讓數(shù)學(xué)概念在模型思想中生長

徐瑞

【摘要】數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映.數(shù)學(xué)的研究對象是客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式，也就是說要想學(xué)好數(shù)學(xué)首先要弄清數(shù)學(xué)概念.2011版《新課程標準》指出：在數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的模型思想.模型思想在概念教學(xué)中的體現(xiàn)就是要從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，或把抽象的概念利用模型思想與現(xiàn)實生活或具體情境建立聯(lián)系，形成模型，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)概念;模型思想;提高效率

2011版《新課程標準》指出：在數(shù)學(xué)課程中應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想.其中，模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，或把抽象的概念利用模型思想與現(xiàn)實生活或具體情境建立聯(lián)系，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識.

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映.數(shù)學(xué)的研究對象是客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式，也就是說要想學(xué)好數(shù)學(xué)首先要弄清數(shù)學(xué)概念.小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念，包括數(shù)的概念、運算的概念、量與計量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及統(tǒng)計初步知識的有關(guān)概念等.這些概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要內(nèi)容，它們是互相聯(lián)系著的.只有明確、牢固地掌握數(shù)的概念，才能理解運算概念，而運算概念的掌握，又能促進數(shù)的整除性概念的形成.那么，如何才能在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中運用模型思想，把抽象、乏味的數(shù)學(xué)概念與生活實際或具體情境建立聯(lián)系，從而減小學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升教師的教學(xué)效率呢？

一、巧設(shè)情境，建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系

概念教學(xué)是以學(xué)生學(xué)習(xí)、探討客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性為宗旨的課堂教學(xué).小學(xué)數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)知識，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，學(xué)生只有正確理解和掌握數(shù)學(xué)概念才能有效地進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).對抽象概念的教學(xué)要弄清概念的本質(zhì)，只有弄清本質(zhì)才能在生活中找出其原型并幫助學(xué)生建立概念模型，從而達到理解和掌握概念的目的.

例如，教授減法的性質(zhì)a-b-c=a-（b+c）時，教師通常的做法是讓學(xué)生通過計算幾組a-b-c式的題目與幾組a-（b+c）式的題目，通過比較發(fā)現(xiàn)結(jié)果相等，從而推導(dǎo)出a-b-c=a-（b+c），學(xué)生鑒于當(dāng)時的臨時記憶似乎也能明白，之后通過大量的練習(xí)鞏固，好像也會應(yīng)用.但一旦在簡便計算中出現(xiàn)a-b+c或a-（b-c）題型時，學(xué)生的錯誤隨之產(chǎn)生，所有的問題一下子就完全暴露出來了.究其原因就是因為學(xué)生對減法的性質(zhì)的本質(zhì)沒有完全理解，頭腦中沒有相應(yīng)的模型，從而產(chǎn)生混亂并出現(xiàn)錯誤.

鑒于此，筆者設(shè)計了如下的教學(xué)環(huán)節(jié)：快要開學(xué)了，小明的媽媽帶了100元錢去商店準備給小明買一支鋼筆和一個書包，已知鋼筆每支22元，書包每個48元，買完東西后媽媽還剩多少元錢？學(xué)生自然會想到100-22-48和100-（22+48）兩種方法.這時教師適時追問：這兩種方法都可以嗎？它們的運算順序有什么不同？不同的運算順序說明了什么？從而讓學(xué)生感受到買一樣?xùn)|西付一樣錢與兩樣?xùn)|西一起買一起付錢結(jié)果是一樣的.這時，教師再把這個問題抽象成數(shù)學(xué)問題，學(xué)生順理成章地就明白了相應(yīng)的道理.有了這樣的模型基礎(chǔ)，學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中便簡單、容易了很多.為了加強學(xué)生對知識的理解，我還設(shè)計了幾個a-b-c式和a-（b+c）式的題目，讓學(xué)生根據(jù)算式編情境，讓學(xué)生從本質(zhì)上理解減法的性質(zhì)，提高學(xué)生對知識的理解和掌握程度.所以說如果教師在教授數(shù)學(xué)概念時能夠設(shè)置合適的教學(xué)情境，將數(shù)學(xué)概念蘊含在情境中，讓學(xué)生感受到概念與模型之間的聯(lián)系，學(xué)生的學(xué)習(xí)自然會輕松很多，教師的課堂教學(xué)效果當(dāng)然也會提高很多.

二、深度挖掘教材內(nèi)涵，弄清數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

根據(jù)小學(xué)生的年齡特點和接受能力，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的概念以描述式和定義式兩種表示方式呈現(xiàn)的最多.所謂定義式就是用簡明且完整的語言揭示概念的內(nèi)涵或外延的方法，例如，“有一個角是直角的三角形是直角三角形”;描述式則是用一些生動、具體的語言對概念進行描述，如，“我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1，2，3，4，5，……叫自然數(shù)”.

