基于曲面主方向的正交系的非完整基理論及其在流體力學中的相關應用

謝錫麟

(復旦大學 航空航天系, 上海 200433)

0 引 言

在諸多實際問題中連續(xù)介質的物理構型往往表現(xiàn)為不規(guī)則的幾何形態(tài)，例如旋轉機械葉片之間的空間區(qū)域。從數(shù)學角度而言，曲線坐標系就是微分同胚，即同維數(shù)Euclid 空間中兩個開集之間的雙射，并且正、反映照具有一定的正則性。因此，基于曲線坐標系可以將直接定義在幾何不規(guī)則的物理區(qū)域上的偏微分方程變換至定義在幾何規(guī)則的參數(shù)域上的偏微分方程。具體應用曲線坐標系可以分為二類: 第一類僅利用曲線坐標系實現(xiàn)區(qū)域變換，守恒律等控制方程依然基于Cartesian空間中的典則基進行展開；第二類不僅進行區(qū)域變換，而且將控制方程等相對于曲線坐標系自身確定的局部協(xié)變基或者逆變基進行展開。一般曲線坐標系下的張量場場論[1-4]不僅為區(qū)域變換而且為方程變換提供了系統(tǒng)思想與方法，由此在數(shù)值計算與理論分析中應用廣泛。

值得指出，曲線坐標系[5]的具體構造往往蘊含物理構型的幾何特征，由此按曲線坐標系的局部基展開的分量方程更能清晰地展現(xiàn)構型幾何特征與力學過程等之間的關系。例如研究圓周運動，一般按圓的局部基(切向量與法向量)展開速度與加速度，可以得知法向加速度表現(xiàn)了速率與圓周曲率之間的關系。物理構型的幾何特征與力學等過程之間的關系是力學與數(shù)學之間關系的重要方面，一直為業(yè)界學者所關注[6-8]。

基準曲面與其鄰域內的張量場場論具有極其廣泛的工程背景[9-10]。例如,旋轉機械葉片鄰域內的流動，飛行器、潛航器壁面鄰域內的流動等流固耦合問題都對機械的運行效能起著基礎性的作用。就此，基于曲面的半正交系被廣泛使用，其主要思想為：以基準曲面為基礎，沿法向進行空間延拓以構成基面曲面鄰域內的曲線坐標系?；谇娴陌胝幌狄廊浑`屬非正交曲線坐標系。非正交曲線坐標系指曲線坐標系自身誘導的局部協(xié)變或者逆變基向量之間非兩兩正交，此時基向量不僅具有自身的長度而且可能帶有特定的量綱，由此物理量相對于非正交基的分量不僅在數(shù)值上而且在量綱上不甚清晰。由此，應用中往往希望采用正交系，諸如球坐標系、柱坐標系等。但是由微分同胚確定的局部基向量雖然兩兩正交但其長度并非單位長度，即其僅是正交基而非單位正交系。張量分析中將具有微分同胚的曲線坐標系與其誘導的基稱為完整系與完整基，而非由微分同胚誘導的基稱為非完整基[1]。張量分析中的非完整基理論利用基向量與張量分量之間的轉換關系，為物理量相對于單位正交基的展開提供了系統(tǒng)方法。特別地，當完整基為正交基，非完整基為其單位化而得的單位正交基時，基于非完整基理論可以便捷且可靠地獲得各種張量微分算子相對于單位正交基的展開式[1,4]。

本文為基準曲面與其鄰域建立了一種完整的正交系，在此基礎上應用非完整基理論可為曲面與其鄰域內的張量場場論提供一種有效的方法，能夠展現(xiàn)曲面幾何與力學行為之間的聯(lián)系。本文結構為：第1節(jié)闡述基于曲面主方向的正交系的非完整基理論，包括基于曲面主方向的正交系的構造、單位正交基的運動方程、基于非完整基理論開展場論以及具體應用方法等；第2節(jié)闡述本文所提場論方法的相關應用，包括可變形邊界上的渦量動力學、曲面上的流體邊界層方程、曲面介質的相關理論等；第3節(jié)為總結。本文另含附錄，包括：曲面主方向單位正交基的運動方程、曲面主方向單位正交基下的基本場論運算、曲面主方向單位正交基下的曲面介質動量方程、曲面梯度算子的相關處理等。

1 基于曲面主方向的正交系的非完整基理論

1.1 曲面的基本幾何量

∑(x):2x|∑(x)∈3

可以定義曲面的局部協(xié)變基向量:

對應為曲面上坐標線xi的切向量。對于曲面上的正則點(指{g1(x),g2(x)}線性無關)，可引入單位法向量:

就此，{g1(x),g2(x),n(x)}構成曲面的局部協(xié)變基，按對偶關系則可確定局部逆變基{g1(x),g2(x),n(x)}。

基于曲面上的局部基，可以引入曲面的度量張量

式中gij=gi·gj、gij=gi·gj分別為度量張量的協(xié)變與逆變分量。曲面的曲率張量

將線性代數(shù)中的同時對角化應用于度量張量的協(xié)變分量矩陣[gij](對稱正定陣) 與曲率張量的協(xié)變分量矩陣[bij](對稱陣), 則有存在且唯一存在非奇異陣G∈2×2, 使得

