深入解讀高中教材中的線性相關系數(shù)

廣東省中山市實驗中學

高中教材中對相關系數(shù)的介紹比較少，學生和老師對它的理解也不夠深入，只是知道它怎么用，但是不知道它為什么可以這樣用.可謂知其然但不知其所以然.所以本文借助教材和其它相關資料，對相關系數(shù)的有關知識做個深入的解讀，使大家更全面和徹底的理解它，從而更好的加以應用.

1 什么是相關系數(shù)

在人教A版《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修》中對相關系數(shù)在第92頁“閱讀與思考”部分的第一段中有這樣的描述：“我們知道，兩個變量x和y正(負)相關時，它們就有相同(反)的變化趨勢，即當x由小變大時，相應的y有由小(大)變大(小)的趨勢，因此可以用回歸直線來描述這種關系.與此相關的一個問題是：如何描述x和y之間的這種線性關系的強弱?”.顯而易見，教材中這句話表明了相關系數(shù)引入的必要性，同時也說明了引入相關系數(shù)的主要作用就是判斷兩個變量線性關系的強弱.

接著在第二段中寫到：“統(tǒng)計中用相關系數(shù)r來衡量兩個變量之間線性關系的強弱.若相應于變量x的取值xi，變量y的觀測值為yi(1≤i ≤n)，則兩個變量的相關系數(shù)的計算公式為：

從而順理成章的給出了相關系數(shù)的計算公式.但是個人覺得，這個公式的出現(xiàn)有點突然，很多師生對它的理解僅僅停留在會用的階段，至于它怎么來的?分子分母的意義是什么?卻知之甚少.

2 從幾何直觀上理解兩個變量正(負)相關以及其相關性的強(弱)

圖1

圖2

圖3

圖4

(1)圖1，圖2中樣本點都是帶狀分布，而且數(shù)據(jù)好像集中在某一條線附近，反映了變量x和y之間很強的線性相關關系.而圖3，圖4中樣本點分布無明顯規(guī)律，雜亂無章，所以兩個變量的線性相關關系很弱.

(2)圖1中這些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，所以是正相關.圖2中這些點散布在從左上角到右下角的區(qū)域，所以是負相關.

另外上面的每個圖中都對應了相關系數(shù)r的一個值，或大或小，或正或負.這個值怎么解讀呢?教材中介紹說：“當r為正時，表明變量x和y正相關；當r為負時，表明變量x和y負相關”.另外教材還寫到：“統(tǒng)計學認為，對于變量x,y，如果r ∈[-1,-0.75]，那么負相關很強；如果r ∈[0.75,1]，那么正相關很強”.

這里我們很容易產(chǎn)生個疑問，為什么|r| →1時相關性越強呢?但是教材中卻沒有介紹.

3 如何理性的理解正相關，負相關與的符號的關系

下面我們從公式本身出發(fā)嘗試解釋正負相關和的符號之間的關系.

(1)正相關：事實上，從樣本的總體角度來看，對于每一個數(shù)對(xi,yi)，如果中求和項大部分是正數(shù)的話，也可以理解為xi和yi同時同方向偏離各自的平均值，即使有少數(shù)樣本點不同向偏離，如果樣本點足夠多也不會影響即r ＞0.所以我們說變量x,y為正相關.

(2)負相關：從變化趨勢上來看，對于每一個數(shù)對(xi,yi)，如果中求和項大部分是負數(shù)的話，也可以理解為當xi大于其均值時，yi卻小于其均值.也就是二者反方向偏離各自的平均值，即使有少數(shù)同向偏離，如果樣本點足夠多也不會影響解為xi和yi同時同方向偏離各自的平均值，即使有少數(shù)樣本點不同向偏離，如果樣本點足夠多也不會影響即r ＜0.所以我們說變量x,y為負相關.

(3)不相關：如果樣本中同方向偏離的和反方向偏離的樣本點的個數(shù)相當時，此時解為xi和yi同時同方向偏離各自的平均值，即使有少數(shù)樣本點不同向偏離，如果樣本點足夠多也不會影響的值接近于零.我們認為二者不相關或者相關關系很弱.

4 如何理性理解相關關系的強弱和的大小關系

筆者查閱了相關資料有兩種解釋方式比較容易使高中師生接受.

(1)從柯西不等式的角度解讀

從r的計算公式可以看出，分子和分母剛好與柯西不等式的兩端相似.即其中ai,bi ∈R，并且當且僅當bi=0或存在一個數(shù)k，使得ai=kbi時等號成立.

(2)從最小二乘法的角度解讀

在教材《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-3》第80頁中，為了讓所有樣本點離直線的“整體距離”的值最小，構(gòu)造了函數(shù)

從而可知：

5 相關系數(shù)r和相關指數(shù)R2的關系

(1)相關指數(shù)R2的介紹

《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-3》中介紹說：

(2)相關系數(shù)r和相關指數(shù)R2區(qū)別和聯(lián)系.