考慮嚙合剛度時變性的齒輪傳遞誤差計算

譚學(xué)飛，魯文佳，張義民，趙燕輝

（1.東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，遼寧 沈陽 110819；2.沈陽化工大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110142）

1 引言

齒輪傳動系統(tǒng)的激勵因素主要包括電機扭矩和負載扭矩兩大外部激勵，同時受到嚙合剛度、齒輪傳遞誤差、嚙合沖擊等內(nèi)部激勵的影響。輪齒嚙合剛度和傳遞誤差對齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性和動力學(xué)性能產(chǎn)生不容忽視的巨大影響[1-2]。

齒輪傳遞誤差是指從動齒輪實際嚙合位置與理論齒廓無變形嚙合位置的偏差，文獻[3]指出齒輪傳遞誤差與齒輪制造精度，安裝精度和齒輪修形工藝有著密不可分的聯(lián)系，文獻[4]運用試驗方法測量了齒輪靜態(tài)傳遞誤差和齒輪嚙合剛度；文獻[5]根據(jù)傳遞誤差來源與影響因素，利用嚙合輪齒幾何關(guān)系建立了傳遞誤差與不同影響參數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系。國內(nèi)外學(xué)者對嚙合剛度和傳遞誤差的關(guān)聯(lián)性以及齒輪修形對傳遞誤差的影響方面進行了相應(yīng)研究，文獻[6]采用有限元方法對齒輪軸所在的有限單元加載，外載作用于齒輪安裝軸進而引起嚙合齒輪副的相對變形和輪齒嚙合誤差的加??；文獻[7-10]均通過有限元法模擬輪齒嚙合副的嚙合作用，輪齒有限元接觸加入了齒輪修型因素進而模擬其對齒輪傳遞誤差的影響。文獻[11-12]運用有限元方法分析輪齒修形和齒輪傳遞誤差的關(guān)系，進而建立了考慮齒輪修形量的齒輪轉(zhuǎn)子振動模型并研究了其對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響。

由于齒輪傳遞誤差的形成原因的復(fù)雜性，關(guān)于時變剛度和傳遞誤差關(guān)聯(lián)性的分析多通過有限元分析方法，建模過程復(fù)雜且缺乏通用性。為充分揭示兩者的內(nèi)在聯(lián)系，同時考慮輪齒修形工藝對傳遞誤差的影響，準確給出了齒頂修形量對齒輪嚙合區(qū)的影響區(qū)間模型以及齒向修形模型，建立了考慮齒輪修形因素的基于時變嚙合剛度的齒輪傳遞誤差計算模型。

2 齒輪時變嚙合剛度模型

2.1 直齒輪輪齒模型

直齒輪輪齒的端面是一個變截面懸臂梁，其模型，如圖1所示。

圖中：F—垂直于齒輪的作用力；h—嚙合力作用位置處齒厚的一半；φ1—嚙合力方向與齒厚方向的夾角；rb—基圓半徑；d—輪齒在外力的作用下有效儲存能量的長度，即嚙合力作用點到齒根圓固定部分的距離，dx、2hx—微元截面的寬度與長度。

2.2 時變嚙合剛度算法

輪齒在外載荷的作用下齒輪嚙合副產(chǎn)生彈性變形進而形成赫茲接觸能量、彎曲能量、剪切能量、徑向壓縮能量和存在于齒基的能量，可以通過能量法來計算剛度[13-15]。根據(jù)文獻[1]可得齒輪副單齒嚙合剛度K：