式中λi、λ2為特征多項式|B-λI|=0的兩個實數(shù)根，稱為曲面的主曲率。根據(jù)GT[gij]G=[δij], 可引入單位正交基

[e1e2]=[g1g2]G

e1及e2確定了曲面的兩個主方向。根據(jù)Frobenius 定理[5,11]，對曲面上每一點必存在一個鄰域U，在U上存在新的正交參數(shù)系{ξ,η}，使得新參數(shù)系對應的協(xié)變基向量gi(ξ,η)與曲面主方向ei平行，即(本文全文采用指標的Einstein 求和約定, 指標帶有下劃線表示不參與求和)

值得指出，現(xiàn)有的協(xié)變基向量gi(ξ,η)、逆變基向量gi(ξ,η)都與對應的主方向ei平行，但一般而言不能三者相同。曲率張量相對于正交基{g1(ξ,η),g2(ξ,η)}或者單位正交基{e1(ξ,η),e2(ξ,η)}可以表示為:

曲率張量的跡, trK=λ1+λ2，定義為平均曲率，記為H；曲率張量的行列式，detK=λ1λ2，定義為Gauss曲率，記為KG。

1.2 正交基的標架運動方程

對于曲面的一般基向量有標架運動方程

此處引入第一類與第二類Christoffel符號

考慮曲面上的光滑曲線

[0，L]S|r(S)=∑(x(s))∈∑

式中S為弧長參數(shù)。r(S)在S點的無限小增量公式

r(S+ΔS)-r(S)=

式中

并建立Cartesian坐標系(ξ,η，ζ}，則有r(S+ΔS)-r(S)的參數(shù)有

表明r(S+ΔS)-r(S)在切平面的投影曲線(在二階精度下)對應曲率為kg的圓周，kg稱為曲線r(S)的測地曲率，如圖1(a)所示。類似地，

表明r(S+ΔS)-r(S)在由{e1(S),e3(S)}構成的法截面上的投影曲線對應曲率為λ的圓周，λ稱為曲線r(S)的法曲線，如圖1(b)所示。

綜上所述，在二階精度下，曲面上曲線在切平面的投影曲線對應以測地曲率為曲率的圓周；在法截面的投影曲線對應對法曲率為曲率的圓周。

對于曲面主方向的單位正交基{eξ,eη,n}, 我們可以獲得如下標架運動方程(詳見附錄: 基于曲面主方向的單位正交基的標架運動方程)。

(a) 切平面上的投影曲線等同于以測地曲率為曲率的圓周

(b) 法截面上投影曲線等同于以法曲率為曲率的圓周

定理1.1 曲面主方向單位正交基的運動方程。

式中Sξ與Sη分別表示坐標曲線ξ與η的弧長坐標。值得指出，上述表達式中基向量相對于曲面弧長坐標的變化率都表現(xiàn)為與其正交的平面中以測地曲率或者主曲率為曲率的圓周運動。

基于單參數(shù)向量值映照的無限小展開(Taylor公式)，并利用上述標架運動方程，可得

式中rξ(Sξ)與rη(Sη)分別為ξ-線與η-線的弧長參數(shù)表示。由此，主曲率λη可以理解為η-線在eη對應的主法截面上的投影曲線所對應的曲率圓的曲率；測地曲率κg,η為η-線在切平面上的投影曲線所對應的曲率圓的曲率，如圖2所示。類似地，主曲率λξ可以理解為ξ-線在eξ對應的主法截面上的投影曲線所對應的曲率圓的曲率；κg,ξ為ξ-線在切平面上的投影曲線所對應的曲率圓的曲率。

圖2 主曲率與測地曲率的幾何意義Fig.2 Geometric meaning of principal curvaturesand geodesic curvatures

利用上述曲面主方向的單位正交基的運動方程, 可以獲得向量場物質導數(shù)的表達式。

定理1.2 曲面主方向單位正交基下向量場物質導數(shù)的表示。

設b為定義在質點上的向量值，其物質導數(shù)具有如下表達式

Ω定義為:

Ω:=ληV〈η〉eξ-λξV〈ξ〉eη+(κg,ξV〈ξ〉-κg,ηV〈η〉)eζ

Ω可稱為曲面主方向單位正交基的角速度向量，表現(xiàn)為切平面與主法截面中各圓周運動的角速度向量的疊加。角速度向量由當?shù)厍娴那逝c當?shù)厮俣却_定，如果在變形壁面上則完全由壁面曲率與壁面速度確定。

將質點軌跡上的曲面單位正交基作為隨時間變化的運動基，上述基本結構建立了向量場的絕對變換率與相對于運動基的相對變換率之間的關系。以此，可獲得速度與加速度關于曲面主方向單位正交基的合成形式。

