一道數(shù)學(xué)分析課后習(xí)題的多種解法與解后思考

【摘要】分享一道數(shù)學(xué)分析課程習(xí)題的若干解法，并結(jié)合解題過程，闡述了解答一系列相關(guān)問題的想法.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析;習(xí)題課;一題多解;多題一解

【基金項目】成都師范學(xué)院校級教改一般項目（2020JG38）.

引 言

數(shù)學(xué)分析課程，即一門引導(dǎo)學(xué)生利用極限、微分、積分等概念工具分析函數(shù)特性的課程.數(shù)學(xué)分析是本科數(shù)學(xué)專業(yè)的核心主干課程之一.習(xí)題課即引導(dǎo)學(xué)生重新分析自己做過的課后習(xí)題，發(fā)現(xiàn)解題錯誤與漏洞，并重新給出正確完整解答的環(huán)節(jié).與其他本科階段的數(shù)學(xué)課程一樣，數(shù)學(xué)分析的習(xí)題課教學(xué)目的任務(wù)集中，但是內(nèi)容繁多，容易跌入教學(xué)效率低、課堂組織松散等困境.為成功“避開”這些教學(xué)困境，筆者發(fā)現(xiàn)選擇一些相關(guān)度高的習(xí)題（甚至是例題）進(jìn)行精講、細(xì)講是一條有效途徑.本文旨在分享一系列相關(guān)且有極高教學(xué)價值的課后習(xí)題.這其中最經(jīng)典的問題是：

討論數(shù)項級數(shù)

∑∞n=1（n+2-2n+1+n）（*）

的收斂性.此題為華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編撰的《數(shù)學(xué)分析：第四版》的第十二章第1節(jié)的課后習(xí)題第1題第（4）問.此題形式結(jié)構(gòu)經(jīng)典但不算復(fù)雜，難度適中，大部分學(xué)生經(jīng)過思考能找到解答它的正確思路，能幫助缺乏解題經(jīng)驗的學(xué)生積累更多經(jīng)驗，能給解題經(jīng)驗豐富的學(xué)生帶來“正反饋”.因此，級數(shù)（*）具有極高的教學(xué)研究價值.本文的結(jié)構(gòu)安排是：先給出判定級數(shù)（*）收斂的幾種方法，再結(jié)合解題過程與教學(xué)經(jīng)驗，分享筆者的若干教學(xué)思考.

一、判定級數(shù)（*）收斂的若干方法

方法1（按級數(shù)收斂的定義） 直接計算，可得

SymbolnB@得出級數(shù)收斂的結(jié)論，此類方法的優(yōu)點是想法直接樸素，還可順帶看出級數(shù)的和，困難之處在于對部分?jǐn)?shù)列而言，它們的部分和數(shù)列很難化簡，從而很難判斷出部分和數(shù)列是否發(fā)散.

方法2（比較判別法） 經(jīng)計算，有

n+2-2n+1+n

=1n+2+n+1-1n+1+n=-2（n+n+1）（n+1+n+2）（n+2+n）.

借此可進(jìn)一步得，n+2-2n+1+n<14nn.

因∑∞n=114nn收斂，故由比較判別法，級數(shù)（*）絕對收斂（更是收斂）.

SymbolnB@得出原級數(shù)收斂（發(fā)散）的結(jié)論.此類方法的困難之處在于找到合適的上界（下界）級數(shù)，缺點之一是（收斂的情形下）不能直接看出原級數(shù)的和，優(yōu)點是一旦找到了合適的上界（下界）級數(shù)，上界（下界）級數(shù)的收斂性（發(fā)散性）很容易得到判定.

方法3（比較判別法） 經(jīng)計算，有n+1-n=1n+1+n，12n+1

且12n+2

故0

因∑∞n=11nn收斂，故由比較判別法，級數(shù)（*）絕對收斂（更是收斂）.

注3 方法3與方法2本質(zhì)想法一樣，都是比較判別法.與方法2相比，方法3中的代數(shù)運算過程簡潔，但是不等式放縮技術(shù)更加高明.比較這兩種方法可以看出，在運用比較判別法討論級數(shù)斂散性的過程中，上界級數(shù)或下界級數(shù)的選取方法并不唯一.另外，借助不等式放縮

1n-1n+2=1n+21+2n-1<2nn+2<2nn，

得到n+2-2n+1+n<2nn.這些不等式放縮經(jīng)驗實際上具有極大的啟發(fā)意義.

方法4（比較判別法） 經(jīng)計算，有

limn→∞|n+2-2n+1+n|1nn=limn→∞2nn（n+n+1）（n+1+n+2）（n+2+n）=14.

因∑∞n=11nn收斂，故由比較判別法（極限版本），級數(shù)（*）絕對收斂（更是收斂）.

SymbolnB@得出原級數(shù)的斂散性的結(jié)論.方法4與方法2，3有相似的困難，即找到合適的“參考級數(shù)”即∑∞n=11nn.方法4的優(yōu)點之一是，不需要像方法2與3那樣，借助巧妙的不等式放縮技術(shù).在運用極限版本的比較判別法討論級數(shù)（*）的斂散性的過程中，還可借助其他方法完成計算極限的環(huán)節(jié).例如，借助Taylor公式，可得：當(dāng)n→∞時，

n+2=n1+2n12=n1+1n-12n2+o1n2

=n+1n-12nn+o1nn，

n+1=n1+1n12

=n+12n-18nn+o1nn.

借此可得limn→∞|n+2-2n+1+n|1nn=14.

二、總結(jié)與解后反思

在上一部分內(nèi)容中，給出了幾種判定級數(shù)（*）收斂的方法.從結(jié)果可以看出，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編撰的《數(shù)學(xué)分析：第四版》上冊的第二章總練習(xí)題第1題第（3）問的答案是limn→∞（n+2-2n+1+n）.還有一類題與級數(shù)（*）緊密相關(guān)但關(guān)聯(lián)極其隱蔽.為方便閱讀，首先寫出下述結(jié)論：若函數(shù)f（x）在點x0處二階可微，則limh→0f（x0+h）+f（x0-h）-2f（x0）h2=f″（x0）.借助這一結(jié)論，結(jié)合適當(dāng)?shù)恼碜冃危傻?/p>

n+2-2n+1+n

=n+11+1n+1-2+1-1n+1，

進(jìn)一步可得

limn→∞1+1n+1-2+1-1n+11（n+1）2

=（x）″x=1=-14.

這一結(jié)果事實上加深了對級數(shù)（*）的認(rèn)識.另外，通過這些分析還可發(fā)現(xiàn)，下冊教材第2節(jié)課后習(xí)題第1題第（9）問，即判定∑∞n=1（a1n+a-1n-2）的斂散性，也與級數(shù)（*）緊密相關(guān).本文給出的判定級數(shù)（*）收斂的方法對解答上冊教材的第二章總練習(xí)題第8題第（3）問，即計算數(shù)列極限limn→∞[（n+1）α-nα]，上冊教材第2節(jié)課后習(xí)題第1題第（4）問，即計算數(shù)列極限limn→∞（n2+n-n），上冊教材第2節(jié)例5，即計算數(shù)列極限limn→∞n（n+1-n），都有極大的啟發(fā)意義.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：第四版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]王成強(qiáng).探究式教學(xué)在數(shù)學(xué)分析復(fù)習(xí)課的應(yīng)用[J].貴陽學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2020，15（02）：96-99.