動(dòng)中分析，靜中求解
——談中考動(dòng)態(tài)幾何壓軸題的解題策略

廣東省惠州市第三中學(xué)

幾何直觀與推理是“圖形與幾何”學(xué)習(xí)中的兩個(gè)重要方面，在圖形運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中體驗(yàn)、認(rèn)知、探究數(shù)學(xué)，是對(duì)幾何直觀與推理的綜合考查，解決動(dòng)態(tài)幾何題型正是學(xué)生全方位能力的集中體現(xiàn).動(dòng)態(tài)幾何題型已成為廣東中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型，縱觀近十年廣東中考數(shù)學(xué)試題，可以發(fā)現(xiàn)壓軸題均以動(dòng)態(tài)題型出現(xiàn)，由些可見(jiàn)，要想在中考數(shù)學(xué)中脫穎而出，掌握這類(lèi)題型的一般解題規(guī)律與方法顯得十分重要.

動(dòng)態(tài)幾何題型通常分為三種類(lèi)型：點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題、線動(dòng)問(wèn)題、面動(dòng)問(wèn)題，它所考查的知識(shí)面特別廣，對(duì)學(xué)生綜合能力的要求比較高，所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想主要有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想等.解決這類(lèi)題型，要充分發(fā)揮對(duì)動(dòng)態(tài)圖形的想象能力，根據(jù)點(diǎn)，線或面的運(yùn)動(dòng)與圖形的變化過(guò)程，對(duì)其產(chǎn)生的不同結(jié)果進(jìn)行分析求解.本文以近幾年廣東中考題為例，談?wù)剮缀蝿?dòng)態(tài)題型的分析思路與解題策略.

1 動(dòng)中取靜

由于動(dòng)態(tài)幾何題型中圖形的不確定性，往往會(huì)給解題帶來(lái)不少的困擾，如果只會(huì)從運(yùn)動(dòng)的角度進(jìn)行思考，那么解題思路就會(huì)存在各種的疑惑，這對(duì)分析與解決此類(lèi)問(wèn)題都非常不利.一般來(lái)說(shuō)，靜止的圖形較易辨識(shí)，因此，我們?cè)诮鉀Q動(dòng)態(tài)問(wèn)題時(shí)若能根據(jù)所提問(wèn)題中滿(mǎn)足某種特定條件的情況提取出來(lái)，將圖形和相關(guān)幾何量都“靜”下來(lái)，抓住變化中的“不變”，這樣就可以縮小解題思路范圍，排除“動(dòng)態(tài)”干擾，鎖定目標(biāo)，在靜態(tài)中求解，從而輕松得出相應(yīng)結(jié)果.

例1(2017年廣東中考第25題)如題25 圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別是A(0,2)和點(diǎn)D是對(duì)角線AC上一 動(dòng)點(diǎn)(不與A,C重合)，連結(jié)BD,作DE ⊥DB，交x軸于點(diǎn)E，以線段DE,DB為鄰邊作矩形BDEF.

(1)填空：點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)____；

(2)是否存在這樣的點(diǎn)D，使得ΔDEC是等腰三角形?若存在，請(qǐng)求出AD的長(zhǎng)度； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

解讀本題是屬于點(diǎn)動(dòng)的問(wèn)題，題中的問(wèn)題(1)是在圖形靜止的情況下求點(diǎn)B的坐標(biāo)，這跟大多數(shù)動(dòng)態(tài)題型的第一個(gè)問(wèn)題一樣，比較基礎(chǔ)，較易得分.問(wèn)題(2)就是屬于運(yùn)動(dòng)情況下討論等腰三角形ΔDEC的存在問(wèn)題，通過(guò)充分考慮點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)規(guī)律后，我們是可以判斷滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D是存在的，當(dāng)然還要分類(lèi)：如果ΔDEC是等腰三角形，那么有1○DE=EC；2○DE=DC；3○DC=CE三種情況.通過(guò)分析可知，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有充分的理由可以說(shuō)明DE與DC始終不會(huì)相等，由此得出成立，這時(shí)我們就要將點(diǎn)D固定在兩種情形，即如圖(1)和圖(2)所示，如此就將動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化在靜止?fàn)顟B(tài)下求解，目標(biāo)明確，便于解決問(wèn)題.具體過(guò)程如下：

因?yàn)椤螪EC ＞90°,均不符合題意，應(yīng)舍去.

