不可壓壁湍流中基本相干結(jié)構(gòu)

楊 強(qiáng), 袁先旭,2,*, 陳堅強(qiáng),2, 涂國華

(1. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 空氣動力學(xué)國家重點(diǎn)實驗室, 四川 綿陽 621000；2. 中國空氣動力研究與發(fā)展中心 計算空氣動力研究所, 四川 綿陽 621000)

0 引 言

壁湍流廣泛地存在于自然界中，早在500多年前，意大利畫家達(dá)芬奇便在他的畫作中記錄了這一復(fù)雜的流動現(xiàn)象。長期以來人們認(rèn)為壁湍流是雜亂無序的，直到1967年，斯坦福大學(xué)Kline等[1]采用氫氣泡示蹤法證實了壁湍流中存在近似規(guī)則的低速條帶結(jié)構(gòu)(Streaks)，如圖1。這些條帶結(jié)構(gòu)在往下游演化的過程中會發(fā)生擺動，然后急驟破碎，進(jìn)而伴隨大量雷諾應(yīng)力的產(chǎn)生[2]。Kline等將這一過程命名為“猝發(fā)”(Bursting)。

圖1 氫氣泡示蹤的近壁條帶結(jié)構(gòu)[1]Fig.1 Hydrogen bubbles visualized near-wall streaks[1]

到1981年，Head和Bandyopadhyay[3]采用煙線示蹤方法發(fā)現(xiàn)了壁湍流邊界層中的流向渦結(jié)構(gòu)。它們依形態(tài)分有發(fā)卡渦、馬蹄渦、Ω渦等，分別對應(yīng)于湍流演化的不同階段和不同區(qū)域[4]。這其中最常見的就是發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)(如圖2)，它由正向和反向旋轉(zhuǎn)的兩條渦腿及頭部組成，實際壁湍流中以不對稱的形態(tài)為主，即通常無頭部且只出現(xiàn)一條渦腿。同時發(fā)卡渦也可以抱團(tuán)形成更大的渦包[5]。

圖2 直接數(shù)值模擬的發(fā)卡渦結(jié)構(gòu)[6]Fig.2 Hairpin vortex structures from DNS[6]

1 湍流結(jié)構(gòu)的自相似

過去一個世紀(jì)的壁湍流研究中最大的發(fā)現(xiàn)之一是壁定律[7-8]，即湍流邊界層包含黏性子區(qū)(y+<5)；緩沖區(qū)(530，y/δ<0.3)。這個分區(qū)主要是從流向平均速度剖面的標(biāo)度來界定的；如果從流動的特征尺度來分，壁湍流邊界層亦可分為內(nèi)區(qū)(y/δ<0.1)、外區(qū)(y+>50)和介于二者之間的對數(shù)區(qū)。不同的區(qū)域存在不同的特征長度：內(nèi)區(qū)的特征長度為黏性尺度ν/uτ，外區(qū)的特征長度為δ，而對數(shù)區(qū)的特征長度為壁面距離y。由上面的定義可以看到，對數(shù)區(qū)的下界是由黏性尺度決定的，而上界是由外區(qū)尺度決定的，當(dāng)上下界有一個量級的差別，大約在Reτ=O(103)時，內(nèi)區(qū)尺度和外區(qū)尺度開始出現(xiàn)明顯的分離，對數(shù)區(qū)才變得清晰起來。因此對數(shù)區(qū)的存在是高雷諾數(shù)壁湍流特有的現(xiàn)象。然而長期以來，受限于實驗測量條件和計算機(jī)運(yùn)行速度，20世紀(jì)研究的絕大部分充分發(fā)展壁湍流均在Reτ=O(102)量級，比如Kim等[9]在1987年開展的首個壁湍流的直接數(shù)值模擬(DNS)雷諾數(shù)為Reτ≈180，并成為了充分發(fā)展壁湍流的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫被廣泛應(yīng)用。由于過去研究的雷諾數(shù)不夠高，對數(shù)區(qū)不夠明顯，以致關(guān)于卡門常數(shù)κ究竟是不是常數(shù)成為爭論的熱點(diǎn)[10-11]。

