精密鋼球傳動(dòng)組合行星盤(pán)誤差對(duì)彈性轉(zhuǎn)角影響分析

安子軍，姜 威，張 悅，王清華

（燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

1 引言

隨著高精密機(jī)械的發(fā)展，精密鋼球傳動(dòng)裝置逐漸成為研究的熱點(diǎn)。其在高精密機(jī)床的精確定位、航空遙感相機(jī)的位移補(bǔ)償精密機(jī)構(gòu)中有廣泛的應(yīng)用前景[1-2]。實(shí)時(shí)無(wú)隙精密鋼球傳動(dòng)組合行星盤(pán)能夠代替?zhèn)鹘y(tǒng)的消隙結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)消隙的功能，周向保持同步旋轉(zhuǎn)，軸向利用鋼球滾動(dòng)特性實(shí)現(xiàn)軸向位移，從而能夠?qū)崟r(shí)消隙，滿(mǎn)足精密機(jī)械的傳動(dòng)要求，因此受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注。

文獻(xiàn)[3]根據(jù)嚙合點(diǎn)處變形與法向力之間的非線性關(guān)系推導(dǎo)法向力計(jì)算公式；文獻(xiàn)[4]運(yùn)用蒙特卡洛模擬法對(duì)擺線鋼球減速器傳動(dòng)誤差進(jìn)行了分析；精密鋼球傳動(dòng)具有無(wú)側(cè)隙、無(wú)回差的優(yōu)點(diǎn)，其主要誤差來(lái)源于彈性回差[5-6]，這與擺線針輪的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)有所不同[7]；文獻(xiàn)[8-9]對(duì)雙擺線鋼球減速器進(jìn)行了pro/E建模并進(jìn)行了振動(dòng)分析；文獻(xiàn)[10]在結(jié)構(gòu)原理、力學(xué)性能、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方面進(jìn)行了一系列的研究；文獻(xiàn)[11]對(duì)等速輸出機(jī)構(gòu)進(jìn)行了設(shè)計(jì)與分析。但目前尚未有文獻(xiàn)對(duì)于組合行星盤(pán)結(jié)構(gòu)在受載時(shí)的彈性轉(zhuǎn)角進(jìn)行研究，更未對(duì)組合行星盤(pán)接觸點(diǎn)的誤差進(jìn)行研究。在考慮組合行星盤(pán)誤差影響的情況下，通過(guò)對(duì)實(shí)際接觸角的計(jì)算，進(jìn)而推導(dǎo)彈性轉(zhuǎn)角精確表達(dá)式，研究了導(dǎo)向槽尺寸誤差、導(dǎo)向鋼球尺寸誤差和導(dǎo)向槽分布圓徑向誤差對(duì)彈性轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律，分析了誤差對(duì)轉(zhuǎn)角變化率的影響。

2 結(jié)構(gòu)及傳動(dòng)原理

實(shí)時(shí)無(wú)隙精密鋼球減速器，如圖1所示。中心盤(pán)右側(cè)加工齒數(shù)為Z1的外擺線封閉槽，行星盤(pán)a的左側(cè)加工齒數(shù)為Z2的內(nèi)擺線封閉槽，且滿(mǎn)足關(guān)系Z2-Z1=2。在內(nèi)擺線和外擺線交錯(cuò)的區(qū)域等距裝有數(shù)量為Zm的鋼球，而且滿(mǎn)足齒數(shù)關(guān)系Zm=（Z2+Z1）/2。行星盤(pán)a和行星盤(pán)b之間裝有碟簧，其二者連接處均布6個(gè)圓柱槽，每個(gè)槽中放置2個(gè)導(dǎo)向鋼球，行星盤(pán)a、行星盤(pán)b、碟簧和導(dǎo)向鋼球構(gòu)成組合行星盤(pán)。行星盤(pán)b的右側(cè)和輸出軸左側(cè)均布相同個(gè)數(shù)的環(huán)形槽，環(huán)形槽內(nèi)裝有等速鋼球。

減速器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，輸入偏心軸帶動(dòng)組合行星盤(pán)運(yùn)動(dòng)，組合行星盤(pán)帶動(dòng)減速鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)，減速鋼球在中心盤(pán)的擺線槽作用下，反推行星盤(pán)a以一個(gè)較低的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)減速運(yùn)動(dòng)，行星盤(pán)b在導(dǎo)向鋼球的作用下，與行星盤(pán)a以相同的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，行星盤(pán)b通過(guò)等速鋼球?qū)⑺俣葌鬟f給輸出軸，實(shí)現(xiàn)等速輸出。行星盤(pán)a與行星盤(pán)b之間放置碟簧，在預(yù)緊力作用下時(shí)刻處于壓縮狀態(tài)，可以實(shí)現(xiàn)減速器實(shí)時(shí)無(wú)隙嚙合傳動(dòng)。

