一個(gè)不等式猜想的深入探討

湖南省綏寧縣瓦屋唐鎮(zhèn)瓦屋梅坪小學(xué)

從啟發(fā)式教學(xué)模式角度，對(duì)一個(gè)熟知的數(shù)學(xué)命題，引導(dǎo)學(xué)生做出大膽“類(lèi)比、猜想”，并啟發(fā)學(xué)生分析證明思路，進(jìn)行論證，無(wú)疑是值得贊揚(yáng)的教研探討模式之一.許多數(shù)學(xué)教師在教學(xué)及教學(xué)研究中提出這種“類(lèi)比、猜想”，使用“大膽猜想、細(xì)心求證”方法以鍛煉和提高學(xué)生創(chuàng)新思維能力.文獻(xiàn)[1-5]對(duì)2009年《數(shù)學(xué)通報(bào)》第十期問(wèn)題1818 進(jìn)行了研究.針對(duì)問(wèn)題1818，施剛良老師等[1]提出如下類(lèi)比猜想.

猜 想1[1]設(shè)i ＞0,i=1,2,··· ,n,n ∈?,n ≥則

猜想2[1]設(shè)k,n ∈N,ai ＞0,i=1,2,··· ,n,n ≥3,k ≥2.則

這時(shí)猜想2中的不等式轉(zhuǎn)化為，

近年來(lái)，作者未見(jiàn)有關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道解決這兩個(gè)猜想.本文的目的是證明在一些情況這個(gè)猜想成立，而在另一些情況猜想不成立.

注記1由于(2)是(1)的推廣，因此猜想2是猜想1的推廣.

注記2當(dāng)n=3時(shí)，文[1],[2],[4]已經(jīng)證明(2)成立，文[3]給出證明了.當(dāng)n=3時(shí)(2)的一個(gè)推廣形式.我們注意到當(dāng)n ≥4,k=2時(shí)，(2)不成立，所以n ≥4,k ≥2時(shí)猜想2 不成立.事實(shí)上，當(dāng)mi=t ＞且t →+∞時(shí)，我們有

故當(dāng)mi ＞0(i=1,2,··· ,n-1)很大，而mn ＞0 很小時(shí)就有

故(2)當(dāng)n ≥4,k=2時(shí)不成立.例如取n=4,m1=m2=m3=10,m4=0.001，我們有m1m2m3m4=1 但是

類(lèi)似地，當(dāng)k ≥1,n ＞k+1時(shí)，我們有

因此當(dāng)n ≥k+2,k ≥1時(shí)(2)不成立，所以此時(shí)猜想2也不成立.

定理1設(shè)n,k為整數(shù)，n ≥k+2,k ≥2,mi ＞0,i=則

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)m1→0,mi →+∞,i=2,··· ,n.

證明容易知道有下確界α.所以對(duì)任意

于是對(duì)任意t ＞1 有從而

取t →+∞則立得α ≤1.

當(dāng)n ≥k+2時(shí)，我們考慮

其中被減數(shù)中有n(k+1)n-1項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)后常數(shù)項(xiàng)是n，其他項(xiàng)為

共計(jì)

其中減數(shù)中有(k+1)n項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)后常數(shù)項(xiàng)為1，其他項(xiàng)為

推出(3) 成立.容易看到(3)中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)m1→0,mi →+∞,i=2,...,n定理證明完畢.

定理2設(shè)n,k為整數(shù)，2≥n ≥k+1,2≥k,mi ＞則

證明容易知道有下確界α.所以對(duì)任意

取t →0 則立得

當(dāng)2≤n ≤k+1時(shí)，我們考慮

其中被減數(shù)中有n(k+1)n項(xiàng)，合并同類(lèi)項(xiàng)后常數(shù)項(xiàng)是n(k+1)，其他項(xiàng)為項(xiàng).

這樣，被減數(shù)減去減數(shù)為

推出(4)成立.容易看到(4)中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)xi=1,i=1,2,···,n.定理證明完畢.

定理3設(shè)x,y ＞0,xy=1,k ≥1.則

證明作輔助函數(shù)

容易計(jì)算當(dāng)x ∈(0,1)時(shí)，有

定理4設(shè)n ≤2,k ≤1為整數(shù)，xi ＞0,i=則

證明由于

只需證明

容易推出

而后者顯然成立.又

所以(6)中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)xi →0,i=1,2,··· ,n -1,xn →+∞.定理證明完畢.

定理5設(shè)n,k為整數(shù)，2≤n ≤k+1,k ≥2,ai ＞0,i=1,2,··· ,n.則

證明取則于是(7)等價(jià)于

由定理1，定理2和定理4 結(jié)論得本定理不等式.定理證明完畢.