一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合問題解法研究

莫貧旺

[摘要]探討一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合問題的解法，以促進(jìn)學(xué)生提升解決問題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，

[關(guān)鍵詞]一次函數(shù);反比例函數(shù);綜合問題

[中圖分類號]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號]1674-6058（2020）05-0022-02

在中考中，將一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合起來考查屢見不鮮，這樣的考題不僅考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，還考查數(shù)學(xué)思想方法。

一、求函數(shù)表達(dá)式及比較函數(shù)值

一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像相交求解析式時(shí)，一般以反比例函數(shù)作為突破口，先求反比例函數(shù)解析式，再求一次函數(shù)解析式，比較兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，要結(jié)合圖形，找出分界點(diǎn)，左右兩邊分別討論，圖像在上方的函數(shù)值較大，圖像在下方的函數(shù)值較小，交點(diǎn)處函數(shù)值相等。

（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;

（2）根據(jù)圖像直接寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍。

分析：（1）把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，可得出反比例函數(shù)解析式，把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，可得到B的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式;（2）結(jié)合圖像，找一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)圖像上方時(shí)對應(yīng)的x的取值范圍。

點(diǎn)評：反比例函數(shù)只有一個(gè)待定系數(shù)，所以只需圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就可求得;一次函數(shù)有兩個(gè)待定系數(shù)，所以需要圖像上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)才可以求得，因此，求兩函數(shù)解析式時(shí)，以反比例函數(shù)作為突破口為宜，比較兩函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，自變量x的值常以圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和原點(diǎn)O作為分界，把x的值分為四個(gè)部分，要結(jié)合圖像逐段進(jìn)行分析。

二、求三角形的面積

一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像可以有0個(gè)、1個(gè)或2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，直線與雙曲線的交點(diǎn)落在兩個(gè)象限時(shí)，構(gòu)成鈍角三角形，此時(shí)需要分解為兩個(gè)三角形，用面積的加法求面積;直線與雙曲線的交點(diǎn)在同一象限時(shí)，構(gòu)成銳角三角形，此時(shí)需要將所求三角形看成兩個(gè)三角形的面積差，用面積的減法求面積，在求三角形面積前，應(yīng)先求出圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)。

點(diǎn)評：同一直線上兩點(diǎn)的距離等于它們相應(yīng)坐標(biāo)的差的絕對值，這樣可以表示出某些線段的長，在去絕對值符號時(shí)，注意有兩種情況：大于0或小于0.再者，a、b絕對值的積或商等于它們積或商的絕對值，這樣可以將兩個(gè)絕對值化為一個(gè)絕對值，使問題得到簡化，

（責(zé)任編輯：黃桂堅(jiān)）