綜上所述：AD的值為2或者ΔDEC為等腰三角形.

2 數(shù)學(xué)建模

圖形的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，必然會(huì)產(chǎn)生不同的變量對(duì)應(yīng)關(guān)系，函數(shù)的核心就是運(yùn)動(dòng)變化，它是描述變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的模型.近十年的廣東中考數(shù)學(xué)題中，幾乎每年的壓軸題都有考查圖形運(yùn)動(dòng)前提下的最值問(wèn)題，最值是由不同變量的值對(duì)應(yīng)而產(chǎn)生的，這就需要建立函數(shù)的模型進(jìn)行求解，即根據(jù)題意所涉及的等量關(guān)系，應(yīng)用方程思想，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

例2以2017年廣東中考數(shù)學(xué)25題的問(wèn)題(3)為例(題同上)：(3)求證：設(shè)AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(可利用的結(jié)論)，并求出的最小值.

解讀本小題中矩形BDEF的面積是隨著AD的變化而變化的，說(shuō)明矩形BDEF的面積y與AD的長(zhǎng)存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，題目也明確要求函數(shù)關(guān)系，通常情況下最值問(wèn)題均要用到二次函數(shù)模型，因此可判斷y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式屬于二次函數(shù).解法上可以根據(jù)的結(jié)論和勾股定理等知識(shí)，將矩形BDEF中相鄰兩邊DE和DB用含x的式子表示出來(lái)，再由矩形面積公式即可得出結(jié)果.過(guò)程如下：

圖(3)

所以，y=BD·DE=

當(dāng)x=3時(shí)，y取到最小值，最小值為3.

3 分類(lèi)討論

在動(dòng)態(tài)幾何題中，由于點(diǎn)，線或面的運(yùn)動(dòng)，使得圖形也發(fā)生不一樣的變化，某些問(wèn)題的結(jié)果也就存在不確定因素，這就需要將可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分類(lèi)討論，逐一列舉，才能得出全面的答案.從近幾年廣東中考數(shù)學(xué)壓軸題所考查的數(shù)學(xué)思想來(lái)看，分類(lèi)思想是必考的核心思想，可以說(shuō)分類(lèi)討論是解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題的常用思想方法.2017年廣東中考數(shù)學(xué)25題的問(wèn)題(2)已有體現(xiàn)，下面再舉一例.

例3(2014年廣東中考25題) 如圖(4)，題25-1圖，在ΔABC中，AB=AC，AD ⊥BC交BC于D,BC=10cm,AD=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m 從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB,AC,AD于E,F,H,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t ＞0).

(1)當(dāng)t=2時(shí)，連接DE,DF,求證：四邊形AEDF為菱形；

(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所形成的ΔPEF的面積存在最大值，當(dāng)ΔPEF的面積最大時(shí)，求線段BP的長(zhǎng)；

(3)是否存在某一時(shí)刻t，使ΔPEF為直角三角形? 若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖(4)題25-1

解讀本題是屬于點(diǎn)動(dòng)與線動(dòng)結(jié)合的題型，在問(wèn)題(3)中，問(wèn)是否存在某一時(shí)刻t，使ΔPEF為直角三角形，從直角三角形的特征與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡可以判斷：使ΔPEF為直角三角形的情況有三種，分別是∠PEF=90°,∠EFP=90°,∠EPF=90°.所以解決問(wèn)題(3)時(shí)，就需要分類(lèi)討論，根據(jù)以上三種可能情況進(jìn)行分析與求解，當(dāng)中將用到相似三角形，三角函數(shù)，勾股定理的逆定理等知識(shí).具體過(guò)程如下：

(3)如圖(5)，過(guò)E,F分別作EN ⊥ BC于N,FM ⊥ BC于M，易知EF=MN=由AB=AC可 知BN=CM=在RtΔACD和RtΔFCM中，由即解得FM=EN=2t，又由BP=3t知CP=10-3t,則

圖(5)25題問(wèn)題(3)

分三種情況討論：

4 界點(diǎn)確定

在分類(lèi)討論的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，為了能得到更加準(zhǔn)確與全面的答案，有時(shí)需要根據(jù)圖形運(yùn)動(dòng)的距離與位置進(jìn)行界定，從而得出針對(duì)不同問(wèn)題的對(duì)應(yīng)取值范圍.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是分界點(diǎn)的確定，通常需考察點(diǎn)或線的特殊位置，如分界不清晰，則思路會(huì)比較混亂，自然會(huì)對(duì)解題造成影響.