定理1.3 速度與加速度關于曲面主方向單位正交基的合成形式。

1.3 非完整基理論的基本思想與方法

對于張量場的微分算子，由于涉及對曲線坐標求偏導數(shù)故需要在完整基中展開，但運算后所得的新張量卻可以在任意基下進行展開，所對應的張量分量滿足坐標轉換關系?？紤]3中的非完整協(xié)變基與逆變基二者之間依然滿足對偶關系非完整基自然可以由完整基線性表示，由此可以建立基向量之間的轉換關系:

考慮三階張量在完整基與非完整基下的表示:

式中張量分量定義為:

按張量的多重線性函數(shù)的定義，則有張量分量之間滿足坐標轉換關系:

考慮張量場在完整基下的梯度運算

式中張量分量的協(xié)變導數(shù)為:

在完整基中定義的張量梯度作為新的張量可以在非完整基下表示, 記有如下形式:

式中非完整基下的張量分量按坐標轉換關系由完整基下的分量確定，即:

非完整基理論的基本思想為在非完整基下定義形式偏導數(shù)、形式Christoffel 符號以及形式協(xié)變導數(shù), 由此間接性地獲得張量梯度在非完整基下的表示, 如下所述:

值得指出, 如果完整基為正交基，而非完整基為其單位化, 則形式偏導數(shù)、形式Christoffel符號與形式協(xié)變導數(shù)具有最為簡單的形式, 如下所述:

由于單位正交基的協(xié)變基向量值與逆變基向量一致, 由此單位正交基下張量分量的逆變與協(xié)變分量一致。就此情形, 本文將指標都寫在同一行, 如上所示。

1.4 曲面與其鄰域內適用的非完整基理論

力學研究中常需要在一張基準曲面及其鄰域內開展張量場場論。因此，?；诨鶞是娴姆ㄏ蜻M行三維延拓，構造三維曲線坐標系{x,ζ}:

X(x,ζ):Dx×(-δ,δ)

X(x,ζ)=∑(x)+ζn(x)∈3

∑ζ(x):Dxx|∑ζ(x)=∑(x)+ζn(x)∈3

的局部協(xié)變基。由于，一般的曲面坐標系對應的協(xié)變基向量不一定正交，由此上述三維曲線坐標系僅有第三個基向量(法向量) 與前二個基向量(當?shù)厍娴膮f(xié)變基向量)正交，故常稱為基于基準曲面的半正交系。按微積分中全局微分同胚的存在性定理[5]，存在基于曲面的半正交系需要滿足如下條件:

如果基準曲面采用基于主方向的正交系{ξ,η}, 則有當?shù)厍娴南蛄恐涤痴毡硎?

∑ζ(ξ,η):Dξη{ξ,η} |

∑ζ(ξ,η)=∑(ξ,η)+ζn(ξ,η)∈3

其局部協(xié)變基為:

∑代表基面，∑ζ代表當?shù)厍妫?/p>

至此, 按非完整基理論[1,4]，我們可以便捷地獲得張量場微分算子的分量表示。考慮向量場

=A〈ξ〉e〈ξ〉+A〈η〉e〈η〉+A〈ζ〉e〈ζ〉

其左梯度可以表示為

各分量可以計算如下:

基于非完整基理論，可以可靠且便捷地獲得向量場的散度、旋度、對流項與Laplace項等在曲面主方向單位正交基下的表達式(詳見附錄：曲面主方向單位正交基下的基本場論運算)。值得指出，柱坐標系、球坐標系等都可以理解為設定基準曲面上的法向延拓，并且正交的協(xié)變基向量正好平行于當?shù)厍娴闹鞣较蚺c法方向，由此基于曲面方向的非完整基理論可以統(tǒng)一相關曲線坐標系下的場論。

值得指出，數(shù)學上雖然存在曲面的參數(shù)坐標使得參數(shù)曲線的切向量平行于主方向，但是僅有局部存在性而無一般的顯式表達形式。由此，基于曲面主方向的正交系的非完整基理論并不能直接應用于計算流體力學等方面。然而，我們可以利用相對于完整基與非完整基的張量分量之間的轉化關系解決上述問題。具體可以分為以下兩個方面。

(1) 基于Christoffel 符號之間的轉化關系，可以確定出曲面的測地曲率與主曲率。由一般的轉換關系式：

α≠β

對應有確定測地曲率的轉換關系：

確定主曲率的轉換關系：

(2) 基于曲面主方向的正交系的非完整基理論, 可以推導力學中諸多物理量的表達式，以期建立曲面幾何與力學行為之間的關系?？梢酝ㄟ^張量分量之間的轉換關系, 由實際計算所采用的坐標系下的分量間接性地獲得非完整基下的分量。

綜上所述, 基于非完整基與非完整基之間Christoffel 符號與張量分量之間的轉化關系, 實際計算時可以采用適合的曲線坐標系(完整基), 然后再通過轉換關系獲得曲面曲率與張量相對基于曲面主方向的單位正交基(非完整基) 的表達式。

