車輪踏面磨耗及軌道不平順聯(lián)合作用下的車輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)分析模型

徐 磊，翟婉明

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；2.西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

隨著機(jī)車車輛的不斷運(yùn)行，車輪踏面及輪緣均會受到一定的磨損，從而影響輪軌間的動力匹配特性，惡化機(jī)車車輛的運(yùn)行安全性、舒適性及平穩(wěn)性。關(guān)于車輪磨耗的研究，已引起國內(nèi)外科技工作者的極大關(guān)注，在踏面磨耗預(yù)測模型與統(tǒng)計分析[1-9]、車輪型面幾何設(shè)計[10-11]、車輪磨耗與列車動力相互作用關(guān)系[12-15]等方面成果顯著。

然而，考慮車輪磨耗的概率特征，并與軌道隨機(jī)不平順聯(lián)合分析的車輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)動力分析還較少。與軌道隨機(jī)不平順類似，車輪磨耗的形成與發(fā)展亦是眾多隨機(jī)因素(如輪軌隨機(jī)動荷載、初始車輪不圓順、材料疲勞傷損等)共同作用的結(jié)果。在不同的單位運(yùn)營里程下，車輪磨損量具有非確定性；與此同時，在輪軌相互作用過程中，軌道不平順客觀存在且隨機(jī)變化。由于輪軌相互作用是車輛-軌道系統(tǒng)動力模型的核心，故而在研究車輪磨耗時，應(yīng)該同時考慮軌道不平順的影響，以精確計算輪-軌不平順聯(lián)合作用時的車輛-軌道耦合動力性能。

本文依據(jù)車輪踏面磨耗速率、高斯分布假設(shè)及軌道不平順概率模型，進(jìn)行車輪踏面磨耗和軌道不平順的隨機(jī)模擬；采用數(shù)論法(Numerical Theory Method，NTM)實現(xiàn)車輪踏面磨耗和軌道隨機(jī)不平順代表性樣本的高效選取；最后，給出了車輪踏面磨耗-軌道隨機(jī)不平順聯(lián)合作用下的車輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)動力分析、可靠度計算方法及典型計算結(jié)果。

1 車輪踏面磨耗及軌道不平順隨機(jī)模擬

1.1 車輪踏面磨耗模擬

車輪踏面的變化與其磨耗量直接相關(guān)，一旦了解踏面的磨耗演變規(guī)律，便掌握了車輪踏面的時變演化行為。由于不平順激擾、輪軌接觸應(yīng)力等因素具有隨機(jī)性，車輪型面在本質(zhì)上是亦是隨機(jī)變化的[8]。不失一般性，可將其表達(dá)為

?(y,s)=?0(y)+ζ(y,s)

(1)

式中：y為不同的踏面磨耗點；s為運(yùn)行里程；?為車輪型面不同踏面磨耗點的滾動半徑，由y和s確定；?0(y)為車輪踏面的初始型面；ζ為踏面磨耗量，由于踏面不同位置的接觸應(yīng)力分布及累計磨損量均存在一定的差別，故而它也是y和s的函數(shù)。

(2)

一般而言，車輪磨耗深度可用磨耗速率表達(dá)為

(3)

由式(2)、式(3)可知，在單位時間內(nèi)車輪踏面圓周磨耗量服從對數(shù)正態(tài)分布?；诖耍疚淖鋈缦录僭O(shè)：

(2)同一車輪的兩側(cè)輪對磨耗呈對稱分布，且同一車輛的四組車輪磨耗一致；

(3)僅考慮車輪圓周磨耗，無車輪不圓順。

根據(jù)上述假定，只需確定踏面圓周磨耗的均值及標(biāo)準(zhǔn)差即可確定車輪踏面磨耗曲線。根據(jù)概率學(xué)基本原理，若G(x)是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)，且嚴(yán)格單調(diào)遞增，則G(x)服從均勻分布，即：若U～U(0,1)，則G-1(U)具有分布函數(shù)G(x)，G-1(x)是G(x)的反函數(shù)。故而，可以通過生成均勻分布隨機(jī)數(shù)，采用概率算法可快速模擬出單位里程內(nèi)不同踏面點的隨機(jī)磨耗量，再結(jié)合式(1)實現(xiàn)車輪踏面的隨機(jī)模擬。

取對數(shù)均值μ=ln2.5 mm，對數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.2，車輪踏面磨耗的概率密度函數(shù)(Probability Density Function，PDF)及相應(yīng)的車輪踏面磨耗曲面見圖1。

