傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)之當(dāng)代重建（下）

【摘要】傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)之當(dāng)代重建（下）鄭毓信（南京大學(xué) 哲學(xué)系，江蘇南京 210093）[=]【摘 要】傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)之當(dāng)代重建并非是相關(guān)傳統(tǒng)的簡(jiǎn)單回歸，而是如何能夠依據(jù)數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的現(xiàn)代認(rèn)識(shí)對(duì)此做出認(rèn)真的總結(jié)與反思，并能通過(guò)新的研究做出進(jìn)一步的發(fā)展。研究者以“努力提升學(xué)生的核心素養(yǎng)”作為分析的基本立足點(diǎn)，主張數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，特別是幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)更清晰、更深入、更全面、更合理地進(jìn)行思考，并能由“理性思維”逐步走向“理性精神”，從而真正成為一個(gè)具有高度自覺(jué)性的理性人。

【關(guān)鍵詞】應(yīng)用題教學(xué);理性精神;數(shù)學(xué)教育;當(dāng)代重建

（續(xù)上期）

三、應(yīng)用題教學(xué)與學(xué)生思維品質(zhì)之提升

前面已經(jīng)提到，學(xué)習(xí)的程式化與機(jī)械化是傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)的又一常見(jiàn)弊病。但是，如果認(rèn)定我們只需盡早引入代數(shù)方法就可解決這一問(wèn)題，則是“看錯(cuò)了病，號(hào)錯(cuò)了脈”。因?yàn)?，通過(guò)“列方程、解方程”解決問(wèn)題事實(shí)上也是程序或算法的應(yīng)用，如果學(xué)生缺乏足夠的自覺(jué)性，就可能導(dǎo)致機(jī)械的學(xué)習(xí)，甚至更可能因此喪失促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的一個(gè)良好契機(jī)。

為了清楚地說(shuō)明問(wèn)題，在此還可特別提及這樣兩個(gè)事實(shí)：（1）代數(shù)方法的應(yīng)用并不能被看成解決問(wèn)題的“萬(wàn)能方法”。例如，有很多提前學(xué)習(xí)了方程方法的學(xué)生，在面對(duì)“面積問(wèn)題”時(shí)仍然有較大困難，因?yàn)楹笳叩那蠼馔枰玫健案钛a(bǔ)”等其他方法。（2）平面幾何（“綜合幾何”）的學(xué)習(xí)也有很多難題，其中的一些如果用解析幾何的方法求解則會(huì)變得比較容易，也即只需按照一定的程序或方法（代數(shù)化、方程化）就可獲得解決③。那么，我們是否也應(yīng)盡早離開(kāi)“綜合幾何”去引入解析幾何呢？應(yīng)當(dāng)指出的是，這事實(shí)上也正是數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)經(jīng)常提到的一個(gè)口號(hào)：“打倒歐幾里得”。但是，中外的相關(guān)努力應(yīng)當(dāng)說(shuō)又未能夠都取得成功，從而也就使人們更清楚地認(rèn)識(shí)到了這樣一點(diǎn)：學(xué)習(xí)綜合幾何的目的不只是獲得相關(guān)的知識(shí)，我們更不應(yīng)以單純的解決問(wèn)題作為求解幾何題的主要目的，而應(yīng)清楚地看到其對(duì)于促進(jìn)思維發(fā)展的重要作用④。

總之，我們應(yīng)當(dāng)超出單純的問(wèn)題求解并從更廣泛的角度認(rèn)識(shí)應(yīng)用題教學(xué)的意義，也即應(yīng)當(dāng)通過(guò)應(yīng)用題的教學(xué)努力促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

