數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下數(shù)據(jù)分析和運(yùn)算能力的培養(yǎng)

廣東省汕頭市潮陽(yáng)第一中學(xué)

學(xué)好高中數(shù)學(xué),需要基礎(chǔ)知識(shí)的積累、思想方法的掌握、聯(lián)想能力的提高、運(yùn)算求解能力的不斷提升.其中,以運(yùn)算求解能力尤為重要.

運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合.運(yùn)算包括對(duì)數(shù)值的計(jì)算和近似計(jì)算,對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式的變形,對(duì)幾何圖形相關(guān)幾何量的計(jì)算求解等.運(yùn)算求解能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過(guò)程中的思維能力,也包括在實(shí)施運(yùn)算過(guò)程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算策略的能力.

在《2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明》第160頁(yè)中,提到高中數(shù)學(xué)全國(guó)卷對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力的考查,不僅包括數(shù)的運(yùn)算,還包括式的運(yùn)算,兼顧對(duì)算理和邏輯推理的考查.考查是以含字母的式的運(yùn)算為主,包括數(shù)字的計(jì)算、代數(shù)式和某些超越式的恒等變形、集合的計(jì)算、解方程與不等式、三角恒等變形、求導(dǎo)運(yùn)算、概率計(jì)算、向量運(yùn)算和幾何圖形中的計(jì)算等.運(yùn)算結(jié)果具有存在性、確定性和最簡(jiǎn)性.高考中對(duì)運(yùn)算求解能力的考查主要體現(xiàn)在運(yùn)算的合理性、準(zhǔn)確性、熟練性、簡(jiǎn)捷性.筆者經(jīng)多年教學(xué),對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)積累了若干經(jīng)驗(yàn),總結(jié)一些主要的方法,供同行參考.

1 “獨(dú)具慧眼”法

“獨(dú)具慧眼”法,就是觀察法,即從復(fù)雜的數(shù)據(jù)中,觀察得到部分答案,再利用這部分答案推算出其余答案,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程,快速計(jì)算出正確的答案,起到事半功倍的作用.

例1如圖1,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為正方形,AA1⊥平面ABCD,M為棱DD1的中點(diǎn),N為棱AD的中點(diǎn),Q為棱BB1的中點(diǎn).

(1)證明:平面MNQ//平面C1BD;

(2)若AA1=2AB,棱A1B1上有一點(diǎn)P,且A1P=λA1B1(0<λ<1),使得二面角P-MN-Q的余弦值為求λ的值.

圖1

簡(jiǎn)析在第二問(wèn)中,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以線段DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系后,為方便計(jì)算,設(shè)AB=2 可得

如果將方程整理成一般的一元二次方程求解,顯然計(jì)算量大.可以觀察,認(rèn)為左右兩邊分子、分母對(duì)應(yīng)相等,得再去分母并兩邊平方得由韋達(dá)定理,類似“火中取栗”從這個(gè)方程抽取數(shù)據(jù)得

最后由0<λ<1 得

2 “欲擒故縱”法

“欲擒故縱”法,即計(jì)算數(shù)據(jù)的開(kāi)始,先不進(jìn)行合并、約分、開(kāi)方等運(yùn)算,而是先做簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算,最后才進(jìn)行合并、約分、開(kāi)方等運(yùn)算,起到簡(jiǎn)化運(yùn)算,快速得結(jié)果的作用.例如:

例2一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的6 個(gè)白球和4 個(gè)紅球.從中任摸4 個(gè)球,求摸到白球的個(gè)數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)差.

簡(jiǎn)析設(shè)從中任摸4 個(gè)球,摸到白球的個(gè)數(shù)為η,則可得概率分布列為:

摸到白球的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為:

方差為:

從表格看出,如果將η=1,2,3,4 對(duì)應(yīng)的概率進(jìn)行約分,反而不方便.這里采取了“欲擒故縱”法,放長(zhǎng)線釣大魚(yú),先列數(shù)計(jì)算,最后再約分,挺方便的.

3 “步步為營(yíng)”法

“步步為營(yíng)”法,即在數(shù)據(jù)較大的情況下,無(wú)法一下子觀察到化簡(jiǎn)的方法,而是一點(diǎn)一點(diǎn)“蠶食”數(shù)據(jù),經(jīng)多次化簡(jiǎn),容易得到結(jié)果.

例3某高等院校為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系,“統(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選修該課的一些學(xué)生的情況,具體數(shù)據(jù)如下表:

專業(yè)性別男女合計(jì)非統(tǒng)計(jì)專業(yè)13 7 20統(tǒng)計(jì)專業(yè)10 20 30合計(jì)23 27 50

參考數(shù)據(jù)表

根據(jù)表中數(shù)據(jù),可得到k2=4.84,由此判斷選修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系的可能性達(dá)到____以上.

這里的第一步先套用公式,第二步的分子可以提取100與分母的100 約分,第三步將分母重新配湊,近似約分的近似值.這里用到估值計(jì)算,答案為95%.

4 “瞞天過(guò)?！狈?/h2>

“瞞天過(guò)海”法就是在計(jì)算過(guò)程中,利用數(shù)據(jù)或公式的特征等方法,比常規(guī)方法更簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確.但書(shū)寫(xiě)時(shí),還是按常規(guī)方法書(shū)寫(xiě).

例4已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+3n,則{an}的通項(xiàng)公式是____.

簡(jiǎn)析 利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=na1+的特征知道,Sn公式中n2前面的系數(shù)是公差的一半,an公式中n前面的系數(shù)是公差.因此,可先寫(xiě)出“an=2n+λ”,再結(jié)合a1=S1=4 得an=2n+2.解答題時(shí),可以用an=Sn-Sn-1列式,但寫(xiě)答案時(shí)用上面方法,“瞞天過(guò)?！?

5 “金蟬脫殼”法

“金蟬脫殼”法,就是在不影響結(jié)果的情況下,舍棄“輜重”的數(shù)據(jù),抽絲剝繭出需要計(jì)算的數(shù)據(jù)或式子,簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.

例5(2017年高考課標(biāo)Ⅰ卷第21題)已知函數(shù)f(x)=

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

解(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f′(x)= 2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1),

(i)若a ≤0,則f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減.

(ⅱ)若a>0,則由f′(x)=0 得x=-lna.

當(dāng)x ∈(-∞,-lna)時(shí),f′(x)<0; 當(dāng)x ∈(-lna,+∞)時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,-lna)上單調(diào)遞減,在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.

在第(2)問(wèn)中,令f(x)= 0,分離變量a與x得換元令t=ex >0 得而f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則有兩解,即直線y=a與曲線有兩個(gè)交點(diǎn).令則這里恒有因此,可以“金蟬脫殼”,令h(t)= 1-t-lnt,則h′(t)=注 意 到h(1)= 0,所以g(t)在(0,1)上 單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,即g(t)max=g(1)= 1.而所以當(dāng)t ∈(0,1)時(shí),g(t)∈(-∞,1); 當(dāng)t ∈(1,+∞)時(shí),g(t)∈(0,1).所以,當(dāng)有兩解時(shí),a的取值范圍為(0,1).