基于板元分析法的梯形截面箱梁畸變效應(yīng)研究

王兆南，張?jiān)?/p>

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

箱梁畸變一直是橋梁科研設(shè)計(jì)人員研究的一個(gè)熱點(diǎn)，研究采用的解析方法有能量變分法、板元分析法、廣義坐標(biāo)法等。文獻(xiàn)多采用能量變分法研究矩形和梯形截面箱梁的畸變效應(yīng)，而板元分析法目前多用于分析矩形截面箱梁的畸變效應(yīng)。郭金瓊等[1]采用板元分析法研究了單箱單室矩形截面箱梁的畸變效應(yīng)。馬磊等[2]采用板元分析法推導(dǎo)了單箱雙室波形鋼腹板矩形截面箱梁的畸變控制微分方程。項(xiàng)海帆等[3]采用能量變分法對(duì)梯形截面單箱單室箱梁進(jìn)行了畸變效應(yīng)的研究。張?jiān)５萚4-5]提出了一種與薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析相似的箱梁畸變效應(yīng)分析方法，并基于勢(shì)能駐值原理導(dǎo)出了單箱單室箱梁的畸變控制微分方程。徐勛等[6-7]以廣義坐標(biāo)法為基礎(chǔ)，對(duì)薄壁箱梁以畸變角和畸變撓度為位移參數(shù)的兩種畸變理論進(jìn)行比較分析，研究了箱梁的畸變效應(yīng)。鮑永方等[8]對(duì)畸變計(jì)算理論和廣義坐標(biāo)法進(jìn)行了分析對(duì)比。錢(qián)寅泉等[9]以畸變撓度為位移參數(shù)研究箱梁的畸變效應(yīng)。對(duì)復(fù)雜的多室箱梁的畸變效應(yīng)多借助于有限元進(jìn)行研究，如采用考慮了畸變自由度的梁?jiǎn)卧?，?shí)體單元或是考慮拉彎、扭轉(zhuǎn)、畸變的空間分析單元對(duì)多室箱梁、薄壁曲箱梁的畸變等空間效應(yīng)進(jìn)行了精確的分析[10-18]。狄謹(jǐn)?shù)萚19]、劉保東等[20]對(duì)波紋鋼腹板梁式橋的畸變性能進(jìn)行了研究，并通過(guò)試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。

以上文獻(xiàn)，采用板元分析法對(duì)梯形截面箱梁的畸變進(jìn)行研究的較少。本文以梯形截面單箱單室箱梁腹板和底板的夾角改變?yōu)槲粗?，采用板元分析法，以離散的箱梁各板元力系分析得出箱梁畸變控制微分方程。矩形截面箱梁一般采用坡度撓度公式推導(dǎo)橫向板端彎矩和畸變角之間的關(guān)系[1-2]，梯形截面箱梁由于腹板傾斜，仍采用此公式推導(dǎo)過(guò)程將變得繁瑣，但若用圖乘法找出箱梁各板元橫向板端彎矩和畸變角之間的關(guān)系，推導(dǎo)過(guò)程將變得簡(jiǎn)單。最后本文對(duì)得出的畸變控制微分方程進(jìn)行了數(shù)值驗(yàn)證，研究了相關(guān)參數(shù)對(duì)箱梁畸變的影響。

1 箱梁各板元面內(nèi)力系分析

在豎向偏心荷載作用下箱梁將發(fā)生畸變，本文以圖1所示的梯形截面箱梁為研究對(duì)象。

圖1 梯形箱梁橫截面

箱梁所受的偏心荷載可分解為正對(duì)稱(chēng)荷載和反對(duì)稱(chēng)荷載，反對(duì)稱(chēng)荷載P可分解為圖2所示的畸變荷載Vd1、Vd2、Hd1、Hd2，分析采用的坐標(biāo)系見(jiàn)圖2。

圖2 箱梁畸變荷載

1.1 頂板、底板、腹板面內(nèi)力系分析

取離散成板元的箱梁頂板為研究對(duì)象，分析頂板的面內(nèi)力系，如圖3(a)所示。qxB、qxA為箱梁腹板對(duì)頂板的橫向約束反力，Todz為微段上腹板對(duì)頂板的縱向約束反力，Hd1為頂板面內(nèi)畸變荷載，dQo、dMo為頂板微段上產(chǎn)生的面內(nèi)剪力和力矩增量。對(duì)頂板列取面內(nèi)力矩平衡方程，忽略式中的小量，化簡(jiǎn)后得