⑤ 由此可見(jiàn)，將應(yīng)用題的教學(xué)歸結(jié)為由“典型應(yīng)用題”過(guò)渡到“復(fù)合應(yīng)用題”，也只是抓住了其中的一方面。 應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，上述分析事實(shí)上也為我們應(yīng)當(dāng)如何開(kāi)展解題策略的教學(xué)提供了重要啟示。也就是說(shuō)，我們應(yīng)由唯一強(qiáng)調(diào)各種具體解題策略（更一般地說(shuō)，是數(shù)學(xué)思維）的學(xué)習(xí)過(guò)渡到普遍性思維策略的學(xué)習(xí)與思維品質(zhì)的提升。特別是，我們應(yīng)努力幫助學(xué)生通過(guò)解決問(wèn)題的具體實(shí)踐逐步學(xué)會(huì)更清晰、更深入、更全面、更合理地進(jìn)行思考，并能努力提升思維的綜合（整體）性和靈活性、自覺(jué)性和創(chuàng)造性，等等。（當(dāng)然，我們又不應(yīng)將“具體解題策略的學(xué)習(xí)”與“普遍性思維策略的學(xué)習(xí)與思維品質(zhì)的提升”絕對(duì)地對(duì)立起來(lái)，這即為我們改進(jìn)教學(xué)指明了進(jìn)一步的努力方向。）

以下圍繞普遍性思維策略的學(xué)習(xí)與思維品質(zhì)的提升，對(duì)我們應(yīng)當(dāng)如何從事應(yīng)用題教學(xué)做出進(jìn)一步的分析。

具體地說(shuō)，應(yīng)用題教學(xué)的深化決不應(yīng)被理解成形式的變化，即如由所謂的“一步應(yīng)用題”過(guò)渡到“多步應(yīng)用題”，而主要是指“由簡(jiǎn)單走向復(fù)雜，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”。其中，后者不僅可以被看成數(shù)學(xué)發(fā)展的主要線索，也為學(xué)生具體學(xué)習(xí)各種解題策略特別是普遍性思維策略，包括努力提升思維的品質(zhì)，提供了重要途徑。

以下是這方面特別重要的幾個(gè)環(huán)節(jié)。

第一，辨識(shí)與求變。

前一節(jié)中已經(jīng)提到了題型的“辨識(shí)”對(duì)于解題活動(dòng)的特殊重要性，但就大多數(shù)情況而言，我們顯然不可能通過(guò)簡(jiǎn)單的問(wèn)題辨識(shí)與相關(guān)方法或解題模式的直接應(yīng)用就可順利地解決問(wèn)題，而必須針對(duì)具體情況做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整或變化。由此可見(jiàn)，對(duì)于這里所說(shuō)的“辨識(shí)”我們應(yīng)做更廣義的理解，也即應(yīng)當(dāng)更加重視新問(wèn)題與基本題型的對(duì)照比較，特別是要很好地弄清兩者的同與不同，這樣就可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兓ソ鉀Q問(wèn)題。

也正因如此，對(duì)于這里所說(shuō)的“求變”，我們就不應(yīng)混同于前面所提到的“變式理論”。因?yàn)?，我們?cè)诖怂P(guān)注的已不是如何能夠通過(guò)引入更多的變式幫助學(xué)生很好地掌握相關(guān)的題型與解題方法，而是如何能夠提高他們解決問(wèn)題的能力，特別是思維的靈活性與創(chuàng)造性。例如，就“和差問(wèn)題”的求解而言，學(xué)生往往首先需要依據(jù)題目中的條件求得所說(shuō)的“和”與“差”，或是必須對(duì)已求得的結(jié)果做出一定調(diào)整才能最終解決問(wèn)題。另外，問(wèn)題中所涉及的未知數(shù)也可能不是兩個(gè)而是增加到了三個(gè)或更多。

以下是更復(fù)雜的一些情況，如要求學(xué)生就某一特定情境自己去發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的條件或限制，或是通過(guò)若干基本題型的組合得出新的問(wèn)題⑤。例如，面對(duì)“年齡問(wèn)題”，我們不僅應(yīng)幫助學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)此類(lèi)問(wèn)題在很大程度上可看成“和差問(wèn)題”“和倍問(wèn)題”與“差倍問(wèn)題”的變形，而且也應(yīng)幫助他們很好地認(rèn)識(shí)此類(lèi)問(wèn)題的特征：盡管其中所涉及的年齡處于不斷變化中，但不同成員之間的年齡差又始終不變，這往往也是順利解決“年齡問(wèn)題”的關(guān)鍵。再例如，“水流問(wèn)題”顯然可被看成是由“和差問(wèn)題”與“路程問(wèn)題”組合而成，因?yàn)檫@正是此類(lèi)問(wèn)題的主要特征：船的順?biāo)俣仁谴撵o水速度與水流速度之和，其逆水速度則是兩者之差。

