展向旋轉(zhuǎn)平板Couette湍流中的多態(tài)現(xiàn)象

夏振華

(浙江大學(xué) 航空航天學(xué)院工程力學(xué)系, 浙江 杭州 310027)

0 引 言

旋轉(zhuǎn)條件下的壁湍流問(wèn)題是自然界和工業(yè)工程中常見(jiàn)的湍流現(xiàn)象之一?？紤]地球自轉(zhuǎn)作用，那么地球上的壁湍流問(wèn)題幾乎都可以視為旋轉(zhuǎn)壁湍流問(wèn)題。而航空發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)子、渦輪間的流動(dòng)也是典型的旋轉(zhuǎn)壁湍流問(wèn)題。為了設(shè)計(jì)性能更好的航空發(fā)動(dòng)機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械，我們急需了解旋轉(zhuǎn)條件下的壁湍流的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，以及對(duì)應(yīng)的流動(dòng)結(jié)構(gòu)隨旋轉(zhuǎn)強(qiáng)度的變化規(guī)律。另一方面，航空發(fā)動(dòng)機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械中關(guān)鍵湍流問(wèn)題有很多，也非常復(fù)雜。為了更好地獨(dú)立出旋轉(zhuǎn)因素的影響，人們提出了一系列簡(jiǎn)化的標(biāo)準(zhǔn)模型問(wèn)題，其中展向旋轉(zhuǎn)平板Couette湍流(Spanwise rotating plane Couette flow, RPCF)就是其中之一[1-2]。

在旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)下，由于科氏力的存在，基本的穩(wěn)定性分析告訴我們，旋轉(zhuǎn)會(huì)根據(jù)其方向的選擇性使得剪切流動(dòng)變得更穩(wěn)定或者更不穩(wěn)定。如果旋轉(zhuǎn)方向和平均流渦量同號(hào)(cyclonic rotation)，那么旋轉(zhuǎn)會(huì)使得流動(dòng)更穩(wěn)定；如果兩者異號(hào)(anticyclonic roation)，那么旋轉(zhuǎn)會(huì)讓流動(dòng)變得更不穩(wěn)定。在展向旋轉(zhuǎn)的槽道湍流中，由于其平均速度存在極值，平均流渦量會(huì)在槽道中變號(hào)，因此旋轉(zhuǎn)會(huì)在一部分槽道中使得流動(dòng)變得不穩(wěn)定；而在另一部分槽道中，其會(huì)使流動(dòng)變得更穩(wěn)定。而在RPCF中，其平均流渦量基本是相同符號(hào)的，因此旋轉(zhuǎn)在整個(gè)槽道保持相同的效應(yīng)，即或全場(chǎng)讓流動(dòng)更不穩(wěn)定；或全場(chǎng)讓流動(dòng)更穩(wěn)定[3-5]。

圖1為RPCF流動(dòng)的示意圖。相距為2h的兩塊平板以相對(duì)速度2Uw沿x方向運(yùn)動(dòng)，而整個(gè)系統(tǒng)沿展向(z方向)以常角速度Ωz旋轉(zhuǎn)。該系統(tǒng)有兩個(gè)控制參數(shù)：雷諾數(shù)Rew=Uwh/ν和旋轉(zhuǎn)數(shù)Ro=2Ωzh/Uw。

圖1 RPCF簡(jiǎn)圖[5]Fig.1 Sketch of the flow geometry in RPCF[5]

在過(guò)去的幾十年中，很多研究組針對(duì)RPCF開(kāi)展了系列的實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬研究。在實(shí)驗(yàn)方面，Alfredsson教授和其團(tuán)隊(duì)做出了一系列工作[6-9]。特別需要指出的是，Tsukahara、Tillmark和Alfredsson[7]在2010年時(shí)總結(jié)并擴(kuò)充了之前的實(shí)驗(yàn)工作，系統(tǒng)地研究了參數(shù)范圍在0