式中：Kh—赫茲接觸剛度；Kbi—齒輪彎曲剛度；Ksi—齒輪剪切剛度；Kai—徑向壓縮剛度；Kfi—齒基剛度。

圖1 直齒輪輪齒懸臂梁模型Fig.1 Cantilever Beam Model of Spur Gear Tooth

式中：E—材料的彈性模型；ν—材料泊松比；b—齒寬。

根據(jù)文獻[16]可得到齒輪齒基剛度表達式（參數(shù)具體數(shù)值詳見文獻[16]）：

3 齒輪變剛度傳遞誤差模型

3.1 變剛度傳遞誤差計算方法

考慮齒輪的彈性變形，受力偏載和齒輪修形等因素，齒輪傳遞誤差可以表示為[17]：

式中：e（t）—齒輪傳遞誤差；pa（t）—齒頂修形；cm（t）—齒向修形；

bd（t）—齒輪彈性變形；ma（t）—嚙合齒對的受力偏載變形。

基于這里研究重點，不考慮受力偏載的影響。

進而可以得到齒輪嚙合產(chǎn)生的彈性變形：

由理論力學(xué)和彈性力學(xué)可知沿嚙合線的嚙合力F（t）可通過以下公式計算得出：

式中：rb—齒輪基圓半徑；T（t）—齒輪的時變負載，在恒定扭矩情況可近似為常量；K（t）—齒輪的時變嚙合剛度。

由式（1），式（9）可知，當(dāng)已知負載T時，可求得齒輪彈性變形bd，進而由式（8）可知，當(dāng)給定齒輪修形量即可得到基于時變剛度的周期性時變傳遞誤差。并將齒輪傳遞誤差以嚙合頻率進行傅里葉級數(shù)展開：

下面將給出齒頂修形量和齒向修形量計算模型。

3.2 齒頂修形誤差計算模型

齒輪齒頂修形有多種修形曲線，擬采用如圖2所示的直線修形方式，其表達式為：

式中：Ca—齒頂修形量；La—修形長度；x—變量表示不同齒廓位置的修形量。

圖2 齒輪齒頂修形Fig.2 The Tooth Tip Modification of the Gear

根據(jù)齒輪的嚙合方式可知，齒輪的嚙合以主動輪的齒根推動從動輪的齒頂開始，以主動輪的齒頂與嚙合線相交為止，分析可知齒頂部分參與齒輪嚙合的嚙入、嚙出過程，而在齒輪轉(zhuǎn)過一個基圓齒距的嚙合過程，齒輪的嚙入、嚙出發(fā)生在雙齒嚙合區(qū)，即齒輪齒頂修形產(chǎn)生的修形誤差發(fā)生于雙齒嚙合區(qū)的對稱兩端，對單齒嚙合區(qū)沒有影響。

重點介紹齒頂修形在雙齒嚙合區(qū)的影響區(qū)間，以確定齒頂修形誤差在嚙合周期的具體影響區(qū)間。根據(jù)圖1幾何關(guān)系可建立方程：

式中：γM—輪齒中心線與OM的夾角（M點為齒頂修形在齒廓的極限位置點）；ra—齒頂圓半徑；αM—M點壓力角；α—標準壓力角；z—齒輪齒數(shù)。

嚙合線單雙齒嚙合區(qū)的具體分布情況，如圖3所示。圖中：N1N2—理論嚙合區(qū)；B1B2—實際嚙合區(qū)；N1D和N2C—雙齒嚙合區(qū)；CD—單齒嚙合區(qū)；B1M1和B2M2—齒頂修型在嚙合線的影響區(qū)。

圖3 嚙合線上單雙齒嚙合區(qū)的分布Fig.3 Distribution of Single and Double Tooth Meshing Area on the Meshing line

同理，可得雙齒嚙合區(qū)B1M1的長度。

式中：下角標 1，2—主從動輪；rb1、rb2—主從動輪基圓半徑；αa1、αa2—主從動輪齒頂圓壓力角；α′—嚙合角。

3.3 齒向修形誤差計算模型

齒輪的齒向修形采用拋物線修形方式，如圖4所示。則齒向修形量cm可表示為：

式中：Cn—齒寬方向的最大鼓形量；B—齒寬；x—齒寬方向坐標。

圖4 齒輪齒向修形Fig.4 The Tooth Shape Modification of the Gear

沿齒輪嚙合方向的誤差量在齒輪嚙合過程中可近似為定值，其值可取cm的平均值表示：

4 案例分析

本例采用兩個相同的齒輪嚙合進行案例分析，采取的齒輪的參數(shù)如下：齒數(shù)z1=z2=46，模數(shù)m=7mm，壓力角α=20°，齒寬b1=b2=21mm，彈性模量E=206GPa，泊松比ν=0.26，齒輪額定轉(zhuǎn)速nz=1840r/min，齒頂修形量Ca=0.002mm，齒頂修形長度La1=La2=2mm，齒寬方向的最大鼓形量Cn1=Cn2=0.003mm。為了分析方便假設(shè)嚙合齒對在恒定扭矩下運行。