總之，為了切實(shí)提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，關(guān)鍵并不在于引入更多的題型，而是應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生積極地進(jìn)行思考，并能切實(shí)提升學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性。再者，上面的分析顯然也可被看成這樣一個(gè)原則的直接應(yīng)用：“數(shù)學(xué)基本技能的學(xué)習(xí)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求變”，盡管我們所關(guān)注的并非基本技能的學(xué)習(xí)，而是學(xué)生思維品質(zhì)的提升，特別是，能夠很好地掌握“求變”這樣一個(gè)普遍性的思維策略。

第二，整體分析與序的把握。

這是面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)應(yīng)當(dāng)特別重視的又一環(huán)節(jié)：相對(duì)于細(xì)節(jié)而言，我們應(yīng)當(dāng)更加重視整體的分析，包括確定解決問(wèn)題的關(guān)鍵，并能按照合理的順序一步一步地解決問(wèn)題。

由法國(guó)著名科學(xué)家、數(shù)學(xué)家彭加萊的以下論述，我們可以清楚地認(rèn)識(shí)到“整體分析”與“序的把握”兩者之間的重要聯(lián)系，以及這對(duì)于思維的清晰性和條理性的特殊重要性：“一個(gè)數(shù)學(xué)證明并不是若干三段論的簡(jiǎn)單并列，而是眾多三段論在確定的序之中的安置。這種使元素得以安置其中的序要比元素本身重要得多。一旦我感覺(jué)到，也可以說(shuō)，直覺(jué)到這個(gè)序，以致我一眼之下就領(lǐng)悟了整個(gè)推理，我就再也不必害怕會(huì)忘掉任何一個(gè)元素，因?yàn)槊總€(gè)元素都將在序中各得其所，而這是不需要我付出任何記憶上的努力的?！盵9]

也正因如此，善于整體分析包括對(duì)序的很好把握，就應(yīng)被看成又一重要的思維品質(zhì)。進(jìn)而，相對(duì)于這方面的專(zhuān)門(mén)教學(xué)而言，我們又應(yīng)當(dāng)更加重視這一思想在求解各類(lèi)應(yīng)用題時(shí)的具體應(yīng)用。這顯然是我們?cè)陂_(kāi)展“握手問(wèn)題”等與排列、組合密切相關(guān)的問(wèn)題，以及“一一列舉”等解題策略的教學(xué)所應(yīng)特別重視的一點(diǎn)，包括我們?nèi)绾文芎芎玫刈龅郊葻o(wú)遺漏也無(wú)重復(fù)，既非雜亂無(wú)章也非瑣碎、煩人。

在此，還應(yīng)特別重視“幾何圖示”（“結(jié)構(gòu)圖”）的作用。例如，為了用圖形表示出全部的解題過(guò)程，可以用“點(diǎn)”表示其中的已知及未知成分，用“線段”表示它們的聯(lián)系。顯然，按照這一做法，整個(gè)解題過(guò)程就被表示成了由已知點(diǎn)到未知點(diǎn)并由多條線段組成的一個(gè)幾何圖形，從而也就十分有益于解題者建立對(duì)于全部解題過(guò)程的整體性認(rèn)識(shí)和直觀把握。

以下是這方面的一個(gè)具體實(shí)例。

最后，依據(jù)上述分析，可更清楚地認(rèn)識(shí)到這樣一點(diǎn)：我們確實(shí)不應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)解題過(guò)程中究竟包括幾個(gè)步驟，而應(yīng)更加重視問(wèn)題的整體把握與思維的條理性。

