正方形中的那些事*

廣東省深圳實驗學(xué)校初中部()

1 正方形中的垂直結(jié)構(gòu)

例1 如圖1，已知正方形ABCD中，點E,F,G,H分別在邊AB,CD,AD,BC上，若EF ⊥ GH，判 斷EF與GH的數(shù)量關(guān)系.

圖1

教學(xué)片段

教師：正方形給我們的第一印象是“方正”，這種感覺是由正方形中的“垂直結(jié)構(gòu)”所保證的.正方形的對角線不僅有“互相垂直”的位置關(guān)系，還有“相等”的數(shù)量關(guān)系，那么對于一般的垂直結(jié)構(gòu)，有類似的結(jié)論嗎?

圖2

生1：可以過點G作GM ⊥BC，過點F作FN ⊥ AB，證明ΔGMH∽= ΔFNE.(圖2)

教師：很好，還有別的證法嗎？

生2：還可以過點D作DP//GH，過點C作CQ//FE，證明ΔDCP=∽ ΔCBQ.(圖3)

圖3

教師：通過“作垂直”或“作平行”的方法，構(gòu)造全等三角形，得到結(jié)論：兩條互相垂直的直線被正方形對邊截得的線段長相等.

例2如圖4，將邊長為12的正方形ABCD折疊，使得B點落在邊AD上的P點，若折痕_EF的長為13，求線段PD的長.

圖4

解析識別折疊問題中的垂直結(jié)構(gòu)：PB ⊥EF，得到PB=EF=13,則AP=5,故PD=7.

圖5

方法提煉還可以將正方形中的垂直結(jié)構(gòu)推廣到矩形(圖5)中，由ΔGMH∽ΔFNE，得：

2 正方形中的45°

例3如圖6，正方形ABCD邊長為2，點E,F,G,H分別是在邊AB,CD,AD,BC上，且EF與GH的夾角為45°，若EF=求GH的長.

圖6

教學(xué)片段

教師：除了90°角，正方形常常還與45°角相結(jié)合，如：對角線平分一組對角、半角模型等.

生3：仿照例1的作法，將線段EF和GH平移到點B處(即過點B作BM//EF,BN//HG)，則：∠MBN=45°,可構(gòu)造半角模型.(圖7)

圖7

例4(例2 變式)如圖4，將邊長為12的正方形ABCD折疊，使得B點落在邊AD上的P點.

教學(xué)片段

教師：我們回到前面的折疊問題，在這個例題中，存在45°角嗎？提出你的猜想.

生4：連接BH,猜想：∠PBH=45°.(圖8)

圖8

教師：如何證明呢？小組成員互相討論.

生5：小組討論得：先證PB平分∠APH,再作BM ⊥PH,證明：ΔBAP∽= ΔBMP,ΔBCH∽= ΔBMH.

解析因為∠EPB=∠EBP,AD//BC.所以∠BPH=∠PBC=∠APB.易證：ΔBAP∽= ΔBMP(AAS)，ΔBCH∽= ΔBMH(HL).所以45°.

教師：除了∠PBH為定值外，題目中還有“變化中的不變量”嗎？

生6：ΔPDH的周長始終為定值24.

方法提煉(半角模型)在正方形ABCD中，若∠EBF=45°，則有：1○EF=AE+CF； 2○EB平分∠AEF； 3○FB平分∠EFC等結(jié)論.(圖9)

圖9

3 正方形中的√

例5 如圖10，正方形ABCD中，點E是BA延長線上一點，連接DE，點F在DE上且DF=DC，DG ⊥CF,DH平分∠ADE交CF于點H，連接BH.(1)若DG=2,求DH的長；(2)求證：

圖10

教學(xué)片段

生7：有！∠GDH=∠GDF-45°,故：DH=

圖11

生8：利用隱藏的45°角∠DHG,將CH作為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形.

解析作CM ⊥ CH交HD延 長 線于M，證明：ΔCHB∽= ΔCMD.所以由：MD+DH=MH,即：

圖12

方法提煉涉及正方形中的問題，往往通過其中隱藏的45°角，構(gòu)造等腰直角三角形，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)變換、一線三等角”等策略解決問題.(圖12)

4 正方形中的旋轉(zhuǎn)變換

例6如圖13，正方形ABCD中，對角線AC,BD相交于點E，以點E為頂點作正方形EFGH，使點A,D分別在EH和EF上，連接BH,AF.(1)判斷并說明BH和AF的數(shù)量關(guān)系；(2) 如圖14，將正方形EFGH 繞點E順時針方向旋轉(zhuǎn)θ(0° ≤θ ≤360°)，設(shè)AB=a,EH=b,且a ＜2b.連接AG，設(shè)AG=x，直接寫出x的取值范圍；若四邊形ABDH是平行四邊形，補全圖形，并求a與b的數(shù)量關(guān)系.

圖13

圖14

圖15

教學(xué)片段

生9：對于 (1)利用正方形的性質(zhì)，證明ΔEBH∽= ΔEAF，即可得到：BH=AF.

生10：連接EG，則EG的長度始終不變.

生11：如圖15，補全圖形，由四邊形ABDH是平行四邊形，則AH始終等于BD.

解析(2)：在ΔAEG中，利用三角形的三邊關(guān)系，得：：由AH=BD，即得：

方法提煉正方形有天然的“等線段，共頂點”，為構(gòu)造旋轉(zhuǎn)創(chuàng)造了條件，對于這樣的動態(tài)類問題，往往抓住“變化中的不變量”，以不變應(yīng)萬變.

5 正方形中的特殊四邊形

例7如圖16，正方形ABCD中，E是CF上一點，四邊形BEFD是菱形，求∠BEF的度數(shù).

教學(xué)片段

教師：小組合作，充分挖掘正方形與菱形的性質(zhì)，提供多樣性的解法.

生12：(法1) 如圖16，連接AC交BD于點O，作EG ⊥BD.則：2EG=2CO=AC=BD=BE，而EG ⊥BD,即：∠EBG=30°,故：∠BEF=150°.

圖16

生13：(法2) 如圖17，延長DC使得CM=CD，連接BM,EM，延長BC交EM于點N.易證：∠ECB=∠ECM=135°,則ΔECB∽= ΔECM.則EB=EM=BD=BM,即 ΔEBM為 等 邊 三 角 形，故：∠BEC=30°，故：∠BEF=150°.

圖17

生14：(法3)如圖18，以BC為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形ΔBPC，取BE中點Q,連接PQ.因為∠PCF=45°+90°+45°=180°,所以P,C,F三點共線，則BE=2PQ，又 因為BD=所以BE=BD=2BP,故：BQ=PQ=BP,即ΔBPQ為等邊三角形，故：∠BEF=60°+90°=150°.

圖18

……還有更多解法，進(jìn)一步延續(xù)到了課外.

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以理解、探究、問題解決為價值取向，追求數(shù)學(xué)素養(yǎng)的達(dá)成，并促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.四邊形的復(fù)習(xí)課一直是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點，而既有一般平行四邊形的性質(zhì)，又兼具菱形、矩形性質(zhì)的“正方形”，更是中考的重中之重，尤其需要教師站在系統(tǒng)的高度，追根溯源，引發(fā)學(xué)生主動體驗、探索、思考、提煉，真正提高學(xué)生的思維水平和問題解決能力.