圖1 車輪踏面磨耗示例

由圖1可知，車輪踏面磨耗的分布規(guī)律基本與假設(shè)相一致，踏面圓周位置磨耗較深，向兩側(cè)逐漸減小。

需要指出的是，車輪踏面磨耗下的車輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)動力問題正是源于單位里程內(nèi)磨耗量(亦或磨耗速率)的隨機(jī)性。

1.2 軌道隨機(jī)不平順模擬

軌道不平順是車輛-軌道系統(tǒng)最為常見的激擾源，可視為弱平穩(wěn)隨機(jī)過程[16]。在鋼軌軋制及軌道鋪設(shè)過程中，軌道不平順已呈現(xiàn)初始隨機(jī)形態(tài)。隨著線路的不斷運(yùn)營，不同的軌道不平順里程點將處在時間域隨機(jī)演化，而這些隨機(jī)不平順點的組合又將進(jìn)一步形成不平順空間序列的隨機(jī)性，故而軌道不平順是較為典型的時-空隨機(jī)場量。

可將軌道不平順隨機(jī)向量表達(dá)為

(4)

對于一條特定的干線鐵路，通過軌檢車定期檢測軌道隨機(jī)不平順的累積數(shù)據(jù)是十分巨大的。換言之，車輪踏面磨耗將與豐富的、幅-頻特性各異的軌道不平順形成隨機(jī)接觸，從而產(chǎn)生輪軌隨機(jī)相互作用力及車輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)行為。

分析車輪踏面磨耗-軌道不平順聯(lián)合動力作用，最為可靠的方法是將所有的車輪型面?(y,s)和軌道不平順序列U(u)輸入車輛-軌道動力分析模型[17]，再統(tǒng)計、分析數(shù)值計算結(jié)果。但是這種方法的工作量很大，因為U(u)中可能包含了數(shù)千乃至上萬公里的軌道隨機(jī)不平順信息。

基于此，文獻(xiàn)[18-20]提出并驗證了一種軌道不平順概率模型，可用小樣本的軌道不平順樣本代表原始的不平順實測大數(shù)據(jù)信息，并且保證車輛-軌道系統(tǒng)動力響應(yīng)的統(tǒng)計特征在可靠精度范圍內(nèi)，從而提高了隨機(jī)分析的效率，本文即采用這一方法。

2 車輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)分析方法

2.1 車輪磨耗-軌道不平順聯(lián)合激勵源的代表樣本選取

車輛-軌道系統(tǒng)的隨機(jī)性主要來自于車輪型面和軌道不平順的隨機(jī)性，此車輛-軌道系統(tǒng)的隨機(jī)域R可用5個隨機(jī)變量表達(dá)為

(5)

針對蒙特卡洛(MC)法隨機(jī)收斂、效率低的問題，文獻(xiàn)[21]基于華羅庚和王元分圓域思想，提出一種隨機(jī)變量空間選點的數(shù)論方法(Number Theory Method,NTM)。將不同類型的軌道不平順和車輪磨耗視為相互獨立的隨機(jī)過程，通過構(gòu)造積分域中單位超立方體內(nèi)的均勻散布點集，給出如下點列

(6)

式中：k=1,2,…,s，表示隨機(jī)變量，s=5；j=1,2,…,n，n為一正整數(shù)。n和hj構(gòu)成整數(shù)矢量(n,h1,h2,…,hs)，具體推導(dǎo)見文獻(xiàn)[21-22]。

由于基本隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)一般是(或近似)球?qū)ΨQ的，故而可以對單位超立方體內(nèi)的隨機(jī)點進(jìn)行篩選，條件式為

(7)

2.2 可靠度計算方法

由于車輛-軌道系統(tǒng)是大自由度的非線性復(fù)雜系統(tǒng)，一般難以建立動力可靠度與系統(tǒng)隨機(jī)變量間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，只能采用數(shù)值方法考察動力指標(biāo)與隨機(jī)變量間的關(guān)系，若采用響應(yīng)面法，則需迭代計算，分析效率較低。

基于概率密度演化的隨機(jī)結(jié)構(gòu)可靠度分析方法[23]，可計算車輛-軌道系統(tǒng)的動力可靠度。車輛-軌道耦合系統(tǒng)的振動方程可寫為

(8)

令Xl(t)為X的第l個分量，則根據(jù)概率守恒原理，(Xl(t),ΩT)T的概率密度函數(shù)pXlΩ(x,Ω,t)滿足一階偏微分方程[23-24]

(9)

式中：hl(Ω,t)為給定Xl時系統(tǒng)的速度反應(yīng)。

式(9)的初始條件一般為

pXlΩ(x,Ω,t)|t=0=δ(x-xl,0)pΩ(Ω)

(10)

聯(lián)合求解式(9)、式(10)，積分可得Xl(t)的概率密度函數(shù)