Townsend[12-13]較早意識到壁湍流的對數(shù)律暗示著壁湍流中存在一系列大小與其中心離壁面距離成正比的附面渦結(jié)構(gòu)，并給出了壁湍流中最早的統(tǒng)計模型(雙錐模型，如圖3)。通過假設(shè)湍流邊界層中具有一系列不同大小的附面渦且它們具有相似的速度分布，Townsend成功地導(dǎo)出了無窮大雷諾數(shù)下流向平均速度的對數(shù)律，同時他還預(yù)測在無窮大雷諾數(shù)下壁湍流的流向和展向速度脈動也存在對數(shù)律，而法向速度和雷諾應(yīng)力為常數(shù)。這一預(yù)測結(jié)果后來得到了實驗[14-15]和DNS[16-17]的證實。Townsend的附面渦模型(AEM)后來得到進(jìn)一步發(fā)展[18-20]，Marusic & Monty[21]最近對這方面的工作進(jìn)行了綜述。需要指出的是Townsend的附面渦只是統(tǒng)計意義上抽象的湍流相干結(jié)構(gòu)模型，它可以包含實際觀察到的條帶和流向渦結(jié)構(gòu)。

圖3 Townsend提出的壁湍流中的雙錐模型[13]Fig.3 Double-cone model for wall-bounded turbulence proposed by Townsend[13]

Townsend的附面渦模型與Richardson[22]的能量級串具有一定的相似性。能量由最大含能渦進(jìn)入系統(tǒng)，然后經(jīng)過慣性子區(qū)尺度間能量的逐級傳遞，最終至Kolmogorov尺度完成能量耗散[23]。對于壁湍流，這種能量級串的過程發(fā)生在不同的壁面高度。由于壁面的約束，使得不同的壁面高度處的含能尺度和耗散尺度隨高度發(fā)生變化。Jiménez[24]分析了高雷諾數(shù)壁湍流中的湍動能譜和耗散能譜，發(fā)現(xiàn)含能尺度和Kolmogorov耗散尺度隨著高度增大而增大，而且兩個尺度間的分離也隨高度增加而增加，表明在更高的壁面位置需要經(jīng)歷更長的能量級串歷程(如圖4)。大部分能量在其生成高度完成耗散，但由于不同壁面高度處相干結(jié)構(gòu)間的相互作用，能量也沿壁面高度發(fā)生傳遞。Townsend的附面渦模型反映了這一含能尺度的分布規(guī)律，同時，由于附面渦尺度隨壁面距離發(fā)生變化，同一附面渦在較低高度是含能尺度，但在較高高度卻可能也是慣性區(qū)尺度。

圖4 壁湍流中沿壁面高度的能量生成與耗散能譜[24]Fig.4 Energy production and dissipation spectra along wall-normal distance in wall-bounded turbulence[24]

1.1 近壁區(qū)

圖5 壁湍流中條帶和流向渦結(jié)構(gòu)示意圖[26]Fig.5 Schematics of streaks and streamwise vortices in wall-bounded turbulence[26]

Willmarth等[30-32]對壁湍流中的雷諾應(yīng)力-u′v′進(jìn)行了象限分析，依(u′,v′)的符號將雷諾應(yīng)力分為Q1、Q2、Q3和Q4事件。旋轉(zhuǎn)的流向渦在一側(cè)將近壁的低速流體帶到遠(yuǎn)壁區(qū)，形成上拋(Ejection)，對應(yīng)Q2事件；而在另一側(cè)將遠(yuǎn)壁面的高速流體帶到近壁區(qū)，形成下掃(Sweep)，對應(yīng)Q4事件。Q2和Q4事件是壁湍流雷諾應(yīng)力的主要貢獻(xiàn)者，且靠近壁面區(qū)(y+<12)由Q4事件主導(dǎo)，而遠(yuǎn)離壁面區(qū)由Q2事件主導(dǎo)[9]。這兩個事件直接造成流向速度的法向梯度增加，形成壁面的高摩阻區(qū)域[33]。圖5給出的條帶和流向渦相干結(jié)構(gòu)的分布能夠很好地解釋壁湍流中包括上拋和下掃在內(nèi)的諸多實驗觀測到的現(xiàn)象。

