遞歸模型視角下數(shù)學(xué)概念理解的研究

方娜　吳華

[摘 要]數(shù)學(xué)概念理解是提升問(wèn)題解決能力和高階思維能力的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域至關(guān)重要。數(shù)學(xué)理解的遞歸模型為揭示概念理解過(guò)程提供了新視角。基于遞歸模型，遵循客觀抽象與直觀具體、歷史順序與“超回歸”倒序、證偽與證實(shí)、行為實(shí)踐與表達(dá)證明的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，重構(gòu)數(shù)學(xué)概念教學(xué)模型，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念理解。

[關(guān)鍵詞]遞歸模型;數(shù)學(xué)概念理解;融通;分?jǐn)?shù)概念教學(xué)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2020）05-0024-03

在數(shù)學(xué)研究或數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)概念理解一直是國(guó)內(nèi)外討論的重要話題。1989年全美數(shù)學(xué)教師理事會(huì)（National Council of Teachers of Mathematics，簡(jiǎn)稱NCTM）明確提出：“數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)應(yīng)該是‘?dāng)?shù)學(xué)概念和理解，數(shù)學(xué)教育研究者和教學(xué)設(shè)計(jì)者要將數(shù)學(xué)理解作為數(shù)學(xué)研究的首要重點(diǎn)?！薄镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出：“在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本思想的理解和掌握，對(duì)一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)習(xí)者逐步加深理解?！睌?shù)學(xué)概念理解在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中至關(guān)重要，但當(dāng)前的概念教學(xué)卻存在形式化的現(xiàn)象：引入概念時(shí)背景著墨不夠，導(dǎo)致學(xué)習(xí)者對(duì)教學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少;以解題教學(xué)代替概念教學(xué)，本末倒置。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)，關(guān)鍵是要細(xì)化數(shù)學(xué)概念的理解層級(jí)，揭示學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解進(jìn)程，同時(shí)遵循客觀抽象與直觀具體、歷史順序與“超回歸”倒序、證實(shí)與證偽、行為實(shí)踐與表達(dá)證明有機(jī)融合的原則。課程開發(fā)者和教師可以根據(jù)數(shù)學(xué)概念理解的層級(jí)與原則來(lái)設(shè)計(jì)課程或組織教學(xué)。下面通過(guò)數(shù)學(xué)概念理解的遞歸模型和分?jǐn)?shù)概念的實(shí)例分析，探索理解過(guò)程的新視角和概念教學(xué)的新策略。

一、數(shù)學(xué)概念理解及其遞歸模型

1.數(shù)學(xué)概念理解的內(nèi)涵

在《辭?！分?，“理解”是指了解、領(lǐng)會(huì)，深入解釋為對(duì)新事物的認(rèn)識(shí)是通過(guò)揭露事物間聯(lián)系的過(guò)程。《全日制義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》將“理解”解釋為“能描述對(duì)象的特征和由來(lái);能明確地闡述此對(duì)象與有關(guān)對(duì)象之間的區(qū)別和聯(lián)系”。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的概念理解，應(yīng)由學(xué)習(xí)者對(duì)已學(xué)東西的意義不斷更新、改造、組織、整理，建構(gòu)有序的整體，從整體內(nèi)部進(jìn)行正逆向、交叉、跳躍式的聯(lián)系，從總體中認(rèn)識(shí)局部的、孤立的概念之間的內(nèi)部聯(lián)系，以抓住本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)概念理解的遞歸模型以嶄新的視角，直觀形象地揭示學(xué)習(xí)者進(jìn)行數(shù)學(xué)概念理解的層次及條件。

2.數(shù)學(xué)概念理解的遞歸模型

（1）數(shù)學(xué)概念理解的遞歸模型簡(jiǎn)介

1989年，Pirie和Kieren結(jié)合認(rèn)識(shí)與認(rèn)識(shí)論障礙、概念定義與概念表象、多元表征、操作性概念與結(jié)構(gòu)性概念等理論，提出了數(shù)學(xué)概念理解的遞歸模型。數(shù)學(xué)概念理解分為八個(gè)水平，分別為：“Primitive Knowing（原始認(rèn)知）”“Image Making（產(chǎn)生表象）”“Image Having（形成表象）”“Property Noticing（關(guān)注性質(zhì)）”“Formalising（形式化）”“Observing（觀察述評(píng)）”“Structuring（構(gòu)造化）”“Inventing（發(fā)明創(chuàng)造）”（如圖1）。后繼研究者又將八個(gè)理解水平精簡(jiǎn)為四個(gè)：數(shù)學(xué)活動(dòng)、表象、形式化、構(gòu)造化（如圖2）。模型各個(gè)水平間“超越回歸式”的相互包含，從認(rèn)知的觀點(diǎn)認(rèn)為數(shù)學(xué)概念理解的增長(zhǎng)非直線式的發(fā)展，而是一種整體的、有層次的、超越回歸的心理過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中獲得并應(yīng)用一個(gè)靜態(tài)的數(shù)學(xué)概念。