第三，由“解題策略”轉(zhuǎn)向普遍性思維策略。

這是具體判斷一個(gè)策略能否被看成普遍性思維策略的主要標(biāo)準(zhǔn)，即其是否具有超出數(shù)學(xué)的普遍意義。顯然，就應(yīng)用題的教學(xué)而言，這也意味著我們不應(yīng)單純地從解決問(wèn)題這一角度去認(rèn)識(shí)各個(gè)解題策略的作用，將它們看成純粹的“解題術(shù)”，而應(yīng)注意分析它們是否具有更廣泛的意義。

例如，“畫(huà)圖”與“列表”顯然可被看成兩種具有廣泛意義的普遍性方法。另外，我們也可從同一角度對(duì)“假設(shè)法”的教學(xué)做出更深入的分析?！凹僭O(shè)法”是指，教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)更加突出“嘗試與誤差糾正（try and error）”這樣一個(gè)方法。因?yàn)?，后者相?duì)于單純的“假設(shè)”顯然具有更普遍的意義，特別是在科學(xué)研究中具有廣泛的應(yīng)用。

⑥ 不難看出，上述分析對(duì)于“問(wèn)題解決”也是基本適用的，而這事實(shí)上也正是國(guó)際上關(guān)于“問(wèn)題解決”的一點(diǎn)共識(shí)：由于我們?cè)诖怂鎸?duì)的并非是簡(jiǎn)單的練習(xí)題（nonroutine problem），從而就必須通過(guò)各種相關(guān)的知識(shí)與技能的綜合和創(chuàng)造性的應(yīng)用去求得問(wèn)題的解答。詳見(jiàn)另著《問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)教育》，江蘇教育出版社，1994，第40頁(yè)。

再者，從更高的層次進(jìn)行分析，我們又應(yīng)當(dāng)特別強(qiáng)調(diào)兩種普遍性的思維策略：“聯(lián)系的觀點(diǎn)”與“變化的思想”。另外，在一些學(xué)者看來(lái)，對(duì)于“特殊化與一般化”，也應(yīng)予以特別的重視。在筆者看來(lái)，教師也可聯(lián)系自己的教學(xué)實(shí)踐對(duì)此做出概括和總結(jié)。這直接關(guān)系到了這樣一點(diǎn)，即我們能否在學(xué)生離開(kāi)學(xué)校以后給他們留下一些具有普遍意義的東西。當(dāng)然，為了實(shí)現(xiàn)這樣一個(gè)目標(biāo)，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)始終堅(jiān)持這樣一點(diǎn)——“基本思想的學(xué)習(xí)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求用”。

第四，突出數(shù)量關(guān)系的分析。

在此應(yīng)再次強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，即應(yīng)當(dāng)將“數(shù)量關(guān)系的分析”很好地滲透、落實(shí)于應(yīng)用題教學(xué)的全部過(guò)程之中。

還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，從上述角度我們也可更清楚地認(rèn)識(shí)到“應(yīng)用題”與一般所謂的“練習(xí)題”之間的重要區(qū)別。后者的反復(fù)演練主要是為了幫助學(xué)生很好地掌握相應(yīng)的基本技能，包括養(yǎng)成較強(qiáng)的計(jì)算能力。也正因如此，就相應(yīng)的教學(xué)工作而言，強(qiáng)調(diào)的往往是“程序性觀念”，也即如何能夠按照指定步驟快而準(zhǔn)地進(jìn)行計(jì)算從而獲得所要求取的答案。與此相對(duì)照，應(yīng)用題教學(xué)則具有不同的性質(zhì)：此時(shí)我們并沒(méi)有直接告訴學(xué)生應(yīng)當(dāng)通過(guò)哪些計(jì)算并按照怎樣的順序去求得答案，而是必須依靠他們自身的努力發(fā)現(xiàn)具體的解題途徑。也正因如此，就應(yīng)用題的求解而言，我們應(yīng)特別關(guān)注問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的分析，也即應(yīng)當(dāng)更加突出“結(jié)構(gòu)性觀念”。也就是說(shuō)，對(duì)于應(yīng)用題，盡管我們?nèi)钥蓞^(qū)分出多種不同的類(lèi)型，但是又必須通過(guò)問(wèn)題中未知量與已知量之間關(guān)系（特別是等量關(guān)系）的分析發(fā)現(xiàn)具體的解題途徑，而“快而準(zhǔn)地進(jìn)行計(jì)算”則已退居到了次要的地位。當(dāng)然，應(yīng)用題教學(xué)主要是為了促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，而不只是學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)⑥。

