多項式階數(shù)對高程異常擬合的精度影響研究

李睿，林鵬

(安徽建筑大學 土木工程學院，安徽 合肥 230601)

0 引言

水準測量的外業(yè)工作量較大，尤其在山區(qū)，逐站傳遞的作業(yè)方式導致作業(yè)效率低。GNSS(Global Navigation Satellite System)具有定位精度高、可全天候作業(yè)以及適應性強等特點被廣泛應用到各個領域。由GNSS 獲得的大地高是相對于橢球面的高程系統(tǒng)，與以似大地水準面為基準的正常高之間存在高程異常的影響，導致衛(wèi)星定位技術獲取的大地高直接應用于實際存在一定的限制，周利利[1]提出利用數(shù)字攝影測量來獲取高程數(shù)據，是高程測量常用的方法之一。

為了減小高程異常的影響，通常要進行高程異常擬合，將大地高轉化為正常高。目前，常采用的方法有重力測量法、數(shù)值逼近法、神經網絡法、多項式擬合法等多種方法[2]，其中采用多項式進行高程異常擬合是常采用的方法。王佳麗等[3]研究了擬合模型的選取問題，結果表明相關平面精度最優(yōu)。倪屾[4]研究了多項式擬合對提高高程轉換精度及效率的影響，且有利于提高測量精度和降低外業(yè)測量的工作量。王雪林等[5]提出了采用多種高程異常擬合方法進行組合，相比于單一擬合方法，提高了外推點的擬合精度。尤中凱[6]分別對比了基于多項式以及三次樣條擬合高程異常結果，并采用EGM2008 模型的移去-恢復法的結果做參考，結果表明多項式和三次樣條擬合可以達到四等水準的精度。高長胤[7]針對經典最小二乘法的不足，提出使用整體最小二乘法進行高程擬合。楊德明[8]針對多項擬合點的選取問題進行了研究，結果表明參與擬合的點位應盡量多選取測區(qū)外圍的點位，以達到精化局部曲面的目的。趙全哲等[9]研究結果表明通過建立多項式模型來求解擬合參數(shù)可以滿足目前大部分工程需求。目前大多數(shù)測量單位沒有條件使用重力測量等方法測量正常高，過去通常采用幾何水準測量的方法，但這種方法對時間和成本等方面要求較高，GNSS 技術的出現(xiàn)為測量正常高提供了新思路。使用GNSS 測高雖然精度不如水準測量，但極大地提高了效率和節(jié)省成本，而多項式擬合法作為GNSS 測高中最常用的方法之一，研究多項式在擬合中的精度影響進而選取合適的多項式提高擬合精度，能夠提高經濟效益，具有重大意義。

綜上所述，文章將基于多項式進行高程異常擬合，采用Gauss-Markov 模型求解多項式參數(shù)，通過對擬合結果的精度分析，研究多項式階數(shù)對高程異常擬合的影響。

1 實驗原理

1.1 高程系統(tǒng)

高程系統(tǒng)[6]是指不同的基準線和高程基準面所定義的高程體系，最廣泛使用的有正高系統(tǒng)、正常高系統(tǒng)和大地高系統(tǒng)。雖然每個系統(tǒng)都是獨立的，但可以通過數(shù)學公式進行一定的轉換。在不考慮垂直偏差的情況下，正高Hg、正常高Hr和大地高H 有如下關系：

式中N 為大地水準面差距(大地水準面與參考橢球面的差值)，ζ 為高程異常(似大地水準面與參考橢球面的差值)。

1.2 經典最小二乘法

GNSS 高程擬合中常用經典最小二乘法進行平差解算，經典最小二乘僅考慮觀測向量的誤差而忽視系數(shù)矩陣的誤差[7]。實驗中使用的是采用GM模型(Gauss-Markov)的經典最小二乘，具體如下：