式中Lame系數(shù)相對于坐標的偏導數(shù)可以聯(lián)系與測地曲率或者主曲率，但并不是直接的聯(lián)系。本文推導了平行于主方向的單位正交基的運動方程，可見只有基向量對坐標曲線的弧長求偏導數(shù)才有完全的曲率表示。原則上，為獲得張量場微分算子的分量表示，可以首先將張量場相對于單位正交基展開，然后求關于曲線坐標的偏導數(shù)，涉及基向量的偏導數(shù)就利用上述標架運動方程。但是，如此操作易使得Lame系數(shù)的相關項越來越復雜，而且整個操作是步驟型的，不能直接寫出張量場微分算子的表達式，曲面曲率也未能直接顯現(xiàn)。

1.5 曲面半正交基的相關性質

如果基準曲面采用的參數(shù)坐標{x}非正交, 則基于基準曲面的法向進行空拓延拓所得的完整系{x,ζ}為半正交系, 并且當?shù)厍娴膮?shù)坐標依然為{x}，

∑ζ(x1,x2):Dx{x1,x2} |

∑ζ(x1,x2)=∑(x1,x2)+ζn(x1,x2)∈3

此處ζ作為參數(shù)。

以下確定當?shù)厍妗痞频淖鴺饲€的測度曲率與法截線曲率。設其局部協(xié)變基為{g1,g2}考慮

則有:

結合x1-坐標曲線關于其弧長的無限小展開

r1(S1+ΔS1)-r1(S1)=

=[e1e2n]·

計算當?shù)厍娑攘繌埩康膮f(xié)變分量:

可得度量張量的逆變分量:

現(xiàn)有當?shù)厍媲蕪埩康膮f(xié)變分量:

則可得曲率張量的混合分量:

至此, 可以獲得曲率張量的混合分量與坐標曲線對應的法截線曲率之間的關系:

綜上所述, 可獲得當?shù)厍娴牟糠值诙怌hristoffel符號與坐標曲線的測度曲率與主曲率之間的關系。

對于其他第二類Christoffel符號, 可基于一般關系式:

一般曲線坐標系下的張量場場論, 張量場相對于曲線坐標的變化率可以由張量分量的協(xié)變導數(shù)表述, 而協(xié)變導數(shù)聯(lián)系與第二類Christoffel符號。將有關第二類Christoffel符號用曲面曲率表示，則分量表達式可能同時含有曲面曲率與Lame系數(shù)。以下考慮對流項的展開：

V·(?V)=VααVβgβ=hβVααVβeβ

計算對流項相對于e1的分量:

此處

比較曲面半正交系與曲面主方向單位正交基下的張量場場論，后者所有的Christoffel符號直接對應(僅差一個負號)為曲面的主曲率與主方向對應的測地曲率。進一步，由于曲面的主方向是唯一確定的，從而主曲率與主方向對應的測地曲率也是唯一確定的，所以曲面主方向單位正交基下的張量場場論可認為是曲面與其鄰域內最為清晰地展現(xiàn)曲面幾何特征并且形式上最為簡單的場論方法。

2 場論中的應用

2.1 可變形壁面上的渦量動力學

2.1.1 渦量分解

眾所周知, 渦量在流體力學中具有基礎性的意義。本小節(jié)研究可變形壁面上渦量相對于曲面主方向單位正交基{e〈ξ〉,e〈η〉,e〈ζ〉}的分解。

渦量定義為速度的旋度, 亦即

ω=×V=e〈αβγ〉〈α〉V〈β〉e〈γ〉

首先, 渦量相對于法向e〈ζ〉的分量可以推導為：

ω〈ζ〉=e〈ζαβ〉〈α〉V〈β〉

圖4 可變形壁面上, 相對于e〈ζ〉的渦量分量ω〈ζ〉Fig.4 Normal component of vorticity ω〈ζ〉 on deformable wall

渦量在當?shù)厍妗痞频那衅矫嫔系姆至?，如下所?

ω〈ξ〉=e〈ξαβ〉〈α〉V〈β〉

ω〈η〉=e〈ηαβ〉〈α〉V〈β〉

分量均表現(xiàn)為對應法截面上的兩個剪切作用與沿坐標線的圓周運動的復合，如圖5所示。相對于平面壁面，彎曲壁面對于切平面上渦量的貢獻由法截面上沿坐標線的圓周運動表征，圓周運動的曲率半徑為法截線的曲率。

將上述渦量的分量表達式聯(lián)系與曲面主方向單位正交基的角速度向量，則有：

即渦量可以分解為純粹剪切運動項與曲面主方向單位正交基的角速度向量之和。

綜上所述，本文得到曲面主方向單位正交基下渦量的表示。

(a) 相對于e〈ξ〉的渦量分量ω〈ξ〉

(b) 相對于e〈η〉的渦量分量ω〈η〉

定理2.1 曲面主方向單位正交基下渦量的表示。當?shù)厍嫔蠝u量的法向分量可以分解為兩種運動，其一為切平面中的兩個剪切運動，其二為切平面中以二個測地曲率為曲率的圓周運動。切面上的渦量分量亦可以分為兩個部分，其一為相對于法向與另一主方向的兩個剪切運動，其二為主法向截面中以主曲率為曲率的圓周運動。進一步，可以將渦量分解為純粹剪切運動與曲面主方向單位正交基的角速度向量之和。