圖3 頂板及底板面內(nèi)力系

(1)

在頂板面內(nèi)沿x軸列取平衡方程，可得頂板畸變荷載Hd1、腹板對(duì)頂板的橫向約束反力qx1、頂板面內(nèi)剪力增量dQo之間的關(guān)系為

dQo=Hd1-qx1

(2)

式中：qx1=qxA+qxB。

底板的面內(nèi)力系如圖3(b)所示，qxC、qxD為箱梁腹板對(duì)底板的橫向約束反力，Tudz為微段上腹板對(duì)底板的縱向約束反力，Hd2為底板面內(nèi)畸變荷載，dQu、dMu為底板微段上產(chǎn)生的面內(nèi)剪力和力矩增量，同理可求得底板上面內(nèi)力矩之間的關(guān)系為

(3)

在底板面內(nèi)沿x軸列取平衡方程，可得底板畸變荷載Hd2、腹板對(duì)底板的橫向約束反力qx2、底板面內(nèi)剪力增量dQu之間的關(guān)系為

dQu=Hd2-qx2

(4)

式中：qx2=qxC+qxD。

如圖4所示，取左腹板為分離體，qyA、qyD為箱梁頂板和底板對(duì)左腹板的橫向約束反力，Todz、Tudz為微段上頂板和底板對(duì)腹板的縱向約束反力，Vd2為左腹板面內(nèi)的畸變荷載，dQc、dMc為左腹板微段上產(chǎn)生的面內(nèi)剪力和力矩增量。

圖4 腹板面內(nèi)力系

通過(guò)列取腹板面內(nèi)力矩平衡方程，忽略式中的小量并化簡(jiǎn)后得

(5)

沿坐標(biāo)y軸列取左腹板面內(nèi)力系平衡方程，可得畸變荷載Vd2、左腹板面內(nèi)剪力增量dQc、頂板和底板對(duì)左腹板的橫向約束反力qyA、qyD之間的關(guān)系為

dQc=qy-Vd2

(6)

式中：qy=qyA+qyD。

將式(1)、式(3)代入式(5)并微分一次，然后代入式(2)、式(4)、式(6)后得

(7)

式(7)表征了箱梁各板元面內(nèi)力矩、畸變荷載以及各板元之間相互約束的關(guān)系。

1.2 各板元面內(nèi)力矩之間的關(guān)系

當(dāng)截面發(fā)生畸變翹曲變形時(shí)，頂板、腹板、底板上由畸變翹曲應(yīng)力合成的力矩為Mo、Mc、Mu，其方向如圖5所示。

圖5 畸變引起的各板元面內(nèi)力矩

以σA和σD分別表示角點(diǎn)A和D的畸變翹曲正應(yīng)力，設(shè)β=σD/σA，可得頂板、底板和腹板面內(nèi)力矩二次微分之間的關(guān)系為

(8)

將式(8)代入式(7)得到關(guān)于腹板面內(nèi)力矩和各板元上力系之間的平衡微分方程，即

(9)

1.3 腹板面內(nèi)力矩和畸變角的關(guān)系

定義圖6中箱梁框架D點(diǎn)的夾角改變?yōu)榛兘铅?。箱梁上作用有畸變荷載時(shí)，沿梁z軸向取出單位長(zhǎng)度的梁段形成的框架，當(dāng)產(chǎn)生畸變角為γ的畸變變形時(shí)，如圖7所示，則各板端的位移為uA、uD、vA、vC。根據(jù)箱梁畸變協(xié)調(diào)原理[1]，箱梁框架的畸變角γ可采用圖7中各板端位移來(lái)表示，即

(10)

對(duì)式(10)微分兩次，考慮梁的撓曲和力矩之間的關(guān)系以及式(8)，可得畸變角γ和腹板面內(nèi)力矩Mc的關(guān)系為

圖6 箱梁畸變角

圖7 畸變橫向框架變形

γ″=Γ2Mc

(11)

將式(11)微分兩次，則有

(12)

將式(12)代入式(9)，得到關(guān)于畸變角γ和板元上力系之間的平衡微分方程

(13)

