隨機變量線性組合的分布的一個算法

張 新 趙書銀 胡金江

（河北建筑工程學院數(shù)理學院，河北 張家口075000）

0 引 言

多個隨機變量的函數(shù)的概率密度是概率論課程中計算較繁瑣的部分.兩個相互獨立的連續(xù)型隨機變量之和的概率密度，可以用卷積運算得到，而求解多個相互獨立的隨機變量的和的概率密度需要進行若干次卷積運算.本文利用傅立葉變換提供了一種算法，不僅可以計算多個相互獨立的隨機變量的和的概率密度，而且還能計算多個相互獨立的隨機變量的任意線性組合的概率密度.

1 主要結(jié)果

定理 設(shè)X1，X2，…，Xn是n個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為f1（x），f2（x），…，fn（x），隨機變量，其中a1a2…an≠0，則Y的概率密度

2 定理的證明

為了證明這個結(jié)論，先證明三個引理.

引理1 設(shè)隨機變量X的概率密度為f（x），則Y＝aX的概率密度為

證明 設(shè)a＜0，則Y的分布函數(shù)

從而

引理2 設(shè)隨機變量X的概率密度為f（x），則Y＝X＋b的概率密度為

證明Y的分布函數(shù)

所以

引理3 設(shè)X1，X2，…Xn是n個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為f1（x），f2（x），…，fn（x），隨機變量，則Y的概率密度

證明 當n＝2時，

其中＊表示兩個函數(shù)的卷積運算.由傅立葉變換的卷積性質(zhì)，有

若結(jié)論對于n＝k時成立，則當n＝k＋1時，設(shè)，則Y＝Z＋Xn，由n＝2時的結(jié)果和n＝k時的結(jié)果，有

由歸納法假設(shè)即得（4）成立.

下面給出（1）式的證明.

設(shè)Yi＝aiXi，fYi（y）表示Yi的概率密度，fi（y）表示Xi的概率密度（i＝1，2，…，n），gn（y）表示Yn＋b的概率密度，則，于是.所以由引理3得

兩邊取傅里葉逆變換即得（1）式.

3 在中心極限定理的計算中的應用

以獨立同分布的中心極限定理為例，設(shè)Xi具有相同的概率密度，則a1＝a2＝…＝，從而

以Xi～E（1）為例，設(shè)它們相互獨立，i＝1，2，…，n.則有

這里u（y）表示單位階躍函數(shù).

下圖顯示了當n＝5，30，100時，相互獨立的參數(shù)為1的指數(shù)分布的隨機變量之和的標準化變量的概率密度圖像和標準正態(tài)分布的概率密度圖像（虛線表示標準正態(tài)分布圖像）：

從圖像上看，相互獨立的指數(shù)分布之和的標準化變量收斂于標準正態(tài)分布的速度比較慢，當n＝100時二者圖像仍然有明顯的差距.

下圖顯示了當n＝3，5，14時，相互獨立的U（0，1）分布的隨機變量之和的標準化變量的概率密度圖像和標準正態(tài)分布的概率密度圖像（虛線表示標準正態(tài)分布圖像）：

從圖像上看，相互獨立的均勻分布之和的標準化變量收斂于標準正態(tài)分布的速度比指數(shù)分布的情形要快，當n＝14時二者圖像的差別就不明顯了.

4 結(jié) 語

多個隨機變量的函數(shù)的概率密度的計算量非常大.使用卷積計算時，即使使用計算機來實現(xiàn)，所用時間也不可忽視.筆者使用maple軟件計算100個相互獨立的指數(shù)分布隨機變量的平均值，采用卷積和傅立葉變換法來計算，分別用時21.922秒和1.188秒，前者用時是后者的18.45倍，可見，傅立葉變換在隨機變量函數(shù)的計算中是有優(yōu)勢的.但是因為傅立葉變換只能處理線性問題，也就是線性組合的情況，對于非線性的情形就無能為力了，當然卷積也處理不了非線性問題.

［1］張元林.積分變換（第四版）［M］.高等教育出版社，2003

［2］孫宏凱，李香玲，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計［M］.中國電力出版社，2009

［3］李賢平.概率論基礎(chǔ)（第三版）［M］.高等教育出版社，2010

［4］張韻華.符號計算系統(tǒng)Maple教程［M］.中國科學技術(shù)大學出版社，2007