基于改進(jìn)Smith預(yù)估控制器的溫控系統(tǒng)

尚志武，李 成

（天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387）

生化分析儀的溫度是非常復(fù)雜的被控對(duì)象，其物理模型受到加熱對(duì)象材質(zhì)、空氣的熱交換過程和溫度傳感器的動(dòng)態(tài)特性等因素的疊加。實(shí)際系統(tǒng)的溫控模型受著復(fù)雜因素制約，很難確定出準(zhǔn)確的解析解，因此需要通過借助仿真手段模擬溫控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，對(duì)模型進(jìn)行分析，并指導(dǎo)實(shí)際物理模型的參數(shù)設(shè)計(jì)。MATLAB 是一種用于數(shù)值計(jì)算的數(shù)學(xué)工具，其帶有的控制系統(tǒng)的仿真工具能方便地進(jìn)行數(shù)學(xué)分析和控制系統(tǒng)的仿真。在進(jìn)行系統(tǒng)仿真前，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后通過仿真得到系統(tǒng)的控制效果，并對(duì)參數(shù)進(jìn)行修正，以期望獲得更好的控制效果[1]。

實(shí)際加熱系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是由系統(tǒng)的加熱功率和環(huán)境熱量的交換律決定的，在系統(tǒng)環(huán)境不發(fā)生改變的情況下，系統(tǒng)的溫度理論上和系統(tǒng)的加熱功率有關(guān)，并起著決定性作用。根據(jù)溫度控制的一般經(jīng)驗(yàn)，不考慮系統(tǒng)的時(shí)變性，將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)理想化處理，由于加熱方式和溫度系統(tǒng)固有的熱容滯后，溫度控制系統(tǒng)的模型一般可以簡(jiǎn)化為一個(gè)帶有時(shí)滯的一階慣性系統(tǒng)[2-4]。然后分別討論系統(tǒng)在應(yīng)對(duì)魯棒性、時(shí)變性問題上的解決方法。

典型的大時(shí)滯系統(tǒng)是控制系統(tǒng)面臨的困難問題，但時(shí)滯系統(tǒng)廣泛存在于控制系統(tǒng)中。針對(duì)這種大時(shí)滯控制，學(xué)者們提出了一些克服時(shí)滯的控制方法。從有無控制系統(tǒng)的模型來分，可分為有模型方法和無模型方法。有模型方法主要有Smith 預(yù)估控制、滑?？刂坪汪敯艨刂啤o模型控制方法有模糊控制、預(yù)測(cè)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和專家控制等[5-6]。隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，智能控制對(duì)于復(fù)雜問題的解決提供了新方法，它不依賴于被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)具有一定的自適應(yīng)，自學(xué)習(xí)和容錯(cuò)能力。智能控制方法相比較傳統(tǒng)控制方法，設(shè)計(jì)規(guī)則會(huì)更加復(fù)雜，通用性更差。目前來看，將經(jīng)典控制方法和智能控制方法結(jié)合的新方法成為解決目前控制理論難題的主要手段。這種新方法可以吸納智能控制中的強(qiáng)決策能力，又參考了經(jīng)典控制方法中的數(shù)學(xué)模型，會(huì)提升實(shí)際控制的效果。對(duì)控制效果的要求上，生化分析儀的溫控系統(tǒng)的研究目標(biāo)是系統(tǒng)溫升迅速、穩(wěn)定好、并嚴(yán)格限制實(shí)際溫度的超調(diào)量[7-10]。為此，本文使用改進(jìn)的Smith 預(yù)估控制方法對(duì)設(shè)備進(jìn)行溫度控制。

1 Smith預(yù)估控制基本原理

設(shè)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為G（s）=Gp（s）·e-τs，常規(guī)Smith 預(yù)估控制器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 Smith 預(yù)估器的控制框圖Fig.1 Control block diagram of Smith predictor