(11)

式中：ΠΩ為Ω相應(yīng)的積分區(qū)域。

顯然，若給定動力反應(yīng)的上、下限值xu和xd，則動力反應(yīng)Xl(t)的可靠度為

(12)

3 數(shù)值分析

3.1 計算條件

采用CRH3型動力車，CRTSⅡ型直線板式軌道，行車速度為350 km/h，軌道不平順取中國某高速鐵路近6個月的實測數(shù)據(jù)，截止波長1～120 m。

以0.5 mm為間隔，令車輪踏面圓周磨耗均值分別為1～5 mm，以C1～C9表示；以C0表示僅軌道不平順參與系統(tǒng)激勵，而無車輪磨耗情況。

由于文中沒有考慮車輪不圓順(如車輪多邊形)和車輪偏磨，故而車輪磨耗對車輛-軌道系統(tǒng)的垂向動力響應(yīng)影響較小，本文將重點考察代表性橫向動力指標(biāo)在車輪踏面磨耗和隨機(jī)不平順影響下的響應(yīng)特征。

3.2 結(jié)果分析

3.2.1 橫向動力響應(yīng)分析

在確定性計算中，基于車輛-軌道耦合動力學(xué)模型[19]，可算出在軌道不平順和車輪踏面磨耗型面下的車輛、軌道系統(tǒng)動力響應(yīng)時程。

C0、C3、C7計算工況下某軌道不平順-車輪踏面磨耗聯(lián)合樣本下的輪軌橫向力和鋼軌橫向位移響應(yīng)時程見圖2。

圖2 典型動力時程比較

由圖2可知，相較于C0和C3工況，當(dāng)車輪磨耗達(dá)到C7(圓周磨耗均值4 mm)時，輪軌橫向力和鋼軌橫向位移的動力時程發(fā)生顯著變化，如輪軌橫向力極值由C0條件下的5.52 kN、C3條件下的8.14 kN增至19.02 kN；鋼軌橫向位移與輪軌橫向力的分布基本一致。此外，在C7工況下的動力響應(yīng)時程明顯異于C0和C3工況，呈現(xiàn)諧波形態(tài)。為了判斷是否出現(xiàn)了失穩(wěn)狀態(tài)，采用文獻(xiàn)[17]給出的方法，僅在車輛運(yùn)行前期設(shè)置一小段軌道不平順激擾(見圖3)，然后觀察車輛系統(tǒng)的動力響應(yīng)隨時間是否衰減。失穩(wěn)和穩(wěn)定狀態(tài)下首位輪對橫向位移和輪軌橫向力的時程圖分別見圖4和圖5。

圖3 軌道不平順激勵

圖4 動力響應(yīng)時程(失穩(wěn)狀態(tài))

圖5 動力響應(yīng)時程(穩(wěn)定狀態(tài))

由圖4可知，當(dāng)車輪踏面磨耗達(dá)到一定的程度時，可能形成較為不利的車輪幾何型面，此型面將使輪軌相互作用處于失穩(wěn)狀態(tài)。與穩(wěn)定的輪軌接觸狀態(tài)不同(見圖5)，失穩(wěn)狀態(tài)下的車輛-軌道系統(tǒng)只需微弱的軌道不平順激擾，就可能產(chǎn)生持續(xù)的劇烈振動狀態(tài)?；谏鲜鲅芯?，作者進(jìn)一步分析了不同車輪踏面磨耗下的系統(tǒng)動力響應(yīng)特征，統(tǒng)計了失穩(wěn)發(fā)生時的車輪踏面磨耗區(qū)域，見圖6。

圖6 車輪踏面磨耗失穩(wěn)區(qū)域

由圖6可知，在車輪磨耗由淺到深的過程中，存在一個車輪踏面失穩(wěn)臨界區(qū)域，車輛-軌道系統(tǒng)將對應(yīng)出現(xiàn)由穩(wěn)定到失穩(wěn)再到穩(wěn)定的過程。

3.2.2 概率密度演化及可靠度分析

顯然，上述分析是隨機(jī)振動計算時某一確定性工況下的計算分析，由車輪踏面磨耗的隨機(jī)性可知，Ci(i=1,2,…,9)僅代表磨耗均值，各踏面點的磨耗量還存在變異性，再考慮C0工況下軌道不平順的隨機(jī)性，可知將車輪磨耗與軌道不平順兩者做隨機(jī)激勵考慮時，車輛-軌道系統(tǒng)的動力響應(yīng)無法用確定性分析(圖2)描述。概率密度函數(shù)(PDF)抓住了隨機(jī)動力響應(yīng)幅值和概率兩方面的特性，是分析隨機(jī)振動統(tǒng)計信息的有力工具，也是動力可靠度計算的基礎(chǔ)。