1.2 遠(yuǎn)壁區(qū)

隨著實驗和計算技術(shù)的不斷進(jìn)步，壁湍流研究的雷諾數(shù)也在不斷提高，如直接數(shù)值模擬的最高雷諾數(shù)已從Reτ=180上升到Reτ=8000[9,16-17,27,34-36]，實驗雷諾數(shù)目前最高已達(dá)到Reτ=O(106)量級[15,37]。從湍流統(tǒng)計量來看，高雷諾數(shù)湍流中最直觀的反映是：湍流脈動量和能譜分布中除了內(nèi)區(qū)峰值外，在外區(qū)也出現(xiàn)了一個新的峰值，且外區(qū)峰值能量隨雷諾數(shù)增加逐漸升高(如圖6)[38]。這一現(xiàn)象預(yù)示著高雷諾數(shù)湍流中外區(qū)相干結(jié)構(gòu)的作用不容忽視，因此自上世紀(jì)末它們成為壁湍流研究新的熱點(diǎn)。

圖6 流向速度脈動的一維預(yù)乘譜和統(tǒng)計平均量[39]Fig.6 One-dimensional pre-multiplied spectra and statistical mean of streamwise velocity fluctuations[39]

實驗中很早就觀察到在邊界層的外緣存在大尺度的湍流結(jié)構(gòu)，它們將邊界層的湍流區(qū)和層流區(qū)沿法向分開，其大小為O(δ)量級[40]。Meinhart[41]通過PIV測量發(fā)現(xiàn)湍流邊界層遠(yuǎn)壁區(qū)存在均勻的流向速度動量區(qū)，與近壁區(qū)的條帶結(jié)構(gòu)類似，但流向尺度為2δ～3δ，展向尺度為1δ～1.5δ，這一結(jié)構(gòu)被命名為大尺度結(jié)構(gòu)(LSM)。接著，Kim & Adrian[42]在Reτ=3175圓管流動測量中發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)壁區(qū)除了長度為2δ～3δ的大尺度結(jié)構(gòu)外，還存在長度為14δ的超大尺度的湍流結(jié)構(gòu)(VLSM)。Hutchins & Marusic[38]分析Reτ=O(106)大氣邊界層數(shù)據(jù)，也發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)壁區(qū)存在20δ的超大尺度結(jié)構(gòu)，并將其稱為超結(jié)構(gòu)(Superstructures)。dellamo & Jiménez[43]對Reτ=550泊肅葉流動的DNS數(shù)據(jù)庫分析發(fā)現(xiàn)其中存在長度大于5δ的超大尺度結(jié)構(gòu)，且在更高雷諾數(shù)下變得更為清晰(如圖7)[44]。Monty等[45]對平板邊界層流動、槽道流動和圓管流動中的大尺度/超大尺度結(jié)構(gòu)進(jìn)行了綜合比較，發(fā)現(xiàn)大尺度/超大尺度結(jié)構(gòu)廣泛地存在于這些典型流動的對數(shù)區(qū)和外區(qū)(遠(yuǎn)壁區(qū))。

圖7 高雷諾數(shù)壁湍流中的超大尺度結(jié)構(gòu)[44]Fig.7 VLSM in high Reynolds number turbulence[44]

遠(yuǎn)壁區(qū)的這些大尺度/超大尺度結(jié)構(gòu)在統(tǒng)計意義上存在自相似性[46-52]，與Townsend的附面渦模型描述情形一致。關(guān)于遠(yuǎn)壁區(qū)大尺度/超大尺度結(jié)構(gòu)的形成，Adrian 等[53]結(jié)合實驗觀測結(jié)果給出了解釋：大量的流向渦聚集在一起會形成更大的渦團(tuán)(如圖7)，渦團(tuán)的上拋和下掃形成了大尺度的均勻動量區(qū)，而多個均勻的動量區(qū)又會進(jìn)一步聚集形成更長的均勻動量區(qū)，即所謂的“Bottom-up”效應(yīng)。但最新數(shù)值實驗表明，外區(qū)的大尺度結(jié)構(gòu)可以不依賴近壁的小尺度結(jié)構(gòu)而單獨(dú)存在[54-55]，因此“Bottom-up”可能并非遠(yuǎn)壁區(qū)大尺度/超大尺度結(jié)構(gòu)生成的機(jī)制，后面將繼續(xù)論述這一點(diǎn)。