圖1 中，經(jīng)過Smith 預(yù)估器補(bǔ)償后，此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中：Gc（s）為控制器傳遞函數(shù)；G（s）=Gp（s）·e-τs為被控對(duì)象的傳遞函數(shù)。

此時(shí)的系統(tǒng)不再包含時(shí)滯環(huán)節(jié)，消除了純時(shí)滯環(huán)節(jié)對(duì)控制品質(zhì)的影響，閉環(huán)傳遞函數(shù)分子上的時(shí)滯環(huán)節(jié)只說明輸出比給定延遲時(shí)間為τ。

通過系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以看出，模型準(zhǔn)確的Smith預(yù)估控制具有很好控制效果。通過MATLAB 對(duì)模型進(jìn)行仿真，討論當(dāng)Smith 預(yù)估控制器與系統(tǒng)模型相差較大時(shí)，常規(guī)Smith 預(yù)估控制器的控制效果劣化情況。

2 Smith預(yù)估控制器仿真分析

通過對(duì)酶免疫生化分析進(jìn)行加熱，使用階躍響應(yīng)法[5]實(shí)際測(cè)得該溫控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

式中：K 為參數(shù)增益；T 為時(shí)間常數(shù)；τ 為時(shí)滯時(shí)間。

當(dāng)這3 個(gè)參數(shù)不匹配程度以20%為一幅度單位，上下浮動(dòng)1 到2 個(gè)單位時(shí)，觀察系統(tǒng)的控制效果。Smith 預(yù)估控制器中的3 個(gè)參數(shù)為增益Km、時(shí)間常數(shù)Tm、時(shí)滯時(shí)間 τm。

（1）增益 K 不匹配時(shí)，圖2 給出 K/Km=0.6、0.8、1.0、1.2、1.4 幾種情況下仿真結(jié)果。

圖2 常規(guī)Smith 預(yù)估控制器，增益K 不匹配的仿真結(jié)果Fig.2 Conventional Smith predictor,simulation results of gain K mismatch

如圖2 所示，當(dāng)K/Km=0.6 時(shí)，系統(tǒng)的控制效果變差，主要導(dǎo)致了系統(tǒng)的上升時(shí)間變長(zhǎng)。當(dāng)K/Km=0.8時(shí)，系統(tǒng)控制時(shí)間略有延長(zhǎng)。綜上，當(dāng)K/Km＜1 時(shí)，系統(tǒng)沒有超調(diào)，但系統(tǒng)上升時(shí)間明顯變長(zhǎng)。當(dāng)增益K/Km＞1時(shí)，系統(tǒng)的控制效果變差，出現(xiàn)了幅度較大幅度的超調(diào)，但縮短了上升時(shí)間。

（2）時(shí)間常數(shù)T 不匹配時(shí)，圖3 給出T/Tm= 0.6、0.8、1.0、1.2、1.4 幾種情況下仿真結(jié)果。

由圖3 可見，當(dāng)時(shí)間常數(shù)T/Tm=0.6 時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)了輕微的超調(diào)，但縮短了上升時(shí)間。當(dāng)增益T/Tm=0.8時(shí)，系統(tǒng)沒有出現(xiàn)超調(diào)，但在穩(wěn)定前出現(xiàn)了一次震蕩。當(dāng)時(shí)間常數(shù)T/Tm＞1 時(shí)，系統(tǒng)沒有超調(diào)，但系統(tǒng)上升時(shí)間變長(zhǎng)。

圖3 常規(guī)Smith 預(yù)估控制器，時(shí)間常數(shù)T 不匹配的仿真結(jié)果Fig.3 Conventional Smith predictor,simulation results of time constant T mismatch

（3）時(shí)滯時(shí)間 τ 不匹配時(shí)，圖4 給出 τ/τm=0.6、0.8、1.0、1.2、1.4 下幾種情況下仿真結(jié)果。

圖4 常規(guī)Smith 預(yù)估控制器，時(shí)滯時(shí)間τ 不匹配的仿真結(jié)果Fig.4 Conventional Smith predictor,simulation results of time-delay τ mismatch