式中：EIωd為箱梁的抗畸變翹曲剛度(Iωd的單位為m6)。

2 箱梁各板元面外力系分析

將圖7中框架各板元離散成分離體，各板元上的面外力系如圖8所示。其中mAB、mBA、mCD、mDC、mAD、mDA、mBC和mCB分別為框架頂板、底板、腹板的面外板端彎矩，qyB、qyC為框架頂板和底板對(duì)右腹板的橫向約束反力。分析各板元上面外力系的平衡，可得各板元面外力系之間的關(guān)系。

圖8 箱梁各板元面外力系

2.1 頂板、底板、腹板面外力系分析

對(duì)箱梁框架頂板和底板分別列取關(guān)于面外力系的平衡方程，得出

(14)

則左腹板上由頂板和底板的約束反力合成的作用力qy為

(15)

腹板在面外力系的作用下，根據(jù)力矩平衡可以得出

(16)

則箱梁框架頂板上由于腹板約束反力合成的水平作用力qx1為

(17)

同理得出底板上的水平作用力qx2為

(18)

將式(15)、式(17)、式(18)代入式(13)中的qy+a1qx1/(2a4)+a1qx2/(2a2)后，該部分變?yōu)?/p>

(19)

2.2 各板元橫向板端彎矩和畸變角的關(guān)系

采用坡度撓度公式推導(dǎo)矩形截面箱梁橫向板端彎矩和畸變角之間的關(guān)系較為方便，但梯形截面箱梁因腹板傾斜，采用此公式時(shí)，推導(dǎo)過(guò)程將變得復(fù)雜。本文采用圖乘法來(lái)導(dǎo)出畸變角γ和各板元橫向板端彎矩之間的關(guān)系，進(jìn)而求得箱梁橫向框架剛度，過(guò)程較為簡(jiǎn)單。

箱梁發(fā)生圖6所示的水平側(cè)移和發(fā)生圖7所示的畸變角為γ的畸變變形具有的應(yīng)變能相等[3]，角點(diǎn)D的夾角改變量為γ時(shí)，頂板的水平位移為γa1sinθ。當(dāng)箱梁頂板B點(diǎn)作用單位水平力時(shí)頂板的側(cè)移值為δh，頂板跨中剪力值為X，δh和X可采用圖乘法求出。當(dāng)頂板B點(diǎn)的水平位移為γa1sinθ時(shí)，頂板B點(diǎn)作用的水平力為γa1sinθ/δh，有a1sinθ=h，則頂板跨中剪力值為γhX/δh，對(duì)A點(diǎn)取矩有mAB=γa4hX/(2δh)=mAD，亦可得mDC=γ(2h2-a2hX)/(2δh)=mDA。令k1=a4hX/(2δh)，k2=(2h2-a2hX)/(2δh)，則mAB=mAD=k1γ，mDC=mDA=k2γ，將其代入式(19)有

(20)

并令

(21)

式中：

在a1Hd1/(2a4)+a1Hd2/(2a2)+Vd2中代入畸變荷載表達(dá)式，并令Ω=a1(a2+a4)/(2h)，可得

(22)

3 畸變控制微分方程及其解

通過(guò)以上分析，最后得到以角點(diǎn)D的畸變角γ為未知量的梯形截面箱梁四階畸變控制微分方程

EIωdγ″″+EIRγ=PΩ

(23)

求解方程式(23)可以得到待求截面的畸變角γ，畸變雙力矩Bdω，根據(jù)相關(guān)關(guān)系可以求得箱梁截面上的畸變翹曲正應(yīng)力。令I(lǐng)R/Iωd=4λ4，則λ=[IR/(4Iωd)]1/4，方程式(23)變換為

γ″″+4λ4γ=PΩ/(EIωd)

(24)

根據(jù)箱梁畸變微分方程和彈性地基梁撓曲微分方程的相似關(guān)系，可得箱梁跨中作用一單位畸變荷載時(shí)，箱梁畸變角和畸變雙力矩的影響線[1-3]。當(dāng)箱梁跨中作用一單位畸變荷載時(shí)，畸變微分方程的初參數(shù)解分為兩種情況：

(1)設(shè)梁長(zhǎng)為L(zhǎng)，若λL>2π，則解為

(25)

(2)若λL≤2π，則解為

(26)

式中：z為箱梁各截面距跨中坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；γ0、Bdω0、Qdω0分別為坐標(biāo)原點(diǎn)的畸變角、畸變雙力矩及畸變矩，其值可由相應(yīng)的邊界條件確定[4-5]。