（2）數(shù)學(xué)理解的遞歸模型特點(diǎn)

超越性：外層理解水平包含和發(fā)展內(nèi)層理解水平，并將內(nèi)層理解水平協(xié)調(diào)統(tǒng)一。內(nèi)層理解是外層理解的基礎(chǔ)，外層理解是內(nèi)層理解的升華。

回歸性：這是數(shù)學(xué)概念理解的關(guān)鍵組成部分和核心特征。它揭示了理解過(guò)程的非線性，當(dāng)在任何層級(jí)遇到不能立即解決的問(wèn)題時(shí)，學(xué)習(xí)者需要返回到原有的、內(nèi)在的層級(jí)，重建和完善對(duì)內(nèi)在層級(jí)的理解，以支持、加深對(duì)外在層級(jí)的理解。這種返回的認(rèn)知活動(dòng)與最初的認(rèn)知活動(dòng)不同，它的水平更高、更有效。回歸行為在深化數(shù)學(xué)概念理解的過(guò)程中并非都必要，回歸的有效性取決于學(xué)習(xí)環(huán)境和學(xué)習(xí)者個(gè)人，特別是當(dāng)學(xué)習(xí)者被鼓勵(lì)折回內(nèi)層收集特定的信息時(shí)，這種回歸變得更有效，因?yàn)樗鼛в心康男浴?/p>

行為與表達(dá)的互補(bǔ)性：這是層次本身的結(jié)構(gòu)特征，出現(xiàn)在“產(chǎn)生表象”“形成表象”“關(guān)注性質(zhì)”三個(gè)層級(jí)中，超越原始認(rèn)知的每一個(gè)層級(jí)都是由行動(dòng)與表達(dá)的互補(bǔ)組成的?！皡⑴c”“回顧”“觀看”“表達(dá)”“預(yù)測(cè)”和“記錄”是數(shù)學(xué)概念理解由內(nèi)層向外層的發(fā)展和過(guò)渡。

（3）概念數(shù)學(xué)理解的遞歸模型誤區(qū)

學(xué)習(xí)者對(duì)某一個(gè)數(shù)學(xué)概念的原始認(rèn)知并非是最低級(jí)認(rèn)知。在沒(méi)有掌握基本概念之前積累的知識(shí)將被嵌入新的理解層次中。如圖3，學(xué)習(xí)者掌握分?jǐn)?shù)概念后，會(huì)將對(duì)分?jǐn)?shù)概念的高層次認(rèn)知作為理解小數(shù)的原始認(rèn)知。

數(shù)學(xué)概念理解的遞歸模型的最外層被稱為“發(fā)明創(chuàng)造”，并非學(xué)習(xí)者在其他層面上無(wú)“發(fā)明創(chuàng)造”：在“產(chǎn)生表象”層級(jí)，學(xué)習(xí)者能夠根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，建構(gòu)具有數(shù)學(xué)意義的實(shí)際情境，并對(duì)實(shí)際情境有合理的考量，這種“發(fā)明創(chuàng)造”更符合學(xué)習(xí)者的心智與認(rèn)知。

二、遞歸模型視角下數(shù)學(xué)概念教學(xué)模型的重構(gòu)

1.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略

（1）數(shù)學(xué)概念教學(xué)體現(xiàn)客觀抽象與直觀具體的融通

數(shù)學(xué)概念從數(shù)量關(guān)系或空間形式來(lái)反映事物的本質(zhì)特點(diǎn)，多以定義的形式表述，具有簡(jiǎn)潔性、概括性、抽象性。學(xué)習(xí)者在接觸某個(gè)新的概念時(shí)，最佳的學(xué)習(xí)方法是通過(guò)模型直觀和實(shí)踐參與，產(chǎn)生和形成相關(guān)知識(shí)的表象。引入一個(gè)與原來(lái)概念相關(guān)的新概念時(shí)，靈活地把上一種概念的表征方式作為下一種概念呈現(xiàn)的表象，可提升對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的關(guān)聯(lián)性理解，實(shí)現(xiàn)概念不同表征方式間的融通，優(yōu)化概念形成和概念同化過(guò)程。