由圖4 可見，在20%變化幅度下，時(shí)滯時(shí)間τ 對(duì)系統(tǒng)影響最大，當(dāng)時(shí)滯時(shí)間 τ/τm=0.6 和 1.4 時(shí)，系統(tǒng)的無法穩(wěn)定。因此，對(duì)于參數(shù)不匹配問題，常規(guī)Smith預(yù)估器應(yīng)對(duì)時(shí)滯參數(shù)τ 最敏感。

綜上所述，對(duì)于一般的Smith 預(yù)估控制器的模型參數(shù)不匹配時(shí)，時(shí)滯時(shí)間τ 不匹配對(duì)系統(tǒng)的影響最大，其次是增益K，再次是時(shí)間常數(shù)T。在模型參數(shù)不匹配時(shí)，模型取用較小的增益K 和較大時(shí)間常數(shù)T 時(shí)，系統(tǒng)仍沒有出現(xiàn)超調(diào)，小幅度的延長(zhǎng)了系統(tǒng)的上升時(shí)間。

所以，一般地，Smith 預(yù)估控制器中的增益K 增大5%，時(shí)間常數(shù)T 減小5%，可以使系統(tǒng)具有更好的魯棒性。

本文通過仿真來驗(yàn)證這種假設(shè)。系統(tǒng)模型為：

式中：Y（s）、U（s）分別為輸出量和輸入量的拉普拉斯變換。

設(shè)計(jì)Smith 預(yù)估控制器中的增益K 增大5%，此時(shí)Km=1.05；時(shí)間常數(shù)T 減小5%，此時(shí)Tm=57。圖5為在增益K 不匹配的情況下，2 種控制器的控制效果。

圖5 參數(shù)改進(jìn)的Smith 預(yù)估控制器，增益K 不匹配的仿真結(jié)果Fig.5 Parameter improved Smith predictor,simulation results of parameter K mismatch

根據(jù)仿真的結(jié)果，由圖5 可以觀察出在模型參數(shù)發(fā)生20%誤差的情況下，取用增益K 增大5%，時(shí)間常數(shù)T 減小5%，參數(shù)K 不匹配的情況，系統(tǒng)上升時(shí)間沒有發(fā)生明顯變化，并且沒有出現(xiàn)超調(diào)。但是在沒有采取預(yù)估器參數(shù)優(yōu)化的一組里，K/Km=1.2 的模型誤差下，系統(tǒng)出現(xiàn)了超調(diào)。在控制要求嚴(yán)格限制超調(diào)的情況下，改進(jìn)參數(shù)設(shè)計(jì)的控制器比原有的控制方案控制效果更好。改進(jìn)參數(shù)的Smith 預(yù)估控制器增強(qiáng)了系統(tǒng)魯棒性，在應(yīng)對(duì)同樣參數(shù)不匹配的情況下有了更好的對(duì)超調(diào)控制效果。

圖6 為在時(shí)間常數(shù)τ 不匹配的情況下，2 種控制器的控制效果。

圖6 參數(shù)改進(jìn)的Smith 預(yù)估控制器，參數(shù)T 不匹配的仿真結(jié)果Fig.6 Parameter improved Smith predictor,simulation results of parameter T mismatch

圖6 表明系統(tǒng)上升時(shí)間沒有發(fā)生明顯變化，并且沒有出現(xiàn)超調(diào)。

給出在Km=1.05，Tm=57，時(shí)滯參數(shù)τ 不匹配的影響。圖7 為在時(shí)滯參數(shù)τ 不匹配的情況下，2 種控制器的控制效果。

圖7 表明：給出在 Km=1.05，Tm=57 的情況下，時(shí)滯參數(shù)τ 不匹配的控制上的影響并沒有任何優(yōu)化，也不會(huì)使系統(tǒng)的控制品質(zhì)變差。所以對(duì)與τ 不匹配時(shí)沒有優(yōu)于一般Smith 預(yù)估器的控制效果。