高雷諾數(shù)下，遠(yuǎn)壁區(qū)的這些大尺度/超大尺度結(jié)構(gòu)對近壁區(qū)的動力學(xué)和統(tǒng)計學(xué)行為有著重要影響，主要表現(xiàn)為“疊加”(Superposition)和“調(diào)制”(Modulation)兩種作用[39,56-57]，即所謂的“Top-down”效應(yīng)。由于大尺度/超大尺度結(jié)構(gòu)的存在，近壁區(qū)的湍流速度脈動的峰值即便在黏性尺度下也不是固定不變，而是隨著雷諾數(shù)升高不斷增加[58-59]。這些大尺度/超大尺度結(jié)構(gòu)對壁面摩阻有著重要貢獻(xiàn)，在Reτ≈2000時貢獻(xiàn)率已達(dá)20%～30%[60]。遠(yuǎn)壁區(qū)的大尺度結(jié)構(gòu)對近壁區(qū)的小尺度結(jié)構(gòu)的幅值、頻率、相位、對流速度等均有影響[39,59,61-65]，且高速大尺度結(jié)構(gòu)和低速大尺度結(jié)構(gòu)對近壁區(qū)小尺度結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的影響是不同的[66-68]。據(jù)此，Marusic等[69-71]提出了一種近壁流動參數(shù)的預(yù)測模型，僅通過測量遠(yuǎn)壁區(qū)流動量便可預(yù)測出近壁區(qū)的流動參數(shù)(如圖8)。然而，Toh & Itano[72]認(rèn)為近壁區(qū)的小尺度結(jié)構(gòu)與遠(yuǎn)壁區(qū)的大尺度結(jié)構(gòu)間的作用不是單方面的，而是相互依存影響的，即所謂的“Co-supporting”機(jī)制。目前，內(nèi)外區(qū)不同尺度間的相互干擾仍是一個尚無共識的領(lǐng)域，有待進(jìn)一步探索。

高雷諾數(shù)壁湍流是一個剛剛興起的研究熱點(diǎn)，里面有許多新的物理現(xiàn)象和開放性問題[73]，感興趣的讀者可以參考最近的綜述文章[5,24,37,74-76]。

圖8 內(nèi)區(qū)和外區(qū)湍流結(jié)構(gòu)相互作用[69]Fig.8 Interaction between turbulence structures in the inner and outer regions[69]

2 湍流結(jié)構(gòu)的自維持

Mizuno & Jiménez[80]研究槽道湍流時人為地將壁面移除，在對數(shù)區(qū)施加約束條件，發(fā)現(xiàn)近壁區(qū)的湍流結(jié)構(gòu)消失了，但對數(shù)區(qū)和外區(qū)的湍流結(jié)構(gòu)和統(tǒng)計量幾乎沒有受到影響。這一結(jié)果說明，壁面的存在僅僅是提供湍流生成所需的平均速度剪切，且對數(shù)區(qū)的相干結(jié)構(gòu)可以不依賴于近壁區(qū)相干結(jié)構(gòu)獨(dú)立存在。Hwang & Cossu[81]對此作了進(jìn)一步證實。他們在對數(shù)區(qū)MFU中人為提高大渦模擬的Smagorinsky渦黏系數(shù)CS以抹去近壁區(qū)的湍流結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)對數(shù)區(qū)的湍流結(jié)構(gòu)仍然能夠自維持。Hwang & Cossu[54]在大槽道中采用同樣的方法將近壁區(qū)和對數(shù)區(qū)的湍流結(jié)構(gòu)都人為抹去，發(fā)現(xiàn)外區(qū)的大尺度湍流結(jié)構(gòu)仍能自維持。由此說明壁湍流結(jié)構(gòu)在各個壁面高度都能獨(dú)立存在——壁湍流的自維持現(xiàn)象。