在數(shù)值研究上，Andersson教授及其合作者首先針對(duì)Rew=1300時(shí)的RPCF開(kāi)展了直接數(shù)值模擬(Direct numerical simulation, DNS)研究[13-17]。他們研究了弱旋轉(zhuǎn)時(shí)的流動(dòng)統(tǒng)計(jì)以及流動(dòng)結(jié)構(gòu)，中高旋轉(zhuǎn)數(shù)時(shí)的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)以及極強(qiáng)旋轉(zhuǎn)時(shí)的流動(dòng)統(tǒng)計(jì)。他們發(fā)現(xiàn)在一定旋轉(zhuǎn)數(shù)范圍里，湍流和二次流隨著Ro增加而增強(qiáng)，但是超過(guò)一定的旋轉(zhuǎn)數(shù)范圍，其湍流和二次流則會(huì)隨著Ro增加而減弱。在極高旋轉(zhuǎn)數(shù)條件下，二次流消失，這個(gè)時(shí)候的湍流特征與無(wú)旋轉(zhuǎn)時(shí)的流動(dòng)特征差別很大。Salewski和Eckhardt[18]用DNS研究了四個(gè)不同雷諾數(shù)(Rew= 650、1300、2600和5200)下，以壁面剪切為表征的動(dòng)量流隨Ro的變化行為。他們考察了-0.04≤Ro≤0.6之間的算例，發(fā)現(xiàn)變化曲線在兩個(gè)較低雷諾數(shù)情況下只有一個(gè)極值點(diǎn)；而在兩個(gè)較高雷諾數(shù)下，變化曲線有兩個(gè)極值點(diǎn)，其中一個(gè)極值點(diǎn)位于Ro=0.02附近(較小旋轉(zhuǎn)數(shù))。Gai等[5]也針對(duì)Rew=1300時(shí)的RPCF流動(dòng)開(kāi)展了一系列DNS模擬研究，他們分析了中心線處的平均剪切率、壁面摩擦雷諾數(shù)、體平均的總湍動(dòng)能、體平均的二次流湍動(dòng)能、體平均的剩余場(chǎng)湍動(dòng)能等隨著旋轉(zhuǎn)數(shù)的變化規(guī)律。他們還分析了不同旋轉(zhuǎn)數(shù)下的流動(dòng)結(jié)構(gòu)的異同。

近些年，本文作者與其合作者還發(fā)現(xiàn)了RPCF中存在多湍態(tài)現(xiàn)象[19-22]。在經(jīng)典的湍流理論中，人們都假設(shè)雷諾數(shù)足夠高的時(shí)候，湍流是各態(tài)遍歷的，也就是說(shuō)所有的湍流態(tài)之間都是等價(jià)的，或者說(shuō)湍流態(tài)是唯一的。在這個(gè)假設(shè)下，雖然瞬時(shí)場(chǎng)跟初始條件有關(guān)，但是湍流的統(tǒng)計(jì)規(guī)律是與其初始流場(chǎng)無(wú)關(guān)的[23]。湍流的唯一統(tǒng)計(jì)態(tài)假設(shè)是經(jīng)典湍流理論的基石，也是很多湍流結(jié)論和假設(shè)能夠從低雷諾數(shù)外推到更高雷諾數(shù)的原因之一[24]。然而，近些年來(lái)，一些實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬的結(jié)果顯示，部分湍流中可能存在不唯一的湍流態(tài)[25]。在多態(tài)條件下，相同的控制參數(shù)，可能會(huì)出現(xiàn)不同的湍流統(tǒng)計(jì)和流動(dòng)結(jié)構(gòu)。例如，在Taylor-Couette流動(dòng)中，Huismann等[24]就通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在Re為106量級(jí)下，通過(guò)不同途徑達(dá)到相同的內(nèi)外筒轉(zhuǎn)速比a時(shí)，流動(dòng)的Taylor渦對(duì)數(shù)和扭矩等結(jié)果在一定的參數(shù)范圍里(0.17

本文將就RPCF中的多態(tài)現(xiàn)象的研究現(xiàn)狀進(jìn)行綜述介紹。

1 RPCF的控制方程和數(shù)值解法

1.1 控制方程

RPCF的幾何構(gòu)型如圖1所示。在通常的設(shè)置中，我們假設(shè)流向?yàn)閤，法向?yàn)閥，展向?yàn)閦(或者x1、x2、x3)，其對(duì)應(yīng)的速度為u、v、w(或者u1、u2、u3)。用Uw，h無(wú)量綱化之后，系統(tǒng)的控制方程為：

