小議整體代換法

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整體代換法在高考、中考中頻頻有所考查.一些簡單層面的應用,本文不再涉及,例如

例1(2014年中考山東省淄博市卷第6題)當x=1時,代數(shù)式ax3-3bx+4的值是7,則當x=-1時,這個代數(shù)式的值是().

A.7 B.3 C.1 D.-7

例2(2011年高考廣東卷文科第12題)設函數(shù)f(x)=x3cosx+1,若f(a)=11,則f(-a)=____.

本文僅就一些有趣的整體代換,略作說明,拋磚引玉,供同仁、學子們欣賞.

例3(1979年高考全國卷理科第1題)若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求證:x,y,z成等差數(shù)列.

簡證由已知[(x-y)+(y-z)]2-4(x-y)(y-z)=0,所以(x-y)2-2(x-y)(y-z)+(y-z)2=0.即[(x-y)-(y-z)]2=0.故x+z=2y,所以x,y,z成等差數(shù)列.

評注 (1)本題用到代換x-z=(x-y)+(y-z).

(2)也可用乘法公式打開得證,涉及(a+b+c)2公式或分組分解法.

例4(人民教育出版社人教B版第104頁第4題)已知:圓的直徑端點是A(x1,y1),B(x2,y2),求證:圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

簡證由已知可得圓心直 徑方 程 是即

即

即 [(x-x1)+(x-x2)]2+[(y-y1)+(y-y2)]2

=[(x-x2)-(x-x1)]2+[(y-y2)-(y-y1)]2,

即 [(x-x1)+(x-x2)]2-[(x-x2)-(x-x1)]2

=[(y-y2)-(y-y1)]2-[(y-y1)+(y-y2)]2,

所以(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

評注 (1)本題用到2x-(x1+x2)= (x-x1)+(x-x2),x1-x2=(x-x2)-(x-x1),類似處理2y-(y1+y2),y1-y2.

(2)公式背景(a+b)2-(a-b)2=4ab.

(3)向量法等方法證略.

例5(1999年高考全國卷理科第8題4分)若(2x+則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為().

A.1 B.-1 C.0 D.2

簡解令x=1 得

令x=-1 得

由(1)(2)得

即

故選A.

評注(1)本題將a0+a2+a4及a1+a3分別看成是一個整體,用平方差公式即得.

(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2= (a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)與已知的二項式展開式類比,需分別令x=1,-1.

例6(2016年高考北京卷理第19題)已知橢圓的離心率為A(a,0),B(0,b),O(0,0),ΔOAB的面積為1.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(ⅠⅠ)設P是橢圓C上一點,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N.求證:為定值.

簡解(Ⅰ)

(ⅠⅠ)設P(x0,y0),則x20+4y20=4.由已知設M(0,m),N(n,0).由已知可得A(2,0),B(0,1).由kP A=kAM得即所以BM=

由kP B=kBN得即所以所以又x20+4y20=4,所以

評注(1)本題也是兩次用到了整體代換:x20+4y20=4,及x0y0-x0-2y0+2 作為一個因子整體約分了.

(2)平面解析幾何的原則之一:盡可能地少設字母.本題不得已先設了x0,y0,m及n,挖掘隱含條件(兩組三點共線)后,分別用x0,y0表示了m,n,減少了字母的個數(shù).但具體的x0,y0的值還是求不出來的,只能寄希望于整體代換了.

練習1(2011年天津中考)若實數(shù)x,y,z滿足(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0,則下列式子一定成立的是().

A.x+y+z=0B.x+y-2z=0

C.y+z-2x=0D.z+x-2y=0

練習2求證:過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(x0,y0)的該圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y

b)=r2.

練習3(2006年湖北省荊門市中考)若a0+a1x+a2x2+a3x3,則(a0+a2)2-(a1+a3)2的值為____.

練習4(2018年高考北京卷文第20題)已知橢圓的離心率為焦距為斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A,B.

(Ⅰ)求橢圓M的方程;

(ⅠⅠ)若k=1,求|AB|的最大值;

(ⅠⅠⅠ)設P(-2,0),直線PA與橢圓M的另一個交點為C,直線PB與橢圓M的另一個交點為D.若C,D和點共線,求k.

練習5已知A,B,P是雙曲線上不同的三點,且A,B兩點關(guān)于原點O對稱.若直線PA,PB的斜率則該雙曲線的離心率為____.

答案