例談三棱錐的外接球問(wèn)題

廣東省廣州中學(xué)

幾何體的外接球問(wèn)題全國(guó)新課標(biāo)卷中是一個(gè)熱門(mén)考點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn),為此也成為學(xué)生的一個(gè)薄弱點(diǎn).一般情況下大都結(jié)合三棱錐考察外接球問(wèn)題.怎樣才能更好地解決和突破外接球問(wèn)題,成為了老師和學(xué)生所渴望得到的答案.

通過(guò)大量題目的分析,發(fā)現(xiàn)解決三棱錐的外接球問(wèn)題的方法一般有兩個(gè).第一個(gè)方法是補(bǔ)形,第二個(gè)方法是構(gòu)造直角三角形.以下將對(duì)上述兩個(gè)方法逐一進(jìn)行討論.

一 利用補(bǔ)形法解決三棱錐的外接球問(wèn)題

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)立體幾何初步的學(xué)習(xí)提出了基本要求:“在立體幾何初步部分,學(xué)生將先從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手,認(rèn)識(shí)空間圖形;再以長(zhǎng)方體為載體,直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;···”由此可見(jiàn),長(zhǎng)方體模型是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ),掌握長(zhǎng)方體模型,對(duì)于學(xué)生理解立體幾何的有關(guān)問(wèn)題起著非常重要的作用.因此長(zhǎng)方體的外接球是學(xué)生比較熟悉的一類(lèi)多面體的外接球:長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑,長(zhǎng)方體體對(duì)角線的中點(diǎn)即為外接球的球心.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a、b、c,那么長(zhǎng)方體的體對(duì)角線進(jìn)而可得長(zhǎng)方體外接球半徑外接球的表面積體積也就隨即可求.

例1已知S、A、B、C是球O表面上的點(diǎn),SA⊥面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,則球O的表面積等于().

A.4πB.3πC.2πD.π

分析注意到SA⊥面ABC,BC⊥面SAB,可將此三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)寬高分別為1,1的長(zhǎng)方體,如圖1,此時(shí)SC為長(zhǎng)方體體對(duì)角線,可知其外接球的球心為SC中點(diǎn).

把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體,題目也就轉(zhuǎn)化為我們熟悉的題目,迎刃而解.這個(gè)方法很好,但我們會(huì)有這么兩個(gè)疑問(wèn).

圖1

第一怎么保證長(zhǎng)方體的頂點(diǎn),同時(shí)又不與三棱錐頂點(diǎn)重合的頂點(diǎn)也在球上呢?

這其實(shí)是利用了三角形的外接圓性質(zhì),還有球體的對(duì)稱(chēng)性,便可以證明長(zhǎng)方體的每個(gè)頂點(diǎn)都會(huì)在球上.

第二是不是所有的三棱錐都能補(bǔ)形呢? 能補(bǔ)形的三棱錐有怎樣的共同特征呢? 顯然并不是所有的三棱錐都能補(bǔ)形,能補(bǔ)成長(zhǎng)方體的三棱錐分為以下四類(lèi).

(1)有三個(gè)面都是直角三角形,有三條棱兩兩垂直,另一面為銳角三角形(如圖2).這類(lèi)四面體共8 個(gè),兩兩垂直的三條棱就是長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高.

(2)四個(gè)面都是直角三角形,有一條棱垂直于其中一個(gè)面(如圖3).這類(lèi)四面體共24 個(gè),它們有一條最長(zhǎng)棱,這條最長(zhǎng)的棱就是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線.

(3)有三個(gè)面都是直角三角形,沒(méi)有三條棱兩兩垂直,另一面為銳角三角形(如圖4).這類(lèi)四面體共16 個(gè),它們有一條最長(zhǎng)棱,這個(gè)最的棱就是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線.(4)四個(gè)面都是銳角三角形且對(duì)棱相等(如圖5).這類(lèi)四面體共2個(gè),對(duì)棱的長(zhǎng)度為長(zhǎng)方體某個(gè)面對(duì)角線長(zhǎng).

圖2

圖3

圖4

圖5

練習(xí)1已知P、A、B、C是球O面上的四點(diǎn),PA、PB、PC兩兩垂直,且PA=PB=PC=1,求球的體積與表面積.

分析PA、PB、PC兩兩垂直,且PA=PB=PC=1,符合正方體的特征(第一類(lèi)),所以構(gòu)造正方體.正方體的棱長(zhǎng)為1,所以體對(duì)角線長(zhǎng)為所以半徑所以外接球的體積為表面積為S=4πR2=3π

圖6

練習(xí)2已知四面體ABCD滿(mǎn)足AC=AD=BC=BD=2,則四面體ABCD的外接球的表面積為_(kāi)___.

分析法一:如圖7,取AB、CD的中點(diǎn)E、F.AC=AD=BC=BD=2,知CE⊥AB,DE⊥AB,CE=DE,從而AB⊥平面CED知到A,B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)必在平面CED上.同理CD⊥平面AFB知到C、D兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)必在平面AFB.因而球心O必平面CED與平面AFB的交線上.

圖7

又OB=OC=R.可知ΔOEB∽= ΔOCF,故球心O為EF中點(diǎn).因可得從而球半徑

故外接球表面積S=4πR2=7π.