最后，突出數(shù)量關(guān)系的分析也可被看成小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)很好地滲透代數(shù)思想提供了一個(gè)很好的切入點(diǎn)。因?yàn)?，后者并不?yīng)被理解成在小學(xué)盡早地去引入代數(shù)方法或其他一些明顯屬于代數(shù)范圍的內(nèi)容，而主要是指代數(shù)思想的滲透，“等量關(guān)系”（或者是“結(jié)構(gòu)性觀念”）則又正是后者十分重要的一個(gè)內(nèi)涵。另外，這顯然也為學(xué)生學(xué)習(xí)方程提供了重要基礎(chǔ)。

第五，注重優(yōu)化。

正如人們普遍認(rèn)識(shí)到的，與知識(shí)的簡(jiǎn)單積累或不斷糾錯(cuò)相比較，優(yōu)化更應(yīng)被看成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。而這又正是“通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)努力優(yōu)化思維”十分重要的一個(gè)含義，即思維品質(zhì)的提升。特別是，學(xué)生如何能夠逐步學(xué)會(huì)更清晰、更深入、更全面、更合理地進(jìn)行思考，包括努力提升思維的綜合（整體）和靈活性、自覺(jué)性和創(chuàng)造性，等等。

在此，還應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)（這也應(yīng)成為應(yīng)用題教學(xué)的一個(gè)重要目標(biāo)）：努力幫助學(xué)生養(yǎng)成“長(zhǎng)時(shí)間思考”與“反思”的習(xí)慣與能力。具體而言，由于無(wú)論是解題策略、方法的學(xué)習(xí)，或是思維品質(zhì)的提升，往往都有一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程，因此在教學(xué)中我們應(yīng)特別重視幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)長(zhǎng)時(shí)間的思考，包括努力創(chuàng)設(shè)必要的外部環(huán)境或課堂氛圍，以及對(duì)學(xué)生的不同意見(jiàn)采取更加寬容與理解的態(tài)度，等等。更重要的是，我們還應(yīng)努力使之成為學(xué)生的自覺(jué)行為，而不只是由于外部壓力的被動(dòng)行為。也正因如此，我們?cè)诮虒W(xué)中就應(yīng)對(duì)于總結(jié)與反思予以特別的重視，包括從整體高度對(duì)已建立的知識(shí)做出必要的“再認(rèn)識(shí)”。

顯然，按照上述的要求，應(yīng)用題教學(xué)將上升到一個(gè)更高的水平。當(dāng)然，就這方面的具體工作而言，我們又應(yīng)十分重視相應(yīng)的教學(xué)行為對(duì)于學(xué)生的可接受性。

具體而言，筆者認(rèn)為，小學(xué)中年段特別是四年級(jí)是開(kāi)始應(yīng)用題教學(xué)較為合適的一個(gè)時(shí)期。 但在做出相關(guān)努力的同時(shí)，我們又應(yīng)特別重視學(xué)生興趣的培養(yǎng)，而不要因?yàn)椴贿m當(dāng)?shù)靥岣唠y度而使學(xué)生完全喪失了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。另一方面，這是學(xué)生成長(zhǎng)更為合理的一個(gè)軌跡，從而也在很大程度上決定了基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教育乃至一般教育所應(yīng)實(shí)現(xiàn)的主要目標(biāo)：習(xí)慣—興趣—品質(zhì)—精神。

筆者衷心希望能有更多教師積極投入此項(xiàng)工作，從而真正做好傳統(tǒng)應(yīng)用題教學(xué)的當(dāng)代重建。

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