其實，不管是利用哪一種表示方式表示概念，其目的都是一致的，就是便于學(xué)生理解、掌握和運用.筆者個人覺得，除了運用不同表示方式表示概念之外，深度挖掘教材內(nèi)涵，理解概念的本質(zhì)更為重要，因為只有理解概念的本質(zhì)才能從根本上對概念進行理解和運用.

例如，教授“分數(shù)的基本性質(zhì)”一課時，筆者首先設(shè)計了一個動手折紙的環(huán)節(jié)，目的非常明確.一是通過折紙讓學(xué)生初步感知分數(shù)的基本性質(zhì)——分數(shù)的分子和分母同時乘或除以一個相同的數(shù)，分數(shù)的大小不變;二是通過折紙讓學(xué)生對分數(shù)的基本性質(zhì)建立初步的模型，即折紙的變化并沒有讓分數(shù)的大小產(chǎn)生變化.之后，筆者設(shè)計了第二個教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過比較、猜測、驗證、合作等方式初步得出分數(shù)的基本性質(zhì)，建立對這個概念的表象理解.第三個環(huán)節(jié)非常重要，筆者設(shè)計了三個問題：（1）看到這個性質(zhì)是不是有一種似曾相識的感覺？（2）和誰相似？（3）哪兒相似？目的是要讓學(xué)生通過聯(lián)系舊知識深化對新知識的理解和掌握，同時是要讓學(xué)生明白知識與知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，以及分數(shù)的基本性質(zhì)的本質(zhì)是與“商不變規(guī)律”是一樣的.在第四個環(huán)節(jié)筆者設(shè)計了一個練習(xí)題，讓學(xué)生看圖填一填、涂一涂.

23? =? 4（??? ）

1216? =? （??? ）4

之前教授這個內(nèi)容時，筆者只把這個題目當(dāng)成了基本的應(yīng)用，充其量也就是多了圖形的填涂或動手操作而已，只是覺得這個就是體現(xiàn)了新課程標準的一些新思想而已，根本沒當(dāng)回事.是一次市級優(yōu)課選拔賽改變了筆者對這個題目的看法.因為在一次試教之后反思時，筆者發(fā)現(xiàn)這個題目可以用模型思想來解決問題，而且效果更好.從23到46看似將分子、分母同時乘2，實際上不也是把原來每塊平均分成2份的過程嗎，這里面蘊含著一個“分”的模型思想;從1216到34是將分數(shù)的分子和分母同時除以4，實際上不也是將原來每4份合成1份嗎，這里面蘊含著一個“合”的模型思想.由此，筆者發(fā)現(xiàn)對很多概念，只要深度挖掘，找出概念的本質(zhì)，運用模型思想解決起來效果會更好.

三、勤于思考，巧用“模型”思想解決疑難問題

記得上班的前幾年，每每講到分數(shù)中“分母不能為0”與“分子可以為0”時，總會提到一句話：分數(shù)中的分母和分子分別相當(dāng)于除法中的什么？（除數(shù)、被除數(shù)）“除數(shù)”可以是0嗎？（不可以）“被除數(shù)”可以是0嗎？（可以）所以“分母不能為0，分子可以是0”，并一度覺得這樣的解釋恰到好處.可是有一次一名學(xué)生的一個問題讓筆者不得不開始反思自己過往的教學(xué)是否真的讓學(xué)生明白了！學(xué)生問道：“老師，為什么除法中‘被除數(shù)可以為0而‘除數(shù)不能為0呢？”“是啊，為什么呢？”筆者開始思考這個問題.

一次偶然的機會讓筆者找到了答案.一個同事家的小孩上三年級剛學(xué)除法，遇到了一個問題向筆者請教.幼兒園老師買來60個蛋糕準備分給30個小朋友，問每人可以分幾個.給同事家小孩講解之后筆者對為什么“除數(shù)不能為0而被除數(shù)可以為0”這個問題也豁然開朗.是啊，除法不就是一個平均分東西的過程嗎.被除數(shù)不就是物品總數(shù)嗎，所以當(dāng)然可以為0，可以理解為沒有東西分嗎.除數(shù)則不同了，除數(shù)不就相當(dāng)于小朋友的人數(shù)嗎，如果除數(shù)是0的話不就相當(dāng)于一堆東西沒人要，那怎么分呢.同樣的道理，分數(shù)中的問題自然也就迎刃而解了.

由此，筆者不禁在想，如果我們在教學(xué)中能夠多一些思考，對抽象的問題能多聯(lián)系舊知識，多運用模型思想幫助學(xué)生把新舊知識建立聯(lián)系，把概念與模型建立聯(lián)系，我們的數(shù)學(xué)概念教學(xué)定會簡單很多，課堂教學(xué)的效率自然也會提升不少.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]范文貴.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.