(1)

(2)

這里p是包含了離心力的有效壓力(effective pressure)。其中雷諾數(shù)Rew和旋轉(zhuǎn)數(shù)Ro的定義前文已給出。

1.2 數(shù)值解法介紹

在實(shí)際計(jì)算中，為了保證程序的精度，我們采用高精度Fourier-Chebyshev偽譜法對(duì)空間項(xiàng)進(jìn)行離散。具體而言，在流向和展向周期方向，我們采用Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)；而在法向采用Chebyshev多項(xiàng)式展開(kāi)。在時(shí)間推進(jìn)上，我們采用了半隱式離散格式，即線性項(xiàng)采用2階精度的Crank-Nicolson根式而非線性項(xiàng)采用的是2階的Adams-Bashforth格式。此外，我們用3/2法則消除混淆誤差。值得說(shuō)明的是，我們的方法比Bech和Andersson[14-15]和Barri和Andersson[17]的數(shù)值解法精度更高。Bech和Andersson用的是2階精度的有限差分程序ECCLES[14-15]，而B(niǎo)arri和Andersson則用的是2階精度的有限體積程序MGLET[17]。

在實(shí)際計(jì)算中，我們?cè)诖笮長(zhǎng)x×Ly×Lz的計(jì)算域上開(kāi)展計(jì)算，離散的網(wǎng)格為Nx×Ny×Nz。具體的計(jì)算網(wǎng)格，在后續(xù)會(huì)做介紹。

1.3 雷諾分解和三重分解

(3)

由于在RPCF中存在二次流，因此我們?cè)诜治龅臅r(shí)候，還可以開(kāi)展三重分解[5,14,19]：

(4)

(5)

(6)

即湍動(dòng)能和雷諾應(yīng)力都可以分解為由二次流貢獻(xiàn)的部分和剩余場(chǎng)貢獻(xiàn)的部分。

2 結(jié)果與討論

本部分將著重介紹相關(guān)的結(jié)果與討論部分。

2.1 旋轉(zhuǎn)數(shù)對(duì)湍流統(tǒng)計(jì)和流動(dòng)結(jié)構(gòu)的影響

Gai等人[5]針對(duì)RPCF開(kāi)展了一系列的DNS模擬，基本控制參數(shù)如表1所示。其主要研究目標(biāo)是旋轉(zhuǎn)數(shù)對(duì)湍流統(tǒng)計(jì)和流動(dòng)結(jié)構(gòu)的影響。在分析該問(wèn)題時(shí)，研究者們一般重點(diǎn)關(guān)注兩個(gè)量：平均速度在中心線處的法向梯度Ψ和壁面摩擦雷諾數(shù)Reτ。

表1 計(jì)算參數(shù)Table 1 Computational parameters

圖2(a、b)分別給出了計(jì)算中20個(gè)算例的中心線速度的法向梯度的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差以及壁面摩擦雷諾數(shù)Reτ隨旋轉(zhuǎn)數(shù)Ro的變化規(guī)律?？梢钥吹?，在Ro從0增加到0.02附近時(shí)，Ψ逐漸減?。欢?dāng)Ro繼續(xù)從0.02增加到0.9時(shí)，Ψ則隨著Ro增大而增加。非常有意思的是，在Ro=0.02時(shí)，Ψ是負(fù)值，即在該旋轉(zhuǎn)數(shù)條件下，平均流動(dòng)存在局部回流現(xiàn)象。Salewski和Eckhardt[18]在Ro=0.04時(shí)也發(fā)現(xiàn)了平均速度的局部回流現(xiàn)象。不過(guò)需要說(shuō)明的是，他們所采用的流向計(jì)算域過(guò)小，對(duì)流動(dòng)結(jié)構(gòu)和統(tǒng)計(jì)有一定的影響(在下文，我們將討論這種差別)。而Kawata和Alfredsson[10]他們也通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)到過(guò)這種平均速度局部回流現(xiàn)象。相反地，壁面摩擦雷諾數(shù)Reτ隨旋轉(zhuǎn)數(shù)Ro的變化則呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢(shì)。其最大值約在Ro=0.15附近。在該問(wèn)題中，Rew保持固定，因此Reτ可以表征壁面摩擦的大小。由圖可以看出，在00.611時(shí)，旋轉(zhuǎn)可以起到減阻的作用。