例4(2013年廣東中考25題) 有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°,DF=4,DE=將這副直角三角板按如圖(6)題25 圖(1)所示位置擺放，點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上.現(xiàn)固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

(1)如題25 圖(2)，當(dāng)三角板DEF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)EF與BC交于點(diǎn)M，則∠EMC=_____度；

(2)如題25 圖(3)，在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，求FC的長(zhǎng)；

(3)在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)BF=x，兩塊三角板重疊部分面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并求出對(duì)應(yīng)的x取值范圍.

圖(6)題25

解讀本題屬于面動(dòng)的問(wèn)題，在問(wèn)題(3)中，由于三角板DEF在運(yùn)動(dòng)時(shí)與另一塊三角板重疊部分的面積變化沒(méi)有固定規(guī)律，位置不同重疊部分的面積變化情況存在差異，因此應(yīng)根據(jù)三角板DEF不同的運(yùn)動(dòng)位置進(jìn)行分類(lèi)，確定圖形運(yùn)動(dòng)中的分界點(diǎn)，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的x取值范圍以及相應(yīng)的函數(shù)解析式.從重疊部分的面積變化可以確定三個(gè)分界點(diǎn)，一是從開(kāi)始到DE與AC重合；二是DE與AC重合起至EF過(guò)點(diǎn)C；三是EF過(guò)點(diǎn)C到F與A重合.

具體過(guò)程如下：

(3)如圖(7)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M作MN ⊥AB于點(diǎn)N，則MN//DE,∠NMB=∠B=45°,所以NB=MN,NF=NB -FB=MN -x.因?yàn)镸N//DE，所以ΔFMN∽即所以MN=當(dāng)0≤x ≤2時(shí)，如圖(7)，設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)G，則DG=DB=4+x.所以即

圖(7)

圖(8)

圖(9)

綜上所述，當(dāng)0≤x ≤2時(shí)，當(dāng)時(shí)，y=當(dāng)時(shí)，y=

以上就是筆者對(duì)動(dòng)態(tài)幾何題型解題方法與規(guī)律的膚淺看法.解決此類(lèi)與運(yùn)動(dòng)變化有關(guān)的問(wèn)題，重在運(yùn)動(dòng)中分析，變化中求解.要想真正領(lǐng)悟這類(lèi)題型的解決方法，首先是要準(zhǔn)確把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)特征，尋找有助于解題的特殊位置；其次在整個(gè)解題過(guò)程中，除熟練、綜合運(yùn)用代數(shù)與幾何知識(shí)之外，還要能深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)建模、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，在過(guò)程中感悟，在感悟中提升.數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的核心，是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的重要標(biāo)準(zhǔn)，而動(dòng)態(tài)幾何題型又是考察學(xué)生能否綜合運(yùn)用知識(shí)、思想與方法的重要體現(xiàn).在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)在講授知識(shí)的同時(shí)要有意識(shí)地根據(jù)知識(shí)特征滲透數(shù)學(xué)思想與方法，讓學(xué)生樹(shù)立以數(shù)學(xué)思想與方法為核心的學(xué)習(xí)觀，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想與方法在解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)所起的關(guān)鍵作用，通過(guò)日積月累，使學(xué)生形成牢固的知識(shí)與方法體系.另外，針對(duì)動(dòng)態(tài)幾何題型的解題方法方面，教師應(yīng)能根據(jù)不同的題型，有目的地進(jìn)行專(zhuān)題訓(xùn)練，讓學(xué)生明確化“動(dòng)”為“靜”、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)思想等的重要性與一般應(yīng)用規(guī)律，這在培養(yǎng)和提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力方面定會(huì)有意想不到的收獲.

當(dāng)然，中考數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)幾何題是屬于選拔性題型，它對(duì)學(xué)生的各方面數(shù)學(xué)能力要求較高，要熟練掌握這類(lèi)題型的一般解題規(guī)律與方法的前提是有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)功底，同時(shí)也要能根據(jù)不同的問(wèn)題熟練運(yùn)用各種不同的數(shù)學(xué)方法與思想.因此要想在這類(lèi)題型解法上有所突破，需要學(xué)生平時(shí)打牢基礎(chǔ)和教師的針對(duì)性方法引導(dǎo)，兩者缺一不可.