圖1 實(shí)時(shí)無(wú)隙精密鋼球減速器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The Sketching of the Real-time Non-clearance Precision Ball Transmission

3 誤差模型建立

導(dǎo)向鋼球在導(dǎo)向槽內(nèi)為純滾動(dòng)，摩擦力較小，受力分析中忽略各接觸部分的摩擦力。在求解彈性轉(zhuǎn)角的過(guò)程中，導(dǎo)向鋼球與導(dǎo)向槽的實(shí)際接觸角是一個(gè)重要參數(shù)，因此在計(jì)算彈性轉(zhuǎn)角之前必須對(duì)實(shí)際接觸角進(jìn)行計(jì)算。組合行星盤(pán)中，導(dǎo)向鋼球與組合行星盤(pán)接觸為空間赫茲接觸，因組合行星盤(pán)軸向固定，可將接觸點(diǎn)所在平面單獨(dú)分析。以行星盤(pán)b右端面所在平面為分析平面，對(duì)組合行星盤(pán)整體進(jìn)行受力分析，在考慮導(dǎo)向槽分布圓徑向誤差e3i（i=1，2，3，4，5，6分別對(duì)應(yīng) 6 個(gè)導(dǎo)向槽）的情況下，各個(gè)導(dǎo)向鋼球受力不同，如圖2（a）所示；在考慮導(dǎo)向槽尺寸誤差e1i、導(dǎo)向鋼球尺寸誤差e2i的情況下，以單個(gè)導(dǎo)向鋼球嚙合點(diǎn)所在平面對(duì)導(dǎo)向鋼球進(jìn)行受力分析，如圖2（b）所示。Oin是內(nèi)導(dǎo)向槽圓心，Oe是外導(dǎo)向槽圓心，假設(shè)外導(dǎo)向槽固定，Oii是受載之后內(nèi)導(dǎo)向槽的圓心。

在進(jìn)行計(jì)算之前引入如下假設(shè)：（1）e1i的變化僅影響相應(yīng)的導(dǎo)向槽徑向尺寸，導(dǎo)向槽仍保持圓柱形；（2）e2i的變化僅影響相應(yīng)的導(dǎo)向鋼球半徑的大小，鋼球仍然保持球形；（3）受力變形在彈性變形范圍內(nèi)；（4）同一導(dǎo)向槽內(nèi)兩鋼球完全相同。

圖2 組合行星盤(pán)受力分析圖Fig.2 The Force Analysis of the Combined Planetary Plate

3.1 接觸角誤差模型

3.1.1 初始接觸角

導(dǎo)向鋼球受載前，當(dāng)滾動(dòng)體與導(dǎo)向槽剛接觸時(shí)，任意滾動(dòng)體位置接觸對(duì)的內(nèi)外圈曲率中心OinOe之間的距離為：

式中：Dq—導(dǎo)向鋼球直徑；r1i，r2i—內(nèi)外導(dǎo)向槽半徑。

此時(shí)為初始接觸角琢，其計(jì)算公式[12]為：

式中：Gr—徑向游隙。

3.1.2 實(shí)際接觸角

在受載之后，此時(shí)的導(dǎo)向鋼球在外載荷的作用下，接觸角變?yōu)棣?，與初始接觸角相比會(huì)發(fā)生變化。此時(shí)任意鋼球位置接觸對(duì)內(nèi)外圈曲率中心OiiOe之間的距離為：

導(dǎo)向鋼球與內(nèi)外滾道接觸，其嚙合點(diǎn)的變形量分別為δi，法向力分別為 Ni，剛度系數(shù)[13]為 ki：

圖3 接觸物體主平面和主曲率圖Fig.3 Main Plan and Main Curvature of the Object in Contact

法向力、接觸變形和剛度系數(shù)密切相關(guān)[13]，其非線性關(guān)系為：

法向力力臂與導(dǎo)向鋼球分布圓半徑的關(guān)系由三角函數(shù)關(guān)系可以表示為：

式中：L—導(dǎo)向槽分布圓半徑。

組合行星盤(pán)的力矩平衡方程為：

式中：M—組合行星盤(pán)所受阻力矩。

聯(lián)立方程（2）～（8），整理得到：

式（9）中只包含β一個(gè)未知數(shù)，通過(guò)計(jì)算便可求出受載之后的實(shí)際接觸角β。

3.2 誤差彈性轉(zhuǎn)角模型

行星盤(pán)a順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，行星盤(pán)b受到阻力矩M的作用，在其嚙合點(diǎn)處會(huì)產(chǎn)生彈性變形，使得行星盤(pán)b的實(shí)際轉(zhuǎn)角相對(duì)于行星盤(pán)a的轉(zhuǎn)角滯后的角度為駐α，變形協(xié)調(diào)方程為：