(b)

圖3給出了體平均的湍動(dòng)能[k]y以及二次流和剩余場(chǎng)貢獻(xiàn)的部分[ks]y和[k″]y隨旋轉(zhuǎn)數(shù)Ro的變化曲線。其中，算子“[]y”定義如下

(7)

圖3 體平均的湍動(dòng)能及其分量隨旋轉(zhuǎn)數(shù)Ro的變化規(guī)律。相關(guān)量都用Ro=0時(shí)的無(wú)量綱化[5]Fig.3 Volume-averaged kinetic energy and its two shears (the contributions from the secondary flows and the residual field) as a function of Ro. All quantities are normalized by at Ro=0[5]

由于湍動(dòng)能等項(xiàng)已經(jīng)是時(shí)間、流向和展向平均之后的量，因此其法向平均可以認(rèn)為是體平均的結(jié)果。由圖中可以看出，總湍動(dòng)能隨著Ro是先增加后減小的，在Ro=0.25附近達(dá)到最大值。即當(dāng)Ro<0.25時(shí)，旋轉(zhuǎn)會(huì)增強(qiáng)湍流；而當(dāng)Ro>0.25時(shí)，旋轉(zhuǎn)相反會(huì)抑制湍流。二次流部分的湍動(dòng)能的結(jié)果同總湍動(dòng)能基本保持類似的趨勢(shì)，在Ro>0.6時(shí)，二次流基本消失。剩余場(chǎng)部分的湍動(dòng)能則體現(xiàn)出同總動(dòng)能相反的趨勢(shì)。它是先減小，后增大，最后又減小的過(guò)程。在Ro=0.1附近其達(dá)到極小值，而在Ro=0.5時(shí)，其已經(jīng)非常接近總湍動(dòng)能的值。

圖4是六個(gè)不同旋轉(zhuǎn)數(shù)下二次流的統(tǒng)計(jì)圖。該圖中，橫截面速度向量由(vs,ws)表征；流向速度分量us則由等值面表征。從圖中可以看出，在Ro<0.25時(shí)隨著Ro增加，二次流逐漸增強(qiáng)；而當(dāng)Ro>0.25時(shí)，二次流則隨著Ro增加而減弱，在Ro=0.7時(shí)已經(jīng)幾乎無(wú)法看到明顯的二次流了。這和前面的圖3的結(jié)論基本一致。值得注意的是，當(dāng)Ro=0.25和0.32時(shí)，二次流的大渦兩側(cè)存在次生的二次流。其中Ro=0.25時(shí)，次生二次流強(qiáng)于Ro=0.32時(shí)的結(jié)果。

(a) Ro=0

(b) Ro=0.01

(c) Ro=0.02

(d) Ro=0.25

(e) Ro=0.32

(f) Ro=0.7

2.2 弱旋轉(zhuǎn)條件下的流動(dòng)結(jié)構(gòu)和統(tǒng)計(jì)