法二:由題發(fā)現(xiàn)三棱錐的對(duì)棱相等(第四類(lèi)),故三棱錐可以補(bǔ)形成長(zhǎng)方體.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為x、y、z,則

第二個(gè)題通過(guò)構(gòu)造過(guò)對(duì)棱中點(diǎn)的截面,探索球心,給人出奇制勝的感覺(jué),但是如果緊扣三棱錐相對(duì)棱相對(duì)這一特征,補(bǔ)形成長(zhǎng)方體,這樣來(lái)得更為快捷.

圖8

圖9

圖10

二 利用構(gòu)造直角三角形解決三棱錐的外接球問(wèn)題

補(bǔ)形的方法很方便,計(jì)算量也小,但是并不是所有的三棱錐都可以補(bǔ)形,當(dāng)這條路走不通時(shí),我們則走第二條路—-構(gòu)造直角三角形.此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比在圓中常做的輔助線手段-垂徑定理,轉(zhuǎn)化到球中也可以做類(lèi)似的輔助線,從而得出解決不可補(bǔ)形三棱錐的方法—構(gòu)造直角三角形,完成知識(shí)組塊的建構(gòu).讓學(xué)生自然經(jīng)歷這兩知識(shí)組塊的建構(gòu),從而達(dá)到對(duì)三棱錐外接球這一問(wèn)題類(lèi)型的整體認(rèn)識(shí),形成清晰思路.對(duì)三棱錐外接球問(wèn)題的結(jié)構(gòu)化整合的思路可應(yīng)用到球的其他類(lèi)型的問(wèn)題上,舉一反三.

例2已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若PA=AB=2,AC=1,∠BAC=120°,且PA ⊥平面ABC,則球O的表面積為().

分析分析題目,該三棱錐不能補(bǔ)形成長(zhǎng)方體,故另找辦法.

圖11

設(shè)球心為O,過(guò)球心O做底面ABC的垂線,垂足為O′,連接OO′,OA,O′A.由余弦定理得為△ABC的外接圓半徑r,由正弦定理得過(guò)O作OD⊥PA交PA于點(diǎn)D,因?yàn)镺P=OA,所以D為PA中點(diǎn),故OO′=AD=1.在直角三角形OO′A中,R=OA=故外接球表面積

構(gòu)造直角三角形,是指過(guò)球心做三棱錐某個(gè)面的垂線,垂足為三角形的外接圓圓心,外接圓半徑可以由正弦定理為外接圓半徑)求得,這時(shí)垂線、外接圓半徑和球半徑構(gòu)成直角三角形,由勾股定理便可得等式.另外,還可以通過(guò)球心做垂直于面的線的垂線,這樣也可以構(gòu)造出跟球半徑有關(guān)的直角三角形.

練習(xí)1在正三棱錐S-ABC中,側(cè)棱SA=SB=SC=2,底面邊長(zhǎng)為1,則該三棱錐S-ABC的外接球半徑是____.

分析如圖12,在直角三角形AOH中,由勾股定理可得外接球半徑.

圖12

圖13

練習(xí)2已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球面的表面上,ΔABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形,SC為球的直徑,且三棱錐S-ABC的體積為則三棱錐S-ABC的外接球的體積為_(kāi)___.

分析如圖13,因SC為球的直徑,AC=BC=1 知ΔSAB∽= ΔSBC.過(guò)點(diǎn)A做AD⊥SC于D,則BD⊥SC,故SC⊥平面ADB.有取AB中點(diǎn)E,則可得R=1,從而外接球的體積

法二過(guò)S點(diǎn)做三棱錐的高h(yuǎn),由于三棱錐體積為可得SC中點(diǎn)為球心O,過(guò)O點(diǎn)做平面ABC的垂線,垂足為O′,在直角三角形ΔOO′C中,所以從而外接球的體積

這道題第一種方法通過(guò)做與球直徑垂直的截面,由三角形全等建立等式,想法巧妙,但是通過(guò)構(gòu)造直角三角形,反而更為通俗易懂.

練習(xí)3矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC-D,則四面體ABCD的外接球體積為_(kāi)___.

分析通過(guò)構(gòu)造直角三角形的方法,可以推出球心在AC的中點(diǎn)處.

練習(xí)4已知在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐D-ABC,當(dāng)三棱錐D-ABC的體積最大時(shí),其外接球體積為_(kāi)___.

分析通過(guò)構(gòu)造直角三角形的方法,可以推出AB中點(diǎn)為球心.

練習(xí)3、4 雖然沒(méi)有構(gòu)造出具體的直角三角形,但是依然利用構(gòu)造直角三角形的思路.過(guò)球心做底面直角三角形的垂線時(shí),垂足剛好在斜邊中點(diǎn),同理做另一個(gè)直角三角形面的垂線時(shí),垂足也在斜邊中點(diǎn)處,所以最后球心只能落在棱中點(diǎn)處.所以本文也把這類(lèi)題目歸納到構(gòu)造直角三角形法中.

從上面的題目,我們發(fā)現(xiàn)三棱錐的外接球問(wèn)題一般都是可以利用補(bǔ)形法或是構(gòu)造直角三角形法來(lái)解決,雖然有些題目可以利用其它方法來(lái)解決,但都沒(méi)顯得比補(bǔ)形法或是構(gòu)造直角三角形法來(lái)得直接與形象.從而也給學(xué)生提供了解決三棱錐外接球問(wèn)題一個(gè)很清晰的思路,先看看能不能補(bǔ)形,不行的情況下則用構(gòu)造直角三角形.這一思路可以類(lèi)比到其他模型中,從而完成對(duì)外接球問(wèn)題的完整認(rèn)知.