根據(jù)以上仿真結(jié)果的分析，可以得出系統(tǒng)控制的穩(wěn)定性依賴于預(yù)估模型的精確性。為了解決這個(gè)問題，很多學(xué)者提出了基于常規(guī)Smith 預(yù)估控制器的各種改進(jìn)方法，為了提高系統(tǒng)控制的準(zhǔn)確性，考慮降低對(duì)系統(tǒng)模型精確性的依賴。例如Hang 提出的改進(jìn)Smith預(yù)估器，是對(duì)Smith 預(yù)估系統(tǒng)的反饋傳遞函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，降低了對(duì)模型的敏感度以增強(qiáng)它的魯棒性和穩(wěn)定性[7]。但這種方法對(duì)系統(tǒng)增益參數(shù)K 不匹配時(shí)，系統(tǒng)的控制效果會(huì)劣化。這種方法是傳統(tǒng)方法的改進(jìn)。目前通過智能控制方法和傳統(tǒng)控制方法相結(jié)合的方式是控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)。智能控制方法能夠有效的解決對(duì)模型的依賴性，例如模糊控制、專家系統(tǒng)等等。智能控制方法通過對(duì)系統(tǒng)模型的理解，預(yù)先規(guī)劃好系統(tǒng)的控制方法，是一種主動(dòng)控制的方法。將智能控制方法中的提前理解模型的方法應(yīng)用到Smith 預(yù)估控制器中，以期望預(yù)估控制器能夠更好的貼近于系統(tǒng)模型，取得更好的扣工資效果。

圖7 參數(shù)改進(jìn)的Smith 預(yù)估控制器，參數(shù)τ 不匹配的仿真結(jié)果Fig.7 Parameter improved Smith predictor,simulation results of parameter τ mismatch

3 改進(jìn)的Smith預(yù)估控制器

基于Smith 預(yù)估器的基礎(chǔ)上，使用在線系統(tǒng)辨識(shí)方法對(duì)預(yù)估模型的參數(shù)進(jìn)行分段整定的方法對(duì)預(yù)估器中的模型參數(shù)進(jìn)行在線修正是一種解決系統(tǒng)時(shí)變性的有效方法。這種改進(jìn)方法一方面可以較好的應(yīng)對(duì)系統(tǒng)模型參數(shù)的微小誤差，另一方面可以應(yīng)對(duì)系統(tǒng)模型的時(shí)變性，增強(qiáng)了系統(tǒng)魯棒性。由于在線系統(tǒng)辨識(shí)使系統(tǒng)具有更好預(yù)估器模型更好符合系統(tǒng)本身的模型，提高控制器控制力。

在仿真結(jié)果中，可以看出時(shí)間常數(shù)T 對(duì)系統(tǒng)的影響較小，而系統(tǒng)的增益和時(shí)滯常數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響較大。本文首先考慮對(duì)系統(tǒng)的時(shí)滯常數(shù)τ 進(jìn)行在線系統(tǒng)辨識(shí)。

對(duì)系統(tǒng)的時(shí)滯常數(shù)τ 進(jìn)行辨識(shí)的方法有很多[11-14]：最小二乘類辨識(shí)方法（如遺忘因子最小二乘算法、卡爾曼濾波算法、有限數(shù)據(jù)窗最小二乘算法等），隨機(jī)梯度類辨識(shí)方法（如遺忘梯度算法、廣義投影算法等），智能類辨識(shí)方法（遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）。

設(shè)系統(tǒng)的時(shí)滯對(duì)象的傳遞函數(shù)為：

式中：X（s）為系統(tǒng)輸入；Y（s）為系統(tǒng)輸出；G（s）e-τs為含時(shí)滯的被控對(duì)象，其中G（s）為系統(tǒng)不包含時(shí)滯部分的傳遞函數(shù)；τ 為系統(tǒng)的滯后時(shí)間，即待辨識(shí)的參數(shù)。