4 數(shù)值算例及參數(shù)分析

4.1 數(shù)值算例

算例1 簡(jiǎn)支單箱單室矩形截面箱梁的計(jì)算跨徑L=39.6 m，材料彈性模量E=35 GPa，截面尺寸a1=a3=3.1 m、a2=a4=2.6 m、d=0.4 m、t1=t3=0.207 m、t2=0.217 m、t4=0.259 m。令PΩ=1 kN·m作用在梁跨中，坐標(biāo)原點(diǎn)在跨中并沿梁長(zhǎng)將梁等分成10段共計(jì)11個(gè)截面，取一半梁長(zhǎng)的計(jì)算結(jié)果，有限元計(jì)算采用板單元，通過(guò)計(jì)算各截面的畸變角和畸變雙力矩驗(yàn)證本文推導(dǎo)公式的正確性。將本文解、文獻(xiàn)[1]解及有限元解列出，如表1和表2所示，在0.3L截面處，本文得出的畸變角和文獻(xiàn)[1]的誤差為8.99%，和有限元解的誤差為3.24%，其余截面數(shù)值相互吻合較好；畸變雙力矩本文解和文獻(xiàn)[1]解吻合較好。

表1 算例1畸變角

注：誤差①=(本文解-文獻(xiàn)解)/文獻(xiàn)解×100%，誤差②=(本文解-有限元解)/有限元解×100%，以下同。

表2 算例1畸變雙力矩

算例2 簡(jiǎn)支單箱單室矩形截面箱梁的計(jì)算跨徑L=80 m，材料彈性模量E=35 GPa，截面尺寸a1=a3=3.0 m、a2=a4=5.0 m、h=3.0 m、d=1.5 m，各板件厚度均為0.2 m。分析過(guò)程同算例1，單位畸變荷載作用下的畸變角和畸變雙力矩計(jì)算結(jié)果如表3和表4，在0.3L截面處，本文得出的畸變角和文獻(xiàn)[3]的誤差為12.58%，和有限元解的誤差為4.74%，其余截面數(shù)值相互吻合較好；畸變雙力矩在0.2L截面處，本文解和文獻(xiàn)[3]誤差偏大，但誤差不超過(guò)10%，其余截面數(shù)值吻合良好。

表3 算例2畸變角

表4 算例2畸變雙力矩

將文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[3]和本文對(duì)算例中畸變相關(guān)參數(shù)的計(jì)算值列于表5，可以看出本文計(jì)算的參數(shù)值和文獻(xiàn)給出的值吻合較好。

表5 畸變參數(shù)比較

注：括號(hào)內(nèi)數(shù)據(jù)為文獻(xiàn)值。

算例3 梯形截面單箱單室簡(jiǎn)支梁橋的計(jì)算跨徑L=40 m，材料彈性模量E=35 GPa，截面尺寸a1=a3=2.47 m、a2=4.45 m、a4=6.25 m、h=2.3 m、d=1.5 m、t1=t3=0.35 m、t2=0.27 m、t4=0.25 m。荷載和分析過(guò)程同算例1，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表6，除了在箱梁0.3L截面處畸變角誤差偏大，其余截面本文解和有限元解吻合較好。

表6 算例3畸變角

4.2 梁高和腹板傾角變化對(duì)箱梁畸變的影響

單箱單室簡(jiǎn)支梁橋的計(jì)算跨徑L=40 m、材料彈性模量E=35 GPa，截面尺寸a1=a3=2.3 m、a2=a4=6.25 m、d=1.5 m、t1=t3=0.35 m、t2=0.27 m、t4=0.25 m，以此截面尺寸為基礎(chǔ)研究梁高h(yuǎn)和腹板傾角α變化對(duì)箱梁畸變的影響。單位畸變荷載作用在箱梁跨中，分析過(guò)程同算例1，采用本文解析公式計(jì)算。首先，改變梁高，以梁高h(yuǎn)=2.3 m為初始值，0.3 m為增量，增加到h=3.8 m，截面其他尺寸保持不變；其次，通過(guò)改變底板寬度以達(dá)到腹板傾角變化的目的，底板寬度以6.25 m為初始值，變化量為0.6 m，變到寬度為3.25 m，梁高及其他截面尺寸不變，由于數(shù)據(jù)較多，取具有代表性的數(shù)值予以分析。