在上一節(jié)中，我們提到Rew=1300、Ro=0.02時(shí)平均流在槽道中心位置有局部回流現(xiàn)象。本部分將介紹在弱旋轉(zhuǎn)Ro=0.02時(shí)的流動(dòng)結(jié)構(gòu)和統(tǒng)計(jì)分析。在Huang等人[20]的文章中，他們開(kāi)展了一系列DNS研究，分析了網(wǎng)格分辨率、流向計(jì)算域、展向計(jì)算域和計(jì)算時(shí)間的影響。在計(jì)算結(jié)果中，他們發(fā)現(xiàn)，在Ro=0.02時(shí)，流動(dòng)結(jié)構(gòu)可能會(huì)隨著計(jì)算時(shí)長(zhǎng)而改變，不過(guò)這種計(jì)算結(jié)果還跟流向計(jì)算域有關(guān)。當(dāng)流向計(jì)算域較小，例如Lx=4π時(shí)，展向Lz=4π的槽道中二次流的渦對(duì)(Roll-cells)數(shù)恒定為3對(duì)；而當(dāng)Lx≥8π時(shí)，展向Lz=4π的槽道中會(huì)先出現(xiàn)3對(duì)渦對(duì)而后流動(dòng)會(huì)演變?yōu)?對(duì)渦對(duì)。在流動(dòng)處在3對(duì)渦對(duì)時(shí)，平均速度在中心區(qū)存在局部回流；而當(dāng)流動(dòng)處于2對(duì)渦對(duì)時(shí)，該局部回流消失。如果Lx=8π，Lz=6π時(shí)，該流態(tài)轉(zhuǎn)換依舊存在，流動(dòng)會(huì)從4對(duì)渦對(duì)轉(zhuǎn)換成3對(duì)渦對(duì)。圖5給出了該計(jì)算域下x=0位置處的中心線瞬時(shí)流向速度在展向和時(shí)間上的變化規(guī)律?？梢钥闯觯陂L(zhǎng)達(dá)5000個(gè)無(wú)量綱時(shí)間中，流動(dòng)從層流加擾動(dòng)初始解首先演化出4對(duì)流向渦對(duì)，該4對(duì)渦對(duì)的狀態(tài)持續(xù)了大約1800無(wú)量綱時(shí)間(200～2000)。之后該流動(dòng)的渦對(duì)開(kāi)始出現(xiàn)合并，最后在3000個(gè)無(wú)量綱時(shí)間的時(shí)候，流動(dòng)變成3對(duì)渦對(duì)結(jié)構(gòu)。值得說(shuō)明的是，我們嘗試過(guò)計(jì)算超過(guò)10 000個(gè)無(wú)量綱時(shí)間，流動(dòng)后期依舊保持在3對(duì)渦對(duì)的狀態(tài)。

圖5 在x=0處中心線流向瞬時(shí)速度信號(hào)u(0,0,z,t)隨時(shí)間的變化關(guān)系[20]Fig.5 Contours of u(0,0,z,t) as time evolves[20]

圖6給出了4對(duì)渦和3對(duì)渦結(jié)構(gòu)下，流場(chǎng)的湍流統(tǒng)計(jì)規(guī)律。可以看出，兩者之間是存在明顯差別的。特別的，在4對(duì)渦時(shí)，平均速度在中心線處存在局部回流(從圖6(d)中雷諾剪應(yīng)力大于1可以推出來(lái))；而當(dāng)流動(dòng)變成3對(duì)渦的時(shí)候，該平均速度的局部回流消失，雷諾剪應(yīng)力的最大值小于1。

(a) 平均速度

和

(d) -〈u′v′〉+

需要說(shuō)明的是，在前人的工作中，Lz=4π的槽道寬度中只發(fā)現(xiàn)了3對(duì)渦的狀態(tài)[5,14-15]。我們認(rèn)為這主要原因在于過(guò)去的計(jì)算時(shí)間不夠長(zhǎng)。在過(guò)去的計(jì)算中，最多只算了幾百無(wú)量綱時(shí)間[5]，圖5顯示了計(jì)算時(shí)間如果不夠長(zhǎng)，容易忽略掉后面穩(wěn)定的流態(tài)。因此，我們建議算湍流問(wèn)題時(shí)，要用更長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間。