為了探尋壁湍流自維持的機(jī)理，Hamilton等[82]基于庫特葉流動的MFU率先對緩沖區(qū)進(jìn)行了研究，提出了壁湍流自維持的閉環(huán)(如圖9)。這個過程描述如下：1. 由于“Lift-up”效應(yīng)，流向渦激發(fā)出流向均勻的條帶結(jié)構(gòu)(線性過程)；2. 流向均勻的條帶由于瞬態(tài)增長或二次失穩(wěn)變得蜿蜒最終破碎；3. 具有流向梯度的流場在非線性作用下生成流向渦(非線性過程)。湍流的自維持將前面實驗和計算中所觀察到的條帶和流向渦緊緊地聯(lián)系在了一起，兩者互相依存，缺一不可。最近發(fā)現(xiàn)，緩沖區(qū)的自維持過程同樣也適用于對數(shù)區(qū)和外區(qū)湍流相干結(jié)構(gòu)[55,83],破壞三個環(huán)節(jié)中的任何一環(huán)都會造成流動的層流化。圖10展示了對數(shù)區(qū)MFU中的一個典型的自維持過程。最近，Yang等[84]發(fā)現(xiàn)自維持過程也可以在Kolmogorov尺度上發(fā)生，但是此過程的能量生成量相對于能量級串過程的能量傳遞量是很小的。

圖9 湍流自維持過程的閉環(huán)[82]Fig.9 Cycle of the self-sustaining process of turbulence[82]

圖10 對數(shù)區(qū)的自維持過程[83]:(a,b)流向和法向速度脈動能量隨時間的演化；(c-f)典型時刻的條帶和流向渦結(jié)構(gòu)Fig.10 SSP in the logarithmic region[83]： (a,b) time evolution of streamwise and wall-normal velocity fluctuation energy; (c-f) streaks and streamwise vortices at typical instances

基于Townsend的附面渦模型，最近Hwang[50]提出了一個適用于內(nèi)區(qū)、對數(shù)區(qū)和外區(qū)的湍流相干結(jié)構(gòu)的統(tǒng)一框架：在給定壁面高度y，存在尺度為λx≈10λz，λz≈10y的條帶(流向速度脈動量)和尺度為λx≈2～3λz，λz≈1～2y的流向渦結(jié)構(gòu)(法向和展向速度脈動量)；對于近壁區(qū)，y=10ν/uτ；對于外區(qū)，y=δ。每個壁面高度的條帶和流向渦形成自維持的閉環(huán)。實驗和計算中觀察到的LSM和VLSM可以分別看作是外區(qū)的流向渦和條帶結(jié)構(gòu)。

2.1 條帶的生成

(a) 內(nèi)區(qū)

(b) 外區(qū)[101]

2.2 流向渦的生成

流向渦的生成主要有兩類解釋[105]：一種是“Parent-offspring”機(jī)制；另一種是條帶不穩(wěn)定性(“Streak-instability”)機(jī)制?！癙arent-offspring”機(jī)制更具有唯象性，需要預(yù)先有流向渦存在；而條帶不穩(wěn)定性機(jī)制是基于穩(wěn)定性理論，不需要預(yù)先有流向渦存在，但需要有條帶存在。

Brooke & Hanratty[106]通過觀察展向和法向二維渦截面，發(fā)現(xiàn)流場中的流向渦通過下掃在壁面生成流向渦量進(jìn)而演化成新的流向渦，類似于偶極子渦在壁面的反彈過程[107]。然而現(xiàn)在的研究更多地發(fā)現(xiàn)壁面的存在并不是壁湍流自維持所必需的[80]，說明基于壁面的渦生成機(jī)制不是主要的。Zhou等[108]通過直接數(shù)值模擬觀測到當(dāng)流向渦超過一定的強(qiáng)度后，會在邊部生成新的二次流向渦，然后二次流向渦又會生成新的三次流向渦。

