酷似一對批改作業(yè)常打的“對勾”,也因像耐克商標(biāo)而被稱為“耐克函數(shù)”.很多師生對這種函數(shù)存在著諸多誤解、迷惑和想當(dāng)然的認(rèn)識.比如,有的老師為了強(qiáng)調(diào)其與二次函數(shù)圖像畫法的區(qū)別,會講:對勾函數(shù)沒有對稱軸,以y軸和某條遞增的過原點(diǎn)直線為漸近線;有的學(xué)生會問:除y軸外的另一條漸近線方程是什么? 而部分教師也無從回答.本文用兩種方法證明對勾函數(shù)圖像也是雙曲線,并探究出其實(shí)、虛半軸長和焦距、離心率和漸近線方程等結(jié)論.

1 證明

方法 1求導(dǎo)得如圖1,設(shè)點(diǎn)(x0>0)為f(x)圖像C上的一個點(diǎn),圖像C在點(diǎn)A處的切線為l,滿足lOA⊥l.則切線l的斜率為明顯y軸為圖像C的一條漸近線.

圖1

由lOA⊥l,得解得故

令x=0,得l與y軸交點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為故求得設(shè)則

另外,設(shè)點(diǎn)F1在射線OA上且|OF1|=c0,則故F1

設(shè)F1關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為F2,f(x)圖像C上動點(diǎn)則

同理,

當(dāng)x >0時,所以

當(dāng)x <0時,所以

方法2設(shè)f(x)的圖像C順時針旋轉(zhuǎn)后得到曲線Γ,圖像C上任一點(diǎn)P(x0,y0)按此旋轉(zhuǎn)到Q(x,y).則曲線Γ 逆時針旋轉(zhuǎn)θ后得到f(x)的圖像C,將逆時針旋轉(zhuǎn)公式代入C得

可以看出此時曲線Γ 為雙曲線,從而旋轉(zhuǎn)之前的f(x)=的圖像C也是雙曲線.

2 相關(guān)性質(zhì)

2.1 推導(dǎo)

半焦距離心率而雙曲線Γ的兩條漸近線方程為:和x.l′1,l′2和x軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ0后,即得雙曲線C的漸近線l1,l2和焦點(diǎn)所在對稱軸l0.設(shè)l′1,l′2,l1和l2的傾斜角分別為α′1,α′2,α1和α2,則tanα′1=l0的傾斜角為θ0.

再由cos 2θ0=-asin 2θ0和得tan 2θ0=所以解得tanθ0=所以tanθ0·tanα′1=1,tanα2=tan(-α′1+θ0)故

2.2 結(jié)論

與a,b均有關(guān)的性質(zhì)有:實(shí)半軸和虛半軸長分別為:

與a_有關(guān)而與_b_無關(guān)的性質(zhì)有:離心率e=焦點(diǎn)所在對稱軸為l0:y=一條漸近線為直線y=ax;

與a,b均無關(guān)的性質(zhì)有:另一條漸近線恰恒為直線x=0,即y軸.

另外,用以上兩種方法類似地也可以證明y=ax+在a,b<0 以及ab<0的情況下,圖像也都是雙曲線,并可以得到相應(yīng)的相關(guān)性質(zhì)結(jié)論.尤其在ab <0的情況下,其圖像不再像一對“對勾”,所以可以推廣為:形如y=ax+(ab ?=0)的函數(shù)統(tǒng)稱為“雙曲線”函數(shù).