2.3 多態(tài)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)結(jié)果、魯棒性分析

事實(shí)上，RPCF中的多湍流態(tài)現(xiàn)象在文獻(xiàn)[19]中已有論述。在該文章中，本文作者和合作者針對(duì)Rew=1300，Ro=0.2的RPCF流動(dòng)開(kāi)展了DNS模擬。由于在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，我們知道隨著Ro從0.02增加到0.2時(shí)，二次流是會(huì)變得更強(qiáng)更穩(wěn)定的；而在前期研究Ro=0.02時(shí)，我們也發(fā)現(xiàn)了Ro=0.02時(shí)存在流態(tài)轉(zhuǎn)換過(guò)程。因此，在設(shè)計(jì)計(jì)算的時(shí)候，我們選取了兩個(gè)不同的初始場(chǎng)，一個(gè)初始場(chǎng)是Ro=0.02時(shí)較前期的瞬時(shí)場(chǎng)，此時(shí)該流場(chǎng)擁有3對(duì)渦對(duì)結(jié)構(gòu)(Lz=4π)；另一個(gè)初始場(chǎng)則選取Ro=0.02時(shí)后期的瞬時(shí)場(chǎng)，該流場(chǎng)擁有2對(duì)渦對(duì)結(jié)構(gòu)。在計(jì)算中，兩個(gè)初始場(chǎng)分別按照相同的程序，在相同的控制參數(shù)，相同的計(jì)算域和相同的網(wǎng)格分辨率條件下進(jìn)行時(shí)間推進(jìn)。經(jīng)過(guò)超過(guò)3000個(gè)無(wú)量綱時(shí)間的計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)流動(dòng)的最終統(tǒng)計(jì)結(jié)果和流動(dòng)結(jié)構(gòu)不一樣。另外，我們還在流向和展向進(jìn)行了網(wǎng)格加密，結(jié)果依舊出現(xiàn)多態(tài)現(xiàn)象。

圖7給出了穩(wěn)態(tài)條件下，兩種不同流態(tài)下的二次流的橫流速度矢量圖和流向分量的等值線圖?？梢钥闯觯瑑山M不同的初始條件會(huì)等到不同的流動(dòng)結(jié)構(gòu)：一個(gè)會(huì)得到2對(duì)渦對(duì)結(jié)構(gòu)；另一個(gè)則會(huì)保持3對(duì)渦對(duì)的狀態(tài)。

(a) 2對(duì)渦對(duì)的結(jié)果

(b) 3對(duì)渦對(duì)的結(jié)果

兩種不同流態(tài)下，其平均速度存在差異。為了說(shuō)明問(wèn)題，表2中給出了兩組不同網(wǎng)格下，2對(duì)渦和3對(duì)渦的一些統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從表中的數(shù)據(jù)可以看出：相同流態(tài)下，兩組不同的網(wǎng)格下壁面摩擦雷諾數(shù)Reτ相差很小，誤差都小于1‰。而不同流態(tài)之間的Reτ之間的差別則明顯增大，差別約為6%。類似地，平均速度在中心線處的法向梯度也呈現(xiàn)類似的行為，只是誤差相對(duì)較大。在3對(duì)渦流態(tài)下，兩組不同網(wǎng)格的計(jì)算給出的值約為0.2；而在2對(duì)渦流態(tài)下對(duì)應(yīng)的值減小到約0.14。從穩(wěn)定性分析的角度看，前者在中心區(qū)趨向于中性穩(wěn)定；而后者則處于穩(wěn)定區(qū)域，這也可以解釋為何2對(duì)渦條件下湍動(dòng)能在中心區(qū)會(huì)相對(duì)較小。

表2 不同流態(tài)下的湍流特征統(tǒng)計(jì)[19]Table 2 Turbulent statistics at different states[19]

圖8給出了2對(duì)渦和3對(duì)渦時(shí)的湍流二階統(tǒng)計(jì)結(jié)果?？梢钥闯觯瑑煞N不同流態(tài)之間的統(tǒng)計(jì)存在非常明顯的差異，而同一種流態(tài)在不同網(wǎng)格下的統(tǒng)計(jì)差異幾乎可以忽略。在靠近壁面的區(qū)域，3對(duì)渦條件下的流向和展向速度脈動(dòng)更強(qiáng)；同時(shí)，其對(duì)應(yīng)的法向速度脈動(dòng)和雷諾剪應(yīng)力則在槽道中心區(qū)更強(qiáng)。

為了驗(yàn)證多態(tài)現(xiàn)象的存在是物理的，而不是計(jì)算域造成的虛假結(jié)果，我們?cè)谖墨I(xiàn)[19]中擴(kuò)大了流向和展向的計(jì)算域，計(jì)算結(jié)果基本還能保持多態(tài)的結(jié)果。為了進(jìn)一步驗(yàn)證多態(tài)現(xiàn)象的魯棒性，我們還考察了多態(tài)現(xiàn)象對(duì)初始流場(chǎng)的依賴性。我們構(gòu)造了一個(gè)新的流場(chǎng)ui：