采用本文方法，車輪踏面隨機(jī)磨耗-軌道隨機(jī)不平順聯(lián)合作用時，C0、C7工況下車體橫向加速度概率密度演化曲面見圖7。

圖7 車體橫向加速度概率密度演化曲面

由圖7可知，當(dāng)考慮車輪踏面與軌道不平順遍歷聯(lián)合作用時，動力指標(biāo)的響應(yīng)并非單一的時間歷程曲線，而是具有幅值波動特性的概率密度演化過程。對比圖7(a)、圖7(b)可知，在C0工況下，車體橫向加速度的概率密度演化過程主要由軌道不平順控制，呈現(xiàn)明顯的蜿蜒軌跡，與對應(yīng)的軌道不平順時程分布呈較強(qiáng)相關(guān)性；而當(dāng)車輪出現(xiàn)較大的隨機(jī)磨耗時(如C7工況)，由于出現(xiàn)了車體失穩(wěn)狀態(tài)，不僅車體橫向加速度的概率演化形態(tài)被顯著改變，而且振動響應(yīng)幅值總體增大且出現(xiàn)一定的周期特征。

輪軌橫向力和鋼軌橫向加速度在3.5 s的概率密度分布見圖8。

圖8 動力指標(biāo)在3.5 s的概率密度分布

由圖8可知，不同車輪磨耗深度對車輛-軌道系統(tǒng)的動力影響不同，一般而言，磨耗越深，影響越大。在僅考慮軌道不平順的隨機(jī)性(C0工況)時，動力指標(biāo)(如輪軌橫向力、鋼軌橫向加速度等)呈現(xiàn)顯著的幅值離散性，故而在考慮車輪磨耗動力作用時，不可忽視隨機(jī)不平順的影響；當(dāng)磨耗深度較小時，如C1、C3，輪軌橫向力和鋼軌橫向加速度動力幅值和概率分布將會發(fā)生一定的變化，但幅度較小，此時系統(tǒng)的動力響應(yīng)來自于軌道隨機(jī)不平順的影響；而在磨耗深度較大時，如C7、C9，輪軌接觸幾何形態(tài)已發(fā)生顯著改變，甚至發(fā)生失穩(wěn)，此時車輛-軌道系統(tǒng)的隨機(jī)動力響應(yīng)將由車輪踏面磨耗和軌道不平順聯(lián)合控制。

此外，由式(12)，結(jié)合動力指標(biāo)的概率密度演化分布(見圖7)，可以十分方便的得到車輛-軌道系統(tǒng)不同動力指標(biāo)的時變可靠度。若以10 kN為輪軌橫向力的可靠度限界，不同磨耗深度下的2～3 s的時變可靠度見圖9。

圖9 輪軌橫向力的時變可靠度

由圖9可知，當(dāng)車輪磨耗達(dá)到C5～C7深度，輪軌橫向相互作用的可靠度逐步降低，出現(xiàn)失效情況；在2.43 s時刻，可靠度最低僅51%，即輪軌橫向作用力的失效概率達(dá)到49%；而在其他時刻，失效概率亦基本達(dá)到10%～20%，為了提高車輛運(yùn)行的動力可靠度，應(yīng)嚴(yán)格控制車輪磨耗量。

4 結(jié)論

本文假定車輪踏面磨耗和軌道不平順均具有一定的概率分布特性，用數(shù)論法選取代表性的車輪踏面磨耗和軌道隨機(jī)不平順聯(lián)合樣本，用概率密度方法分析系統(tǒng)激勵樣本與隨機(jī)響應(yīng)輸出間的概率傳遞問題，從而較為有效的建立了車輪踏面磨耗-軌道隨機(jī)不平順聯(lián)合作用下的車輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)動力分析模型。

從計算結(jié)果可知：

(1)考察車輪磨耗的動力影響時，建議考慮軌道隨機(jī)不平順的聯(lián)合作用。

(2)在車輪踏面磨耗過程中，存在一個失穩(wěn)臨界區(qū)域。此臨界區(qū)域?qū)ΡＷC行車安全、指導(dǎo)車輪璇修等工作具有指導(dǎo)意義。

(3)基于本文模型，可以進(jìn)一步深入開展車輪磨耗下的車輛-軌道系統(tǒng)隨機(jī)分析及動力可靠度研究。建議進(jìn)一步搜集、整理、歸納車輪磨耗數(shù)據(jù)，統(tǒng)計分析車輪磨耗的概率分布特征，以建立更為精細(xì)的車輪踏面磨耗概率反演模型。