利用采用的齒輪時變嚙合剛度模型得到的直齒輪時變嚙合剛度曲線，如圖5所示。

基于齒輪變剛度傳遞誤差模型可以得到周期性時變傳遞誤差，理想誤差模型和考慮輪齒修形的傳遞誤差模型的對比曲線，如圖6所示。圖中可以看出理想傳遞誤差是在單雙齒嚙合區(qū)階躍式的周期性曲線，齒頂修形影響的是雙齒嚙合區(qū)的傳遞誤差，對單齒嚙合區(qū)沒有影響，并且嚴格推導(dǎo)了齒頂修形在雙齒嚙合區(qū)的具體影響區(qū)間，針對算例模型齒頂修形長度為2mm時，雙齒嚙合區(qū)兩側(cè)26.8%為影響區(qū)（由于齒輪參數(shù)相同影響區(qū)對稱）。齒向修形在嚙合線方向?qū)Φ膫鬟f誤差的影響近似認為定值，因此嚙合過程的誤差變化是相同的。

圖5 齒輪時變嚙合剛度曲線Fig.5 Time Varying Meshing Stiffness of the Gear

圖6 理想誤差模型和考慮輪齒修形誤差模型對比曲線Fig.6 Ideal Error Model and Comparison of Gear Modification Error Model

為了進一步驗證提出的理論傳遞誤差模型的準確性，與Munro等[3-4]通過試驗測得的齒輪傳遞誤差數(shù)據(jù)進行對比分析。Munro關(guān)于傳遞誤差的試驗通過測定周期性誤差的嚙合頻率下的各級諧波的幅值與相角，并通過疊加原理得到試驗條件下的齒輪傳遞誤差曲線，相應(yīng)的參數(shù)，如表1所示。為使理論與試驗對比的準確性，采用試驗參數(shù)進行模型建立和計算，同時通過式（10）將理論誤差曲線展開成傅里葉級數(shù)的形式，基于精度要求僅展開至前3次諧波即可，理論傳遞誤差曲線與試驗曲線的對比情況，如圖7所示。

理論曲線與試驗曲線的最大相對誤差為7.69%，理論曲線與試驗曲線的吻合性良好，驗證了基于時變嚙合剛度為基礎(chǔ)的齒輪傳遞誤差模型的準確性，如圖7所示。產(chǎn)生誤差的原因主要是為了提高理論模型的通用性，理論模型考慮了齒輪的齒頂修形和齒向修形因素對齒輪傳遞誤差的影響，而試驗使用齒輪并未進行相應(yīng)修形，因此理論曲線的誤差范圍偏大。但另一方面提高了理論模型的適用范圍。

表1 試驗條件下傳遞誤差各級諧波幅值和相角參數(shù)Tab.1 The Amplitude and Phase Angle of the Transmission Error at all Levels Under the Test Condition

圖7 理論傳遞誤差曲線與試驗曲線對比Fig.7 Theory Transmission Error Curve and Experimental Error Curve

5 結(jié)論

（1）建立了基于齒輪時變嚙合剛度的傳遞誤差計算模型，同時考慮了齒頂修型和齒向修形對傳遞誤差的影響，并利用傅里葉級數(shù)展開得到了傳遞誤差的主要諧波階次便于與試驗數(shù)據(jù)對比。

（2）分析嚙合過程和原理，準確建立了齒頂修形對齒輪嚙合區(qū)的影響區(qū)間模型；得到齒向修形的誤差影響模型。

（3）結(jié)合具體案例得到周期性的齒輪傳遞誤差曲線：齒頂修形長度為2mm時，雙齒嚙合區(qū)兩側(cè)26.8%為影響區(qū)；理論曲線與試驗曲線對比，最大誤差為7.69%，曲線的吻合性良好，驗證了基于時變嚙合剛度為基礎(chǔ)的齒輪傳遞誤差模型的準確性。