(8)

更進(jìn)一步，我們還模擬實(shí)驗(yàn)的方式[25]，在計(jì)算中逐漸增加旋轉(zhuǎn)數(shù)或者逐漸減小旋轉(zhuǎn)數(shù)，進(jìn)而來(lái)研究多態(tài)現(xiàn)象的存在區(qū)間。在文獻(xiàn)[21]中，Huang等人開(kāi)展了兩組DNS模擬。在相同的計(jì)算域和計(jì)算網(wǎng)格下，兩組計(jì)算的初始場(chǎng)都是層流解加擾動(dòng)的無(wú)散場(chǎng)。其中一組的旋轉(zhuǎn)數(shù)Ro逐漸從0.01增加到0.02，0.03，0.04，0.05，0.1，0.2，0.3，0.5，0.6；而另一組則按照相同的Ro從0.6逐漸減小到0.01。在每個(gè)Ro上，都計(jì)算1250個(gè)無(wú)量綱時(shí)間，后一個(gè)算例(Ro)是以前一個(gè)算例的最后一個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)流場(chǎng)作為初始場(chǎng)。

(a) 〈u′u′〉

(b) 〈v′v′〉

(c) 〈w′w′〉

(d) -〈u′v′〉

圖9 不同參數(shù)α下初場(chǎng)的最終流態(tài)示意圖[22]Fig.9 A sketch of final states with different initial conditions defined by α[22]

圖10給出了法向瞬時(shí)速度的前四個(gè)模態(tài)的幅值隨計(jì)算時(shí)間的變化曲線。其中，模態(tài)幅值定義如下：

(9)

其中，F(xiàn)z(f(z))表征的是函數(shù)f(z)的離散傅里葉變換，“〈〉x”表征流向平均。通常情況下，幅值最大的kz值可以視為渦對(duì)數(shù)。由圖10可以看出，在0.03≤Ro≤0.3范圍里，隨著旋轉(zhuǎn)數(shù)Ro逐漸增加，kz=2的模態(tài)逐漸占主導(dǎo)；而當(dāng)Ro逐漸減小時(shí)，kz=3的模態(tài)逐漸占主導(dǎo)。

(a) 隨著Ro增加的結(jié)果

(b) 隨著Ro減小的結(jié)果

圖11給出了在Ro在0.01到0.5之間的流向瞬時(shí)速度在x=0、y=0處的時(shí)間歷程。其中，圖11(a)給出的是隨著Ro增加的情況，圖11(b)給出的是隨著Ro減小時(shí)的情況。可以看出在0.03≤Ro≤0.3范圍里，隨著Ro增加時(shí)，流場(chǎng)呈現(xiàn)2對(duì)渦；而隨著Ro減小時(shí)，流場(chǎng)則有3對(duì)渦。圖11的結(jié)果與Huisman等人[25]在Taylor-Couette流動(dòng)的實(shí)驗(yàn)中的結(jié)果非常相似。

(a) Ro逐漸增加

(b) Ro逐漸減小

我們還分析了壁面摩擦雷諾數(shù)Reτ、體平均的湍動(dòng)能以及體平均的二次流湍動(dòng)能隨著Ro增加和減小的結(jié)果。圖12中給出了體平均的湍動(dòng)能隨著Ro增加和減小時(shí)的變化規(guī)律。由圖可以看出，在0.03≤Ro≤0.3范圍里，兩組計(jì)算出來(lái)的體平均湍動(dòng)能在相同的Ro下存在明顯差別，3對(duì)渦時(shí)(Ro減小方向)的湍動(dòng)能明顯大于2對(duì)渦時(shí)的湍動(dòng)能。在文章中，我們還發(fā)現(xiàn)Reτ和體平均的二次流的湍動(dòng)能都存在類似于體平均湍動(dòng)能一樣的遲滯環(huán)[21]。