(1) 梁高h(yuǎn)變化對(duì)箱梁畸變的影響

如圖9所示，畸變角大小沿梁長(zhǎng)方向分布不一致，在跨中截面有最大值，在0.3L截面附近由正值變?yōu)樨?fù)值，在0.4L截面處有最小值。當(dāng)梁高h(yuǎn)逐漸增大時(shí)畸變角在跨中截面、0.4L截面處逐漸減小，在0.3L截面附近變化較小。如圖10所示，畸變雙力矩沿梁長(zhǎng)方向在跨中截面有最大值，在0.1L～ 0.3L截面范圍內(nèi)由正值逐漸變?yōu)樨?fù)值。當(dāng)梁高h(yuǎn)逐漸增大時(shí)，畸變雙力矩值在跨中截面增長(zhǎng)較快，并隨梁高h(yuǎn)的增大其值逐漸增大。

梁高h(yuǎn)變化時(shí)，畸變角和畸變雙力矩值變化趨勢(shì)不同，在跨中截面，畸變角隨梁高增大其值逐漸變小，畸變雙力矩則逐漸增大；畸變角在0.3L截面附近逐漸減小為0，畸變雙力矩在0.1L截面附近逐漸減小為0；畸變角在0.4L截面處有最小值，其絕對(duì)值隨梁高h(yuǎn)增大逐漸增大，畸變雙力矩在0.2L～ 0.3L截面范圍內(nèi)有最小值。

圖9 梁高h(yuǎn)變化時(shí)畸變角沿梁長(zhǎng)的變化

圖10 梁高h(yuǎn)變化時(shí)畸變雙力矩沿梁長(zhǎng)的變化

(2) 腹板傾角α變化對(duì)箱梁畸變的影響

腹板傾角α變化時(shí)畸變角和畸變雙力矩沿梁長(zhǎng)的分布同梁高h(yuǎn)變化時(shí)的分布類(lèi)似。當(dāng)腹板傾角逐漸增大時(shí)，畸變角在跨中截面先增大后減小，從本文的分析得出，腹板傾角為21.37°即底板長(zhǎng)度為頂板長(zhǎng)度的0.7倍時(shí)，跨中截面畸變角有最大值，畸變角在0.3L截面附近變化較小，如圖11所示。隨著腹板傾角逐漸增大，跨中截面畸變雙力矩值逐漸減小，在0.1L截面附近畸變雙力矩逐漸趨向于0，如圖12所示。腹板傾角α變化時(shí)，畸變角和畸變雙力矩值變化趨勢(shì)不同，當(dāng)腹板傾角逐漸增大時(shí)，跨中截面畸變角先增大后減小，畸變雙力矩則逐漸減小；在0.3L截面附近畸變角變化較小，在0.1L截面附近畸變雙力矩變化較小，在0.4L截面處畸變角有最小值，畸變雙力矩在0.2L～ 0.3L截面范圍內(nèi)有最小值。

圖11 腹板傾角α變化時(shí)畸變角沿梁長(zhǎng)的變化

圖12 腹板傾角α變化時(shí)畸變雙力矩沿梁長(zhǎng)的變化

5 結(jié)論

(1) 采用板元分析法推導(dǎo)出了單箱單室梯形截面箱梁以畸變角為未知量的四階畸變控制微分方程，本文推導(dǎo)出的解析公式計(jì)算結(jié)果和相關(guān)文獻(xiàn)的算例值、有限元解吻合良好，驗(yàn)證了公式的正確性。

(2) 采用圖乘法導(dǎo)出箱梁各板元橫向板端彎矩與箱梁畸變角之間的關(guān)系時(shí)，其過(guò)程比采用坡度撓度公式簡(jiǎn)單。

(3) 通過(guò)梁高變化對(duì)簡(jiǎn)支箱梁畸變效應(yīng)的影響分析得出，箱梁跨中截面畸變角隨著梁高增大逐漸減小，畸變雙力矩隨著梁高增大逐漸增大；畸變角在0.4L截面處有最小值，畸變雙力矩在0.2L～ 0.3L截面范圍內(nèi)有最小值。

(4) 腹板傾角逐漸增大時(shí)，箱梁跨中截面畸變角先增大后減小，畸變雙力矩則逐漸減小；在0.4L截面處畸變角有最小值，在0.2L～ 0.3L截面范圍內(nèi)畸變雙力矩有最小值。