2.1.2 可變形壁面上的渦量法向梯度

式中

即有

此處ω‖=ω〈ξ〉e〈ξ〉+ω〈η〉e〈η〉∈T∑,ω⊥=ω〈ζ〉e〈ζ〉∈(T∑)⊥。

將渦量表達式帶入上式，可得可變形壁面上邊界渦量流動的表示。

定理2.2 可變形壁面上的邊界渦量流。可變形壁面上的邊界渦量流, 可以分解為: 切平面邊界渦量流與法向邊界渦量流, 且分別具有如下表達式

基于上述可變形壁面上渦量與邊界渦量流的表達式，可以一定程度上研究壁面幾何與邊界擬渦能流之間的關系。例如在壁面變形的最大位置，此時壁面速度為零，對不可壓縮流動有切平面渦量擬渦能流的表示

2.1.3 可變形壁面上的變形率張量

關于可變形壁面上的變形率張量，Wu等[6]提出了一種基于切平面渦量與法向量的分解形式。以此為基礎，謝等[15]提出了如下表達式:

基于可變形壁面上切平面渦量的表達式:

ω‖=ω〈ξ〉e〈ξ〉+ω〈η〉e〈η〉

以及

則有

由此，本文獲得相對變形率張量相對于曲面主方向{e〈ξ〉，e〈η〉,e〈ζ〉}的單位正交基的表達式。

僅含有沿法向ζ的剪切作用。

λ1,2=

λ3=0

值得指出, 本部分理論推導所得的可變形壁面上的渦量、渦量法向梯度、相對變形率張量的表達式不僅可以用來分析邊界變形與渦量在壁面產(chǎn)生并進入流場的機制，而且可以用來自我檢查數(shù)值方法的正確性[13,16]。

2.2 流體邊界層方程

2.2.1 一般光滑曲面上的邊界層方程

經(jīng)典的不可壓縮流動的Naiver-Stokes 系統(tǒng), 如下所示

為了說明上的簡化，上述動量方程中沒有包括體積力項?；谇嬷鞣较騿挝徽换碌幕緢稣撨\算，可以獲得上述連續(xù)性方程與動量方程的完整分量方程。為了獲得流體邊界層，首先根據(jù)物理事實做量級估計，然后忽略完整分量方程中量級低的項[17-18]。另外，可以利用匹配漸近展開導出邊界層方程[19]。

首先, 獲得不可壓縮流動的連續(xù)性方程

κg,ηV〈ξ〉-HV〈ζ〉=0

可見測地曲率聯(lián)系與切平面速度，而主曲率聯(lián)系與法向速度。因此，可以借鑒利用微元法獲得連續(xù)性方程的方法?？紤]沿ξ-坐標曲線方向的流量增量

可見ξ方向速度與η方向測地曲率的耦合，源于ξ方向的流量沿ξ方向的變化率，η方向的測地曲率表現(xiàn)了η方向的弧長微元(弧長度量)沿ξ方向的變化率。

設切平面上的特征尺度的量級為O(L), 法向特征尺度的量級為O(δ)，一般有δ?L；并設切平面上特征速度的量級為O(U)。按連續(xù)方程可以獲得速度的量級估計:

測地曲率與主曲率分別為平行于主方向的坐標線在切平面與法截面上的投影曲線所對應的圓周運動的曲率。設二者有如下的量級估計:

則連續(xù)性方程中測地曲率與主曲率的相關項均保留。

考慮切平面上的Navier-Stokes方程，以相對于e〈ξ〉的分量方程為例:

+κg,ηV〈η〉2-λξV〈ξ〉V〈ζ〉]

式中

將上述方程應用于二維彎曲壁面, 所得到的不可壓縮流動的Navier-Stokes 方程與文獻[17] 給出的方程完全一致。

首先, 考慮Euler 觀點下的加速度表示。將曲面主方向單位正交基下物質導數(shù)的表示應用于速度,

V=V〈ξ〉e(ξ)+V〈η〉e(η)+V〈ζ〉e(ζ)

則有:

式中

Ω×V=[e〈ξ〉e〈η〉e〈ζ〉]·

綜上所述，可以獲得曲面主方向單位正交基下的加速度表示。

定理2.4 曲面主方向單位正交基下的加速度表示。將加速度相對于基于曲面主方向的單位正交基進行分解，可以獲得三個部分：(1) 速度的非定常項；(2) 速度的對流項；(3) 因局部基隨空間位置變化而增加的附加項，可表示為曲面主方向單位正交基角速度向量與速度的叉乘。