需要說(shuō)明的是，在這兩組計(jì)算中，10個(gè)Ro的具體數(shù)值并非預(yù)先有意設(shè)計(jì)的，而是在計(jì)算中隨機(jī)選取的。計(jì)算時(shí)間間隔1250個(gè)無(wú)量綱時(shí)間也不是特意選取的。在所有計(jì)算結(jié)果出來(lái)之前，我們也不能保證我們能觀測(cè)到遲滯環(huán)現(xiàn)象。最終結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)了遲滯環(huán)，這至少說(shuō)明了多態(tài)現(xiàn)象可以在很大的Ro范圍里存在。我們承認(rèn)如果改變Ro的具體值選取或者改變時(shí)間間隔，結(jié)果可能不一樣。事實(shí)上，在Huisman等人的實(shí)驗(yàn)研究中，他們也是在一些情況下遇到了多態(tài)現(xiàn)象[25]。

圖12 體平均的湍動(dòng)能隨著Ro增加和減小的變化規(guī)律[21]Fig.12 Changes of the volume-averaged turbulent kinetic energy as Ro increases or decreases[21]

2.4 多態(tài)條件下的能量流動(dòng)分析

在Taylor-Couette湍流中多態(tài)現(xiàn)象的工作中，Huisman等人曾經(jīng)猜測(cè)大尺度相干結(jié)構(gòu)的選擇性作用在多態(tài)現(xiàn)象中占據(jù)重要地位[24]。在RPCF中，二次流就是這種大尺度的流動(dòng)結(jié)構(gòu)。為了驗(yàn)證Huisman等人的假設(shè)，我們研究了二次流和剩余場(chǎng)之間的能量傳輸過(guò)程。參考Bech和Andersson[14]和Cai等人[26]的工作，我們將速度場(chǎng)分成四部分：

(u,v,w)=(〈u〉,〈v〉,〈w〉)+(us,0,0)+

(0,vs,ws)+(u″,v″,w″)

(10)

(11)

(12)

(13)

(a) 3對(duì)渦的流態(tài)

(b) 2對(duì)渦的流態(tài)

3 結(jié)論與展望

我們通過(guò)一系列直接數(shù)值模擬在Rew=1300的RPCF中發(fā)現(xiàn)了多湍流態(tài)現(xiàn)象。在不同的湍流態(tài)下其流動(dòng)結(jié)構(gòu)和湍流統(tǒng)計(jì)差別明顯。該多態(tài)現(xiàn)象比較魯棒，可以在非常大的Ro范圍里被觀察到。

我們還分析了不同湍流態(tài)下，能量在平均場(chǎng)、二次流場(chǎng)和剩余場(chǎng)之間的傳遞關(guān)系。通過(guò)數(shù)據(jù)分析我們發(fā)現(xiàn)，3對(duì)渦時(shí)(Lz=4π)，二次流較強(qiáng)，此時(shí)二次流相當(dāng)于能量傳輸?shù)囊粋€(gè)橋梁：平均場(chǎng)將大部分能量傳輸給二次流，再由二次流傳給剩余場(chǎng)；而當(dāng)流動(dòng)處在2對(duì)渦的流態(tài)時(shí)，此時(shí)二次流相對(duì)較弱，平均流雖然傳輸了很多能量給二次流，但是大部分都用于維持二次流本身，只有少部分能量能傳輸給剩余場(chǎng)。而剩余場(chǎng)的能量主要是通過(guò)平均場(chǎng)直接傳輸過(guò)來(lái)的。這種能量傳輸?shù)牟煌憩F(xiàn)，側(cè)面驗(yàn)證了大尺度結(jié)構(gòu)在多態(tài)現(xiàn)象中占據(jù)重要地位。

經(jīng)典的湍流理論假設(shè)湍流是各態(tài)遍歷的，是跟初始場(chǎng)無(wú)關(guān)的。這是湍流建模和模擬的基礎(chǔ)之一。多態(tài)現(xiàn)象的出現(xiàn)將對(duì)湍流建模和模擬提出新的挑戰(zhàn)。如果在模型的構(gòu)建(生成項(xiàng)的大小都不一樣)和驗(yàn)證中，將多態(tài)現(xiàn)象考慮進(jìn)去是值得研究的課題。此外，多湍態(tài)現(xiàn)象在工程問(wèn)題中是否存在？如果存在，它會(huì)對(duì)工程設(shè)計(jì)和安全有什么影響？這些也是非常值得研究的問(wèn)題。