在考慮誤差情況下，帶有誤差的導(dǎo)向鋼球的載荷均不相同，如圖4所示。設(shè)1號(hào)導(dǎo)向槽內(nèi)的鋼球存在負(fù)誤差，其余鋼球均無(wú)誤差。在阻力矩M作用下，無(wú)誤差鋼球受擠壓變形，若該變形量小于負(fù)誤差值，則負(fù)誤差鋼球不受力，故計(jì)算組合行星盤(pán)彈性轉(zhuǎn)角時(shí)不計(jì)負(fù)誤差鋼球，如圖4（a）所示；若該變形量大于負(fù)誤差值，則兩類(lèi)鋼球同時(shí)受力，如圖4（b）所示。

圖4 導(dǎo)向鋼球誤差對(duì)變形影響Fig.4 Influence of Errors of the Ball to Deformation

另外誤差的存在對(duì)于剛度系數(shù)，變形系數(shù)都會(huì)有影響，每個(gè)誤差鋼球所受的載荷取決于誤差的大小，但是整體必須滿(mǎn)足平衡方程。所以在綜合考慮導(dǎo)向槽尺寸誤差、導(dǎo)向鋼球尺寸誤差以及導(dǎo)向槽徑向誤差之后，推得變形協(xié)調(diào)方程為：

聯(lián)立式（4）～式（8）、式（10）和式（11），整理得到新的平衡方程為：

式（11）和式（12）構(gòu)成的非線性方程組是以駐α為未知數(shù)，當(dāng)阻力矩M給定時(shí)，依靠MATLAB的fsolve命令進(jìn)行求解即可得到精確的數(shù)值。

3.3 誤差靈敏度

為更直觀對(duì)比各個(gè)誤差對(duì)彈性轉(zhuǎn)角變化的影響，基于參數(shù)靈敏度[14-15]的計(jì)算的方法，直接對(duì)各個(gè)誤差求偏導(dǎo)，偏導(dǎo)數(shù)的大小即可反應(yīng)彈性轉(zhuǎn)角變化速度。導(dǎo)向槽尺寸誤差、導(dǎo)向鋼球尺寸誤差、導(dǎo)向槽徑向誤差的靈敏度分別為：

4 誤差影響分析

4.1 誤差對(duì)彈性轉(zhuǎn)角影響分析

導(dǎo)向槽尺寸誤差e1i、導(dǎo)向鋼球尺寸誤差e2i和導(dǎo)向槽分布圓徑向誤差e3i對(duì)實(shí)際接觸角βt和彈性轉(zhuǎn)角駐α均有影響。根據(jù)樣機(jī)參數(shù)，導(dǎo)向鋼球分布圓半徑L=14.25mm，導(dǎo)向鋼球半徑rq=1mm，導(dǎo)向鋼球數(shù) Zm=12，阻力矩 M=15N·m。e1i、e2i和 e3i對(duì)于實(shí)際接觸角和彈性轉(zhuǎn)角的影響，如圖5～圖7所示。

圖5 導(dǎo)向槽尺寸誤差影響圖Fig.5 Influence of the Size Errors of the Guide Groove

圖6 導(dǎo)向鋼球尺寸誤差影響圖Fig.6 Influence of the Size Errors of the Ball

圖7導(dǎo)向槽分布圓徑向誤差影響圖Fig.7 Influence of the Radial Errors of Guide Groove Distribution Circle