式中，L 為觀測向量，v 為觀測向量的隨機誤差矩陣，A 為已知參數(shù)的系數(shù)矩陣，X 為未知參數(shù)向量。

式中，E(v)為數(shù)學期望，D 為觀測向量的協(xié)方差矩陣，σ0為單位權方差，Q 為權逆陣，P 為權陣。

根據最小二乘平差準則：

根據極限求導原理：

聯(lián)立公式(2)和公式(5)可得：

整理后可得未知參數(shù)向量X 的解：

1.3 基于多項式的高程異常擬合方法

地面點位的高程異常ζ 與其平面坐標(x，y)構成函數(shù)關系式[7]：

式中f(x,y)為多項式函數(shù)，其一階、二階及三階形式如下：

式中(a0,…a9)為模型參數(shù)。

若區(qū)域內有n 個測量點，其中有m 個已知點，根據Gauss-Markov 模型構建誤差方程：

式中，V 為改正數(shù)，A 為已知參數(shù)的系數(shù)矩陣，X 為未知參數(shù)向量，ζ 為高程異常值，具體形式如下：

故基于多項式的高程異常擬合參數(shù)的最小二乘解為：

整理公式進行計算后，可求得模型參數(shù)，再將某待定點的平面坐標位置代入上文中三種擬合模型對應的公式，即可求得該點的高程異常。

2 實例分析

以某礦區(qū)GPS 水準聯(lián)測數(shù)據作為實測數(shù)據，測量中的總觀測數(shù)n 為29 次，詳見表1。

選擇GS01-GS14 作為擬合點，用于擬合多項式參數(shù)，將GS15-GS29 作為檢核點，用于檢核多項式擬合的精度，分別采用一階、二階以及三階多項式進行高程異常擬合。

三種擬合模型的高程異常值和擬合殘差如圖1、圖2 所示。

從圖中可知，三階多項式擬合成果出現(xiàn)較大波動，誤差為分米級，最大殘差值達到76 cm，擬合效果較差，而其他兩種多項式擬合波動較小，誤差僅為毫米級，擬合效果良好。對比三種模型的擬合殘差，一階多項式擬合與二階多項式擬合互有優(yōu)劣且比較接近，需對模型的精度進行分析。模型精度分為內符合精度和外符合精度，有研究表明，隨著多項式曲面函數(shù)的擬合階數(shù)增加，內符合精度隨之提高，表明階數(shù)的增加對公共點的擬合精度有所改善，但并非隨著多項式階數(shù)的增加外符合精度也在提高[8]。

表1 某礦區(qū)GPS水準聯(lián)測數(shù)據

通過計算檢核點的外符合精度來評價多項式階數(shù)對高程異常擬合結果的影響，外符合精度的計算公式如下：

式中，v’為檢核點殘差值；r 為檢核點個數(shù)。計算得三種擬合模型的外符合精度如表2 所示：

圖1 三種擬合模型擬合高程異常值

圖2 三種擬合模型擬合殘差

表2 三種擬合模型外符合精度

對比三種擬合模型的外符合精度，三階多項式擬合模型的外符合精度較差且與其他兩種模型相差較大。外符合精度顯示，二階多項式擬合的精度優(yōu)于其他兩種擬合模型。進一步計算和比較三種擬合模型的殘差平方和，如表3 所示：

表3 三種擬合模型的殘差平方和

殘差平方和顯示二階多項式精度較優(yōu)，而三階多項式精度較差，符合外符合精度的成果。再找出三種擬合模型殘差的最大值和最小值并進行比較，如表4 所示，結果顯示二階多項式的最大殘差值和最小殘差值都最優(yōu)。

分析三種擬合模型高程異常擬合成果，三階多項式擬合的波動較大，一階多項式擬合和二階多項式擬合的波動較小。比較三種擬合模型擬合殘差的最值，三階多項式擬合模型的最大殘差值明顯大于其他兩種模型。無論是外符合精度還是擬合殘差的最值，二階多項式擬合模型都表現(xiàn)最優(yōu)，并且有文獻指出，擬合多項式的階數(shù)越低，法方程的系數(shù)矩陣越好[3]，選取較低的多項式階數(shù)，可以避免因系數(shù)矩陣過大而引起法方程病態(tài)，從而一定程度的提高擬合精度。

表4 三種擬合模型擬合殘差最值

3 結論

文中采用一階、二階以及三階多項式對同一高程異常觀測數(shù)據，使用Gauss-Markov 模型對多項式參數(shù)進行解算，利用解算的參數(shù)外推檢核點的高程異常值，并與實測值相比，對不同階數(shù)的多項式擬合結果進行了精度分析。結果表明：高程異常的擬合結果并不隨多項式的階數(shù)提高而提高，相比與一階和三階的擬合結果，二階多項式擬合精度較高，外推檢核的誤差較小，誤差可達毫米級。因此，在實際應用時建議采用二階多項式作為高程異常擬合的函數(shù)模型。