（2）數(shù)學(xué)概念教學(xué)體現(xiàn)歷史順序與“超回歸”倒序的融通

歷史發(fā)生原理指出，個(gè)體知識(shí)的發(fā)生過(guò)程遵循人類知識(shí)的發(fā)展過(guò)程。近年來(lái)，將歷史發(fā)生原理應(yīng)用于數(shù)學(xué)教育，更是得到眾多實(shí)證研究的肯定?！俺貧w”倒序，是指每當(dāng)引入新的概念意義時(shí)，都應(yīng)“超回歸”到已學(xué)習(xí)過(guò)的原有概念的意義。為了使學(xué)習(xí)者理解數(shù)學(xué)概念的多種意義，教材編寫和教學(xué)既要以數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展為主線，將學(xué)科體系有機(jī)地融入教學(xué)設(shè)計(jì)中，又要兼顧個(gè)體對(duì)概念意義的理解具有“超回歸”倒序的特點(diǎn)，允許存在學(xué)習(xí)上的反復(fù)，使學(xué)習(xí)者有時(shí)間、有機(jī)會(huì)對(duì)自己的思維活動(dòng)進(jìn)行反省，加深對(duì)新知識(shí)的理解。在進(jìn)行外層次教學(xué)時(shí)要為學(xué)習(xí)者設(shè)計(jì)折回的機(jī)會(huì)，凸顯新舊知識(shí)間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者獲得對(duì)數(shù)學(xué)概念的正確理解。

（3）數(shù)學(xué)概念教學(xué)體現(xiàn)證實(shí)與證偽的融通

證實(shí)就是證明一個(gè)問(wèn)題的真實(shí)性。證偽思想則來(lái)源于波普爾的證偽主義。客觀地說(shuō)，證實(shí)只是部分解決了“是什么”和“為什么”，卻不揭示“真”和“偽”之間的界限，而這一界限對(duì)學(xué)習(xí)者真正理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)是十分必要的。在概念教學(xué)中，如何兼顧證實(shí)與證偽是研究者應(yīng)當(dāng)慎重思考的問(wèn)題，適度設(shè)置偽命題，能使學(xué)習(xí)者明確真假命題的界限，掌握概念的性質(zhì)。但過(guò)度設(shè)置偽命題，可能會(huì)誘導(dǎo)學(xué)習(xí)者的思維朝錯(cuò)誤的方向發(fā)展。證偽與證實(shí)的融通將促進(jìn)學(xué)習(xí)者理解概念的本質(zhì)，推動(dòng)理解進(jìn)程向更高層發(fā)展。

（4）數(shù)學(xué)概念教學(xué)體現(xiàn)行為實(shí)踐和表達(dá)證明的融通

理解和掌握數(shù)學(xué)概念需要花費(fèi)大部分時(shí)間參與活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)、概括活動(dòng)的規(guī)律，合作交流，解決相關(guān)問(wèn)題。歐內(nèi)斯特曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)是對(duì)話，數(shù)學(xué)證明是一種特殊的敘事……證明是用來(lái)說(shuō)服數(shù)學(xué)共同體中其他成員接受一個(gè)陳述或一組陳述為數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)文本。”根據(jù)數(shù)學(xué)概念理解的遞歸模型，“參與”“回顧”“觀看”“表達(dá)”“預(yù)測(cè)”和“記錄”是數(shù)學(xué)理解層級(jí)由內(nèi)而外發(fā)展的過(guò)渡，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師可給出數(shù)學(xué)表達(dá)式，由學(xué)習(xí)者設(shè)計(jì)具體情境下符合該數(shù)學(xué)表達(dá)式的問(wèn)題并動(dòng)手操作，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)意義與實(shí)際情境的雙向建構(gòu)，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念理解由最初的原始認(rèn)知向最后的發(fā)明創(chuàng)造過(guò)渡。

2.數(shù)學(xué)概念教學(xué)模型的重構(gòu)

基于數(shù)學(xué)”理解的遞歸模型和數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略，重構(gòu)數(shù)學(xué)概念教學(xué)進(jìn)程（如圖4），即數(shù)學(xué)活動(dòng)階段、表象階段、形式化階段、構(gòu)造化階段。

三、 分?jǐn)?shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)

1.遞歸模型視角下分?jǐn)?shù)概念教學(xué)模型的重構(gòu)

近20年，研究者對(duì)分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的關(guān)注點(diǎn)主要在分?jǐn)?shù)基本概念的理解。在目前的研究中，有的學(xué)者著眼于分?jǐn)?shù)定義研究，有的學(xué)者從教學(xué)與數(shù)學(xué)兩個(gè)層面來(lái)探討分?jǐn)?shù)本質(zhì)。不管從哪個(gè)角度展開研究，最終都要回到對(duì)分?jǐn)?shù)意義理解這一基本問(wèn)題上。因此，就小學(xué)分?jǐn)?shù)的理解與教學(xué)而言，首先應(yīng)探討其意義。