圖5 （a）中，實(shí)際接觸角隨著導(dǎo)向槽尺寸誤差e3i的增大而減小，其減小的速度呈現(xiàn)減緩的趨勢(shì)，最大數(shù)值為1.0994rad，最小為1.0763rad；圖5（b）中，彈性轉(zhuǎn)角隨著e3i的增大而增大，增大的速度逐漸減慢，e3i過(guò)大會(huì)導(dǎo)致組合行星盤(pán)的彈性轉(zhuǎn)角過(guò)大，影響機(jī)構(gòu)的精密性，過(guò)小則可能出現(xiàn)鋼球無(wú)法安裝的問(wèn)題，彈性轉(zhuǎn)角最大值為6.5301×10-4rad，最小值為 6.3045×10-4rad。圖 6（a）中，實(shí)際接觸角隨著導(dǎo)向鋼球尺寸誤差e2i的增大而增大，其增加的速度也隨著誤差的增大而增大，最大數(shù)值為1.0991rad，最小為1.0764rad；圖6（b）中，彈性轉(zhuǎn)角整體上隨著e2i的增大而減小，而且減小的幅度越來(lái)越大，曲線整體分為兩段，在［-0.01，-0.006］時(shí)，由于彈性轉(zhuǎn)角小于誤差量，此時(shí)的導(dǎo)向鋼球并沒(méi)有與導(dǎo)向槽嚙合，因此該區(qū)間內(nèi)，實(shí)際接觸角為 0，彈性轉(zhuǎn)角為定值，在（-0.006，0.01］時(shí)，彈性轉(zhuǎn)角的減小速度隨著誤差的增大而逐漸增大，e2i過(guò)大雖然彈性轉(zhuǎn)角會(huì)減小，但是此時(shí)的鋼球可能會(huì)和導(dǎo)向槽出現(xiàn)過(guò)盈配合，無(wú)法安裝，e2i過(guò)小時(shí)，誤差鋼球在組合行星盤(pán)當(dāng)中沒(méi)有發(fā)揮應(yīng)有的作用，導(dǎo)致彈性轉(zhuǎn)角過(guò)大。

從圖7中曲線變化可以看出，實(shí)際接觸角和彈性轉(zhuǎn)角均隨著導(dǎo)向槽分布圓徑向誤差e3i的增大而減小，但圖7（a）的縱坐標(biāo)幾乎沒(méi)有變化，說(shuō)明e3i對(duì)于實(shí)際接觸角的影響非常小，圖7（b）彈性轉(zhuǎn)角在整個(gè)誤差范圍內(nèi)僅減小了0.0026×10-4rad，可見(jiàn)e3i對(duì)于組合行星盤(pán)的影響很小。

4.2 誤差靈敏度分析

討論的三種誤差對(duì)于實(shí)際接觸角和彈性轉(zhuǎn)角的影響均不相同，依據(jù)式（13）～式（15）繪出的三種誤差對(duì)于彈性轉(zhuǎn)角變化率影響的曲線，如圖8所示。

導(dǎo)向鋼球尺寸誤差e2i對(duì)于彈性轉(zhuǎn)角的變化影響最為明顯，如圖8所示。導(dǎo)向槽徑向誤差e3i的對(duì)于彈性轉(zhuǎn)角的變化幾乎沒(méi)有影響，導(dǎo)向槽尺寸誤差e1i整體位于（0，0.0022］，且逐漸減小，因此為增加傳動(dòng)穩(wěn)定性，在對(duì)組合行星盤(pán)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)主要限制e2i的大小。

圖8 誤差對(duì)彈性轉(zhuǎn)角變化率的影響Fig.8 Influence of Errors to Elastic Angle Change Rate

5 結(jié)論

（1）通過(guò)計(jì)算三種誤差影響下的實(shí)際接觸角從而推導(dǎo)組合行星盤(pán)結(jié)構(gòu)的彈性轉(zhuǎn)角表達(dá)式，并且將導(dǎo)向槽尺寸誤差、導(dǎo)向鋼球尺寸誤差和導(dǎo)向槽分布圓徑向誤差考慮其中，更能準(zhǔn)確的描述彈性轉(zhuǎn)角的計(jì)算公式。

（2）導(dǎo)向鋼球尺寸誤差對(duì)于彈性轉(zhuǎn)角的影響較為特殊，在誤差區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)分段狀態(tài)，在［-0.01，-0.006］區(qū)間內(nèi)，誤差鋼球與導(dǎo)向槽實(shí)際上并沒(méi)有嚙合，對(duì)于組合行星盤(pán)的彈性轉(zhuǎn)角也沒(méi)有影響；其他區(qū)間內(nèi)，彈性轉(zhuǎn)角隨著誤差增大而迅速減小。

（3）通過(guò)對(duì)三種誤差的求靈敏度可以發(fā)現(xiàn)，三種誤差對(duì)于彈性轉(zhuǎn)角的變化規(guī)律影響均不相同，導(dǎo)向鋼球尺寸誤差的影響最為明顯，另外兩種誤差的影響程度接近零，為保證機(jī)構(gòu)傳動(dòng)精度的穩(wěn)定，應(yīng)首要控制鋼球尺寸誤差大小。