2 個(gè)不同的隨機(jī)信號(hào)的互相關(guān)聯(lián)函數(shù)的定義式為：

它描述了2 個(gè)不同的隨機(jī)過程在任意2 個(gè)時(shí)刻值的相關(guān)程度。當(dāng)觀察時(shí)間T 的長(zhǎng)度有限時(shí)，可以通過如下2 個(gè)公式得到2 個(gè)信號(hào)互相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值：

式中：x（t）為輸入函數(shù)；y（t）為輸出函數(shù)。

將連續(xù)時(shí)間信號(hào)等用時(shí)間間隔采樣，得到離散的時(shí)間序列。則離散時(shí)間互相關(guān)函數(shù)估計(jì)值的表達(dá)式：

式中：x（i）為離散化后的輸入函數(shù)；y（i）為離散化后的輸出函數(shù)。其中，N 為使用采樣序列的數(shù)目，前提條件是整個(gè)采樣序列的數(shù)目，也就是觀察時(shí)間要大于N。

在被辨識(shí)的系統(tǒng)中，通過輸入輸出數(shù)據(jù)計(jì)算的值，找出的最大值，則與最大值相對(duì)應(yīng)的就是被辨識(shí)系統(tǒng)中的時(shí)滯參數(shù)估計(jì)值。即

該辨識(shí)算法一方面采用互相關(guān)函數(shù)來辨識(shí)滯后時(shí)間，并引進(jìn)了快速傅里葉變換及其反變換，提高了計(jì)算效率；另一方面，在變參數(shù)增量估計(jì)遞推最小二乘算法估計(jì)時(shí)變參數(shù)的基礎(chǔ)上，引入誤差級(jí)序列，改善了時(shí)變參數(shù)的辨識(shí)精度。這種方法可以在較短時(shí)間內(nèi)對(duì)時(shí)滯時(shí)間參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，滿足了系統(tǒng)在線辨識(shí)的需要。

采用階躍響應(yīng)方法方法對(duì)增益K 和T 進(jìn)行估計(jì)。研究表明，如果模型失配是程度大，且當(dāng)增益誤差較大時(shí)，應(yīng)該予以修正，否則系統(tǒng)將會(huì)不穩(wěn)定。本文在設(shè)計(jì)控制器時(shí)引入了5%的設(shè)計(jì)誤差，目的是使系統(tǒng)具有更好的魯棒性。即在Smith 預(yù)估控制器參數(shù)上Km=1.05K，Tm=0.95T。圖8 為改進(jìn)Smith 預(yù)估控制器控制框圖。

圖8 改進(jìn)Smith 預(yù)估控制器控制框圖Fig.8 Control block diagram of improves Smith predictive controller

根據(jù)確定的改進(jìn)Smith 預(yù)估控制器最終模型。通過理論分析了其可行性。最后，通過就是計(jì)算機(jī)仿真對(duì)該控制器進(jìn)行仿真。采用仿真的模型為一階慣性加純時(shí)滯系統(tǒng)：

式中：Y（s）、U（s）分別為輸出量和輸入量的拉普拉斯變換。

圖9 為在參數(shù)K 增加和減少的情況下，2 種控制器的控制效果。

圖9 參數(shù)K 增加和減少的改進(jìn)Smith 預(yù)估控制器仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results of improved Smith predictive controller with K increase and decrease

圖10 為在參數(shù)T 增加和減少的情況下，2 種控制器的控制效果。

圖10 參數(shù)T 增加和減少的改進(jìn)Smith 仿真結(jié)果比較Fig.10 Simulation results of improved Smith predictive controller with T increase and decrease

實(shí)際上，改進(jìn)的Smith 預(yù)估控制器實(shí)現(xiàn)了模型中參數(shù)的隨時(shí)間改變。為了解決時(shí)滯參數(shù)的變化問題，根據(jù)系統(tǒng)模型完全匹配時(shí)預(yù)估一個(gè)控制時(shí)間，并依據(jù)此來確定系統(tǒng)采樣時(shí)間。這樣，一方面可以有效的避免使用采樣控制導(dǎo)致的系統(tǒng)的不穩(wěn)定性和常規(guī)Smith 預(yù)估控制導(dǎo)致的模型不匹配導(dǎo)致的系統(tǒng)不穩(wěn)定性[15-19]。