文獻[18] 給出了完全由Lame系數(shù)表示的Navier-Stokes方程的一般分量表達式。為獲得張量場微分算子在具體正交系下的表示，首先計算正交基的Lame系數(shù)，然后代入相應的分量表達式。本文所研究的曲面主方向單位正交基的非完整基理論，可以將基于Lame系數(shù)一般表達式中的Lame系數(shù)相關項對應至當?shù)厍娴闹髑驶蛘邷y地曲率，并且可以通過非完整基的方法直接推導張量場微分算子的表達式。

以下對切平面上Navier-Stokes方程的分量方程，進行量級估計。

(1) 估計對流項。有

故對流項全部保留。

(2) 估計黏性項中的Laplace項。有

其它附加項的量級估計：

考慮指標對稱性, 就可以由相對于e〈ξ〉的方程, 獲得相對于e〈η〉的方程。

考慮 Navier-Stokes方程的法向e〈ζ〉分量方程：

式中，

(1) 估計對流項。有

(2) 估計黏性項中的Laplace項。有

其它附加項的量級估計：

考慮壓力項的量級，按上述切平面中的動量平衡，可有

因此，可有

綜上所述，本文獲得曲率項保留的不可壓縮流動的邊界層方程。

定理2.5 光滑曲面上曲率項保留的不可壓縮流動的邊界層方程。當設定測地曲率為切平面/展向特征尺度倒數(shù)的量級，主曲率為法向尺度倒數(shù)的量級，則有如下曲率項都保留的邊界層方程。

(1) 連續(xù)性方程

-κg,ηV〈ξ〉-HV〈ζ〉=0

(2) 動量方程

當設定測地曲率與主曲率都是展向特征尺度倒數(shù)的量級，則上述邊界層方程中去除含有主曲率的項。值得指出，兩個測地曲率或者主曲率的量級可以獨立進行估計，而無關聯(lián)性。

對比平面壁面上的流體邊界層方程，可見彎曲壁面的測地曲率與主曲率都在控制方程中起著一定的作用:測地曲率的量級一般為切平面特征尺度的倒數(shù)，在邊界層方程中保留；主曲率的量級只有達到法向尺度的倒數(shù)，才在邊界層方程中保留。如果為進行流動控制等，在壁面上引入局部的凹凸性(振幅等同于邊界層厚度)，則邊界層方程中需要保留主曲率項。如果上述方程中忽略主曲率相關項，則與文獻[20]中的方程一致。文獻[20]引用了 E.J.Watson關于曲面上層流邊界層的推導，此種推導基于 Lame系數(shù)表達式的 Navier-Stokes方程，并利用基準曲面與當?shù)厍嫔咸荻人阕又g的近似關系，行文中未將有關Lame系數(shù)項對應為測地曲率。

如果基準曲面采用一般的非正交參數(shù)坐標，并且沿法向進行空間延拓則形成半正交系，可以基于一般曲線坐標系下張量場場論推導邊界層方程，并且可將度量/Lame系數(shù)項聯(lián)系于當?shù)厍娴膮?shù)曲線的測地曲率[19，21]。值得指出，相對于曲面半正交系展開的分量方程往往同時含有Lame系數(shù)與曲面曲率，而非僅含有曲面曲率，如1.5節(jié)所述。另一方面，基于曲面的半正交系 (完整基)可以直接應用于計算，而基于曲面單位正交基 (非完整基)無法直接用于計算，但基于張量分量的坐標轉換關系可以理論分析采用曲面單位正交基而實際計算所用適合的完整的曲線坐標系 (甚至不需要半正交系)，如1.4節(jié)所述。

2.2.2 旋成曲面上的相關結論

本小節(jié)將上述一般光滑曲面上的場論應用至旋成曲面，具體獲得渦量與邊界層方程的表達式。

旋成曲面的向量值映照可構造如下:

∑(x):Dθz

∑(θ,z)=R(z)cosθi+R(z)sinθj+zk∈3

此處z表示沿中心軸的坐標，R(z)表示圓形截面的半徑，θ表示極角，如圖6所示。旋成曲面的局部基可以確定如下:

圖6 旋成曲面的參數(shù)坐標及其誘導的局部協(xié)變基Fig.6 Parameter coordinates of a revolved surfacesand the induced local covariant basis

由此，可計算旋成曲面度量張量的協(xié)變分量與主曲率張量混合分量,

旋成曲面鄰域內的曲線坐標系，可構造如下:

Dθzζ

其誘導的局部協(xié)變基

為正交基，如圖6所示。度量張量的協(xié)變分量為

以此可計算非完整的單位正交基{e(z),e(θ),e(ζ)}的形式 Christoffel符號：

因此可確定當?shù)厍娴臏y地曲率與主曲率，此時無需計算當?shù)厍娴那蕪埩俊?/p>

按場論，可以獲得渦量相對于法向n的分量表達式:

渦量在切平面上的分量為:

按一般理論，可得旋成曲面上測地曲率與主曲率都保留的不可壓縮流動的邊界層方程。連續(xù)性方程，具有如下形式

動量方程，如下所示

2.3 曲面介質的相關理論

涉及曲面的研究中常涉及曲面上張量場的曲面梯度算子，按一般理論[4]有:

式中張量分量關于切平面指標的協(xié)變導數(shù)定義為:

對張量分量的切平面指標可以利用切平面上的非完整基理論。曲面主方向單位正交基下的曲面梯度算子，可以處理如下:

Φ〈ij3〉b〈li〉n?e〈j〉?n+

Φ〈ij3〉b〈jl〉e〈i〉?n?n-

Φ〈ij3〉b〈sl〉e〈i〉?e〈j〉?e〈s〉]?e〈l〉

λlΦ〈lj3〉n?e〈j〉?n+λlΦ〈il3〉e〈i〉?n?n-

λlΦ〈ij3〉e〈i〉?e〈j〉?e〈l〉]?e〈l〉

式中張量分量關于切平面指標的形式協(xié)變導數(shù)定義為:

我們考慮一種特殊的流動形態(tài)，稱為曲面流動，總體上連續(xù)介質的幾何形態(tài)為曲面，流層的法向尺度遠遠小于切平面尺度。就此，物理建模上設定：(1) 所有物理量沿法向的變化率可以忽略，即沿法向做均勻性設定；(2) 引入面密度，指單位面積上的質量，以此刻畫流面厚度的時空演化。在此物理設定下，可以建立曲面形態(tài)連續(xù)介質的有限變形理論[4，22]。本小節(jié)研究曲面介質的 Euler型質量與動量守恒方程在曲面主方向單位正交基下的展開。

設運動曲面的向量值映照

Dx{x,t}|∑(x,t),

則有曲面介質質點的Euler表示

進一步，可將相對運動的加速度表示為

式中

Ω×V‖=[e〈ξ〉e〈η〉e〈ζ〉]·

Ω×V‖中的項kg,ηV2〈η〉e〈ξ〉、kg,ξV2〈ξ〉e〈η〉與(λξV2〈ξ〉+ληV2〈η〉)e〈ζ〉可以理解切平面與法截面內圓周運動的向心加速度；而(-kg,ξV〈ξ〉V〈η〉)e〈ξ〉、(-kg,ηV〈η〉V〈ξ〉)e〈η〉可以理解為類似Coriolis加速度。切平面上的圓周運動以測地曲率為曲率，如圖7(a)所示；主法截面上的圓周運動以主曲率為曲率，如圖7(b)所示。

(a) 切平面

(b) 主法截面

考慮積分形式的質量守恒方程

由此，可得曲面主方向單位正交基下的曲面介質連續(xù)性方程。

定理2.6 曲面主方向單位正交基下的曲面介質連續(xù)性方程。

κg,ξρ∑V〈η〉-κg,ηρ∑V〈ξ〉-Hρ∑V〈ζ〉=0

考慮積分形式的動量守恒

式中τ為曲面邊界曲線的切向量，由此τ×n為切平面上與邊界曲線正交的方向且指向朝外,f表示曲面介質所受的面力。t代表曲面應力，設有一般形式:

t=t‖+t⊥=tijgi?gj+t3jn?gj

結合物質面輸運方程與第二類內蘊形式Stokes公式[15]，可得曲面介質微分形式的動量方程

利用主方向單位正交基的非完整基理論，可以獲得基于主方向單位正交基展開的曲面介質動量方程(詳見附錄: 曲面主方向單位正交基下的曲面介質動量方程)。

定理2.7 基于主方向單位正交基展開的曲面介質動量方程。

此處力的作用由曲面應力表示。上述動量方程適用于任意曲面形態(tài)連續(xù)介質，包括液體膜與固體膜。

值得指出，曲面形態(tài)連續(xù)介質的曲面應力可以基于相關作用形式而獲得。以下考慮液膜。設想液膜內部的壓力作用 (包含表面張力)，具有如下形式：

式中

則有：

設想液膜自身流動而產(chǎn)生的黏性作用(此處設定粘性作用正比于切平面上的“法向”速度梯度，實際情況可以根據(jù)具體的實驗或者模型來決定)，具有如下作用形式：

式中

V‖=Vigi稱為切平面速度，則有：

λξV〈ξ〉e〈ζ〉?e〈ξ〉+ληV〈η〉e〈ζ〉?e〈η〉

綜上所述，考慮壓力與摩擦作用的曲面應力具有如下形式：

且已獲得其相對于曲面主方向單位正交基的分量表示，代入應力表示的動量方程則可獲得具體的動量方程?；蛘咄ㄟ^非完整基理論，直接計算曲面應力關于曲面梯度的右散度，可得如下表達式：

引入如下算子，并計算可得

則有

μ(ΔV〈ξ〉e〈ξ〉+ΔV〈η〉e〈η〉)-μK2·V‖+

式中

按上述表達式可見，黏性作用中主曲率起恢復力的作用；測地曲率的作用包括驅動力與類似Coriolis力的作用。

另一方面，對于曲面介質成立

式中V‖=V〈ζ〉e〈ζ〉稱為法向速度。故有

式中

按上式并基于(V?)·=Δ?V的表達式可以重新獲得的表達式，也建立了三維Navier-Stokes方程與流面流動的Navier-Stokes方程之間的聯(lián)系。值得指出，以上推導出曲面流動可以具有法向速度。當法向速度為零時，可稱曲面流動為固定曲面上的流動。