從湍流自維持的角度，條帶不穩(wěn)定性機(jī)制更被接受。飽和的條帶具有不同的失穩(wěn)模態(tài)：反對稱模態(tài)的失穩(wěn)對應(yīng)著交錯排列的流向渦結(jié)構(gòu)；對稱模態(tài)的失穩(wěn)對應(yīng)著發(fā)夾渦結(jié)構(gòu)，其中反對稱模態(tài)失穩(wěn)更為常見[109-110]，也更為危險[111]。Schoppa & Hussain[112]詳細(xì)討論了基于當(dāng)?shù)胤€(wěn)定性理論的飽和條帶失穩(wěn)形成流向渦的過程。Schoppa & Hussain[86]發(fā)現(xiàn)湍流中實際滿足失穩(wěn)條件的條帶所占比例很小，大部分條帶是通過瞬態(tài)增長途徑實現(xiàn)失穩(wěn)的，稱為條帶的瞬態(tài)增長(STG)機(jī)制。圖12展示了通過STG生成的流向交錯排列的流向渦，與DNS結(jié)果十分類似(見圖5)。

圖12 STG生成的流向渦[86]Fig.12 STG generated streamwise vortices[86]

3 精確相干態(tài)

意識到湍流中的自維持后，Waleffe[110,113]嘗試獲得一個簡化的數(shù)學(xué)模型來描述這一過程。他將滑移壁面條件下的N-S方程分解成流向速度部分(條帶)和法向、展向速度部分(流向渦)。由于流向均勻的條帶無法失穩(wěn)形成流向渦，因此引入一個人為的體積力以維持流向渦。然后，Waleffe[113]逐漸降低體積力的大小至零，發(fā)現(xiàn)由于非線性的作用系統(tǒng)中出現(xiàn)了兩個自維持的狀態(tài)。Waleffe[114]進(jìn)一步將這兩個自維持態(tài)延拓到無滑移壁面條件下，獲得了泊肅葉流動中的首個N-S方程的非線性解(又稱不變解，見圖13)。這一非線性解具有蜿蜒的流向條帶和伴隨兩側(cè)的流向渦結(jié)構(gòu)，以一固定的相速度向下游傳播(行波解)，在相對坐標(biāo)系下解的結(jié)構(gòu)不發(fā)生變化，與Jeong等[26]從DNS湍流場提取的湍流相干結(jié)構(gòu)(見圖5)極為相似，因此這個非線性解被普遍認(rèn)為是對湍流的自維持過程的精確描述[75]。鑒于此，Waleffe率先將這個非線性解命名為精確相干態(tài)(ECS，又稱精確相干結(jié)構(gòu))[114]。從動力系統(tǒng)的角度看，ECS的種類有很多，包括湍流的平衡態(tài)、行波解、周期軌道及其包絡(luò)等，湍流即是在這些ECS間穿梭[115-116]。Jiménez等[87]將ECS和MFU及全尺度湍流近壁區(qū)的統(tǒng)計量和猝發(fā)特征進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)ECS可以作為一個簡化的系統(tǒng)進(jìn)行湍流研究。

圖13 泊肅葉流動中的ECS[114]Fig.13 ECS in Poiseuille flow[114]

將ECS沿雷諾數(shù)進(jìn)行延拓就可以獲得一條分叉曲線，轉(zhuǎn)折點(diǎn)為鞍-結(jié)點(diǎn)，是下支的鞍點(diǎn)與上支的結(jié)點(diǎn)匯聚的地方。在給定雷諾數(shù)下，上支ECS摩阻比下支ECS高很多，流向渦強(qiáng)度更大、條帶更蜿蜒[114]。從動力系統(tǒng)角度看上支ECS是湍流區(qū)的平衡態(tài)/準(zhǔn)平衡態(tài)，湍流運(yùn)動軌跡在它附近停留一段時間后再沿其不穩(wěn)定包絡(luò)轉(zhuǎn)移到另一個平衡態(tài)/準(zhǔn)平衡態(tài)。下支ECS位于湍流與層流的分界面(Edge of Chaos)，至少有一個不穩(wěn)定的特征方向，從一側(cè)施加擾動可以快速地到達(dá)湍流區(qū)，而從另一側(cè)施加擾動可以快速地到達(dá)層流態(tài)(如圖14)。如果下支ECS有且只有一個不穩(wěn)定的特征方向，它也被稱為邊界態(tài)(Edge State)[117]。可見，ECS不僅是充分發(fā)展湍流里的基本相干結(jié)構(gòu)，它也是轉(zhuǎn)捩過程中的基本相干結(jié)構(gòu)。需要指出的是，真正意義上的首個ECS是Nagata[118]分析庫特葉流動的亞臨界失穩(wěn)時通過對泰勒-庫特葉流動進(jìn)行同倫變換獲得的，隨后Clever & Busse[119]在研究熱對流問題時也通過同倫變換獲得了相同的解，它與Waleffe[114]從自維持角度發(fā)現(xiàn)的泊肅葉流動中的ECS是同一族解，統(tǒng)稱為NBCW解。同樣采用人為體積力的方法[113]，F(xiàn)aisst & Eckhardt[120]和Wedin & Kerswell[121]獲得了圓管流動中的NBCW解。這樣，ECS就將各種剪切流動中的充分發(fā)展湍流與轉(zhuǎn)捩過程統(tǒng)一在了同一分析框架中。由于ECS通常是不穩(wěn)定的，實際流動中很難觀測到，但最終Hof等[122]通過精細(xì)的實驗首次在圓管中拍到了ECS，證實了精確相干態(tài)的真實性。