將對(duì)象的參數(shù)分別增加和減少20%和未進(jìn)行改進(jìn)的Smith 預(yù)估器進(jìn)行控制，比較其控制效果。

圖11 為在參數(shù)τ 增加和減少的情況下，2 種控制器的控制效果。

通過仿真實(shí)驗(yàn)可知，改進(jìn)的Smith 預(yù)估控制器在應(yīng)對(duì)模型改變時(shí)有較好的控制效果。對(duì)于時(shí)滯時(shí)變系統(tǒng)模型的控制中，改進(jìn)的Smith 預(yù)估控制器在控制系統(tǒng)的綜合指標(biāo)和系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面都是遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于常規(guī)Smith 預(yù)估控制器的。

將實(shí)際設(shè)計(jì)的控制器用于實(shí)際溫控系統(tǒng)，得出系統(tǒng)的控制效果。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)整定，取用Kp=4，Ki=0.07，Kd=0.01，Km=1.05，Tm=57。在系統(tǒng)許用超調(diào)的情況下盡量的縮短控制時(shí)間，即降低系統(tǒng)的上升時(shí)間Tr。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖12 所示。

圖11 參數(shù)τ 增加和減少改進(jìn)Smith 仿真結(jié)果比較Fig.11 Comparisons of improved Smith simulation results with τ increase and decrease

圖12 使用改進(jìn)Smith 預(yù)估控制器的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.12 Experimental results using an improved Smith predictive controller

由圖12 可知，在37 ℃的設(shè)定溫度下，上升時(shí)間為tr=27.36 s，峰值時(shí)間 tp=210.12 s，超調(diào) σ =0.35，超調(diào)量控制在0.95%，系統(tǒng)穩(wěn)定后無震蕩，穩(wěn)態(tài)誤差精度小于0.5%，滿足儀器的控制精度、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間的要求。以上對(duì)Smith 預(yù)估控制器參數(shù)的設(shè)計(jì)可以作為改進(jìn)Smith 預(yù)估控制器的參照。改進(jìn)Smith 預(yù)估控制器是一種基于在線參數(shù)識(shí)別修正的控制器，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證有較好的控制效果。

4 結(jié) 論

（1）溫度控制系統(tǒng)中通過改進(jìn)的Smith 算法，提高了系統(tǒng)控制效果，改善溫度控制的精度，嚴(yán)格限制了系統(tǒng)的超調(diào)量；根據(jù)系統(tǒng)的時(shí)變性，融合了分段時(shí)滯參數(shù)預(yù)測(cè)提高了系統(tǒng)的魯棒性，提高了溫控系統(tǒng)控制精度、降低了系統(tǒng)的超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間。將一種基于在線參數(shù)識(shí)別的控制器應(yīng)用于溫度控制系統(tǒng)，提高了生化分析的工作效率。

（2）通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該溫控系統(tǒng)控制方法的有效性。實(shí)驗(yàn)證明，基于在線參數(shù)識(shí)別的控制器應(yīng)用于溫度控制系統(tǒng)能夠有效的對(duì)系統(tǒng)的溫度進(jìn)行控制，最終在37 ℃的設(shè)定溫度下，上升時(shí)間為tr=27.36 s，峰值時(shí)間tp= 210.12 s，超調(diào)σ = 0.35，超調(diào)量控制在0.95%，系統(tǒng)穩(wěn)定后無震蕩，穩(wěn)態(tài)誤差精度小于0.5%，滿足儀器的控制精度、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間的要求，很好地滿足了實(shí)用化的需求，對(duì)生化分析設(shè)備的研制具有一定指導(dǎo)意義。