值得指出，上述形式的切平面應力非對稱，故存在液膜內存在面力偶[4，22]。根據(jù)力學模型的設定，對于考慮切平面應力對稱、無法向應力分量的本構關系，本文方法亦可便捷地獲得曲面主方向單位正交系下的分量方程[4，23]。

3 總 結

本文利用微分幾何中光滑曲面上局部存在的參數(shù)曲線平行于主方向的參數(shù)坐標，按法向進行空間延拓獲得基準曲面與其鄰域內的完整的正交系，并將非完整基理論應用于此種基于曲面的正交系，以此獲得了一種新穎的適用于曲面及其鄰域的場論方法，稱之為基于曲面主方向的正交系的非完整基理論，簡稱為曲面主方向單位正交基的非完整基理論。值得指出，平行于主方向與法方向的單位正交基的形式 Christoffel符號完全地對應至基準或者當?shù)厍娴臏y地曲率與主曲率，并且可以建立當?shù)嘏c基準曲面的測地曲率與主曲率之間的關系。就此，張量場微分算子相對于曲面主方向單位正交基的展開僅含有物理量與曲率，及物理量與曲率關于參數(shù)曲線弧長坐標的變化率。常用的基于基準曲面的半正交系下的場論，無法將第二類 Christoffel符號完全對應至曲面曲率，張量場微分算子的展開式往往同時含有參數(shù)曲線的度量/Lame系數(shù)、測地曲率、法截線曲率與曲面的平均曲率?；谇嬷鞣较虻恼幌凳乔姘胝幌档囊环N特殊情形，由于主方向由曲面自身唯一確定，所以此種參數(shù)坐標也具有唯一性;并且曲面主方向單位正交基下的場論不僅最為清晰地展現(xiàn)曲面的幾何特性，而且形式上最為簡單。

本文從三個方面實踐與檢驗曲面主方向正交基的非完整基理論:

1) 推導了可變形曲面上渦量、渦量法向梯度、相對變形率張量的表達式。渦量可以分解為純剪切與曲面主方向單位正交基角速度向量的和；渦量法向梯度的表達式反映了壁面主曲率與測地曲率的作用；相對變形張量可以完全由沿法向的速度剖面 /剪切作用決定。

2) 推導了基準曲面上的流體邊界層方程。絕對加速度可以分解為相對于曲面主方向單位正交基的時間變化率項與曲面主方向單位正交基的角速度向量與速度的叉乘，也可以對曲面主方向單位正交基進行速度與角速度的分解。一般而言，測地曲率的量級為切平面尺度的倒數(shù)，故在邊界層方程中保留測地曲率相關項；對于主曲率，如果其量級是切平面尺度的倒數(shù)則略去主曲率相關項，如果其量級是法向尺度的倒數(shù)則需保留主曲率相關項。如果動量方程中保留了主曲率相關項，則存在法向壓力梯度以平衡主法截面中以主曲率的圓周運動。

3) 推導了曲面介質連續(xù)性方程、動量方程。此方面研究涉及曲面上張量場的曲面梯度算子，就此對張量的切平面指標可以利用曲面主方向單位正交基的非完整基理論。對于曲面形態(tài)的流動，曲面單位正交基因空間位置變化對加速度的貢獻表現(xiàn)為切平面與主法截面上的圓周運動，前者的曲率為測地曲率，后者的曲率為主曲率。但設定剪切導致黏性作用，則其對切平面中流動的影響含有主曲率的恢復力效應，測地曲率的驅動力與類似Coriolis力效應。

由于基于曲面主方向的正交系只有數(shù)學上的存在性，故對應的非完整基理論可直接應用于理論分析。本文提出，基于不同基之間的 Christoffel符號的轉換關系可以間接性地確定曲面的測地曲率與主曲率。此外，基于不同基下張量分量之間的轉化關系，實際計算與理論分析所用的曲線坐標系可分離，由此對實際計算所采用的曲線坐標系沒有限制。需指出，光滑曲面上存在坐標線平行于主方向的參數(shù)坐標不僅僅只有局部(鄰域)意義的存在性，而且未能夠提供直接方法以獲得其解析表達式。由此，在實際應用中需要將計算用的一般曲線坐標系與理論分析用的曲面主方向單位基分離。

本文提出的曲面主方向單位正交基的非完整基理論，作為一種場論方法也適用于固體力學等領域。

致謝:感謝北京大學吳介之教授、蘇衛(wèi)東副教授等就本文相關內容進行的有益討論。感謝課題組傅淵、陳玉竹等就相關推導的驗證與討論等。本文將張量分析中的非完整基理論應用至基準曲面與其鄰域，期待能為相關領域的研究提供有效的場論方法，也謹以此懷念我國理性力學先驅之一的郭仲衡先生。