ECS是從湍流自維持的角度考慮N-S方程的非線性解，而實際中這樣含有流向渦與條帶的三維相干結(jié)構(gòu)在其它的理論中也有發(fā)現(xiàn)。比如，Hall & Smith[124]研究無窮大雷諾數(shù)下T-S波與流向渦的非線性作用時，發(fā)展了一套渦波干擾(VWI)理論。通過VWI理論獲得的解其實是ECS在無窮大雷諾數(shù)下的漸近態(tài)[125]。McKeon & Sharma[126]將N-S方程的非線性作用視為一個隨機(jī)力效應(yīng)，發(fā)展了湍流的Resolvent分析方法，可以較好地反映壁湍動中一系列的相干結(jié)構(gòu)[76]。最近，他們發(fā)現(xiàn)只需要幾個Resolvent模態(tài)就可以構(gòu)造出ECS[127-128]。

圖14 態(tài)空間內(nèi)的邊界態(tài)示意圖[123]Fig.14 Schematics of the edge state in the state space[123]

3.1 全湍流區(qū)

Kawahara & Kida[129]獲得了庫特葉流動中的首個周期軌道，完整地再現(xiàn)了湍流自維持中條帶的生成破碎和流向渦的生長衰減過程(如圖15)。從相空間看，湍流在這個周期軌道上停留了大量的時間，因此僅此單個軌道周期內(nèi)的統(tǒng)計量(平均速度和速度脈動均分根)就與湍流統(tǒng)計量十分吻合。Jiménez & Simens[130]在MFU中通過衰減函數(shù)移除外區(qū)某一高度Δ+以上的湍流結(jié)構(gòu)后獲得了近壁區(qū)的低維度相干結(jié)構(gòu)，與ECS十分相似：當(dāng)Δ+>50時，此相干結(jié)構(gòu)為一行波解；當(dāng)Δ+>60，此相干結(jié)構(gòu)為含有兩個頻率的周期軌道。Toh & Itano[131]采用打靶法發(fā)現(xiàn)了泊肅葉流動中的一個周期軌道。這個周期軌道是一個邊界態(tài)，由兩個典型的狀態(tài)構(gòu)成：一個狀態(tài)只含有一個條帶；另一個狀態(tài)含有兩個條帶，兩個狀態(tài)的轉(zhuǎn)換對應(yīng)了猝發(fā)過程。Kreilos等[132]在漸近吸氣邊界層中也發(fā)現(xiàn)了類似的非定常邊界態(tài)，并作了更細(xì)致的研究。低雷諾數(shù)壁湍流中像這樣的ECS已有大量報道[133-135]。

由于外區(qū)的湍流結(jié)構(gòu)存在自維持[54]，Hwang等[136]嘗試尋找外區(qū)的ECS。他們在Reτ≈1000泊肅葉流動中采用過度提高Smagorinsky渦黏系數(shù)CS的方法分離出外區(qū)的大尺度結(jié)構(gòu)，并以此作為二分法的初始流場，進(jìn)而獲得了外區(qū)湍流的ECS。同樣地，上支解相比于下支解對應(yīng)的條帶更蜿蜒，且流向渦強(qiáng)度更高(圖16)。