J.Pack等學(xué)者根據(jù)分?jǐn)?shù)意義的歷史演變，將分?jǐn)?shù)分為“部分/整體”“測(cè)量”“除法” “集合論”這四種意義（“集合論”的意義在小學(xué)階段幾乎不提及）。王光明等學(xué)者借鑒 Nurgul Duzenli-Gokalp和 Manjula Devi-Sharma 的思想，基于數(shù)學(xué)概念理解遞歸模型的內(nèi)涵，構(gòu)造出分?jǐn)?shù)意義理解的數(shù)學(xué)概念理解模型（如圖5），并指出分?jǐn)?shù)的外層意義是建立在內(nèi)層意義基礎(chǔ)上的，綜合與發(fā)展了內(nèi)層意義，對(duì)內(nèi)層意義的及時(shí)回顧，將有助于學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)新的分?jǐn)?shù)意義。借鑒上述學(xué)者觀點(diǎn)，筆者建構(gòu)了融通歷史順序和“超回歸”倒序的分?jǐn)?shù)教學(xué)模型，如圖6。

2.分?jǐn)?shù)概念教學(xué)的策略

（1）創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)者生活結(jié)合點(diǎn)情境，感悟分?jǐn)?shù)意義

在北師大版教材中，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)最早出現(xiàn)在三年級(jí)上冊(cè)，通過(guò)對(duì)“平均分割月餅”的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)習(xí)者體會(huì)“部分/整體”的意義;在五年級(jí)，利用“丈量物體”的方式，讓學(xué)習(xí)者初步感知分?jǐn)?shù)的“測(cè)量”意義;在六年級(jí)，通過(guò)對(duì)“乘法的逆運(yùn)算”等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，讓學(xué)習(xí)者建立乘法與除法之間的運(yùn)算關(guān)系，從而引出分?jǐn)?shù)的“除法”意義。

（2）融通歷史順序和“超回歸”倒敘，內(nèi)化分?jǐn)?shù)概念

分?jǐn)?shù)意義演變的歷史順序，是指從低年級(jí)到高年級(jí)依次引入“部分/整體”“測(cè)量”“除法”三種分?jǐn)?shù)意義。分?jǐn)?shù)意義的“超回歸”倒序表現(xiàn)為，在引入“測(cè)量”意義時(shí)，又對(duì)“部分/整體”意義進(jìn)行了嚴(yán)格定義和再學(xué)習(xí)。在六年級(jí)引入“除法”意義時(shí)，又回歸到了“部分/整體”與“測(cè)量”意義。例如，對(duì)“部分/整體”意義的回顧，主要運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)（把一張紙的4/5平均分成2份），有助于增強(qiáng)學(xué)習(xí)者對(duì)“除法”意義的理解。這種順序與倒序的融通，符合學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解進(jìn)程與認(rèn)知規(guī)律，從而更好地理解分?jǐn)?shù)的概念。

（3）兼顧“證實(shí)”與“證偽”， 凸顯分?jǐn)?shù)本質(zhì)

動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是由不確定知識(shí)到確定知識(shí)的漸進(jìn)過(guò)程，在探尋結(jié)論的過(guò)程中，“證偽”起著非常重要的作用，在確定結(jié)論的時(shí)候，“證實(shí)”又發(fā)揮著不可替代的作用。在分?jǐn)?shù)概念教學(xué)中，可適度設(shè)置如圖7所示的問(wèn)題，融通“證實(shí)”與“證偽”， 凸顯分?jǐn)?shù)本質(zhì)。

（4）融通數(shù)學(xué)與生活，形成分?jǐn)?shù)概念體系

分?jǐn)?shù)概念可以表征多種相關(guān)但不同的意義，掌握分?jǐn)?shù)概念的重要標(biāo)志是不同層級(jí)意義的融通。在教學(xué)小數(shù)概念時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)習(xí)者思考小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系與區(qū)別，進(jìn)行“超回歸”倒序?qū)W習(xí)，更好地實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)概念的高層次認(rèn)知向小數(shù)概念認(rèn)知的過(guò)渡，從而加深分?jǐn)?shù)概念的理解，促進(jìn)小數(shù)概念的獲得。只有融通相關(guān)概念，融通數(shù)學(xué)與生活，才能形成數(shù)學(xué)概念體系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念理解由原始認(rèn)知層級(jí)向發(fā)明創(chuàng)造層級(jí)的過(guò)渡。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)概念理解的遞歸模型詳細(xì)刻畫了學(xué)習(xí)者進(jìn)行概念理解的過(guò)程，為開展數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供理論依據(jù)和策略引導(dǎo)?；谶f歸模型，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的客觀抽象與直觀具體、概念意義的歷史順序和“超回歸”倒序、概念邏輯的證偽與證實(shí)、概念體驗(yàn)的行為實(shí)踐和表達(dá)證明之間的融通，就能促進(jìn)學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。

（責(zé)編 金 鈴）