圖15 庫特葉流動中的周期軌道[129]Fig.15 The periodic orbit in Couette flow[129]

(a) 上支 (b)下支

圖16 外區(qū)的ECS[136]
Fig.16 ECS in the outer region[136]

圖17 法向局域化的ECS[137]Fig.17 Wall-normal localized ECS[137]

ECS可以具有不同的對稱性。NBCW解滿足平移-翻轉(zhuǎn)對稱性，對應(yīng)于條帶的反對稱不穩(wěn)定模態(tài)，因而獲得的ECS含有沿流向交錯排列的流向渦結(jié)構(gòu)。Gibson等[135]通過在泊肅葉流動中引入不同的對稱性，獲得了一系列新的ECS。Itano & Generalis[145]和Deguchi & Nagata[146]獲得了庫特葉流動中具有展向鏡像對稱性的ECS，與發(fā)卡渦類似。Nagata & Deguchi[147]和Shekar & Graham[148]在泊肅葉流動中引入了展向鏡像對稱，也獲得了發(fā)卡渦形式的ECS。圖18展示了發(fā)卡渦形式的ECS[149]。

圖18 發(fā)卡渦形式的ECS[149]Fig.18 Hairpin-like ECS[149]

當(dāng)然，N-S方程描述的是一個高維的動力系統(tǒng)，其中存在的ECS非常多，所幸的是典型ECS的不穩(wěn)定包絡(luò)的個數(shù)并不太多，如果能夠找到所有的這些典型的ECS構(gòu)成的湍流的骨架，那么湍流的動力學(xué)行為就能很好地得以描述了[115]。Kawahara等[150]對湍流中ECS的重要性作了全面的綜述。

3.2 轉(zhuǎn)捩區(qū)

從ECS的角度看，轉(zhuǎn)捩區(qū)湍流與充分發(fā)展湍流是相關(guān)聯(lián)的，二者統(tǒng)一于非線性的N-S方程，這區(qū)別于傳統(tǒng)的基于線化N-S方程的轉(zhuǎn)捩研究。對于典型的壁湍流，庫特葉流動和圓管流動是線性穩(wěn)定的[151-152]，泊肅葉流動的臨界雷諾數(shù)是Rec=5772[153-154]。然而，通常實驗中在Re≈1000就會發(fā)生轉(zhuǎn)捩[155]。不可壓邊界層流動的臨界雷諾數(shù)為Rec=520[156-157]，當(dāng)來流噪聲較高時實驗中也能觀察到較低雷諾數(shù)的轉(zhuǎn)捩。由于這些典型流動的轉(zhuǎn)捩雷諾數(shù)要低于線性穩(wěn)定性預(yù)測的失穩(wěn)雷諾數(shù)，因此稱為亞臨界轉(zhuǎn)捩；另外，由于這種轉(zhuǎn)捩過程沒有二維T-S波的增長過程，而是直接出現(xiàn)沿展向變化的條帶結(jié)構(gòu)，因此也稱為Bypass轉(zhuǎn)捩[158]。這種轉(zhuǎn)捩途徑給傳統(tǒng)的基于小擾動的線性穩(wěn)定性分析帶來了挑戰(zhàn)[159]。

從動力系統(tǒng)的角度看，流動可以看作由層流態(tài)經(jīng)過一系列的Hopf分叉形成新的平衡態(tài)/準(zhǔn)平衡態(tài)直至成為湍流，這也是早期Landau的觀點(diǎn)[160]。然而，研究發(fā)現(xiàn)亞臨界轉(zhuǎn)捩并不是源自層流態(tài)連續(xù)的Hopf分叉，而是源于前面敘述的NBCW解的鞍-結(jié)點(diǎn)分叉[161-162]。圖19顯示了庫特葉流動經(jīng)過一系列的分叉(包括鞍-結(jié)點(diǎn)分叉、Hopf分叉、倍周期分叉和危機(jī)分叉)從NBCW解發(fā)展為湍流的過程。對于泊肅葉流動，存在二次平衡態(tài)[163-165]，其失穩(wěn)雷諾數(shù)為Rec=2900[166-167]。Ehrenstein & Koch[168]基于此二次平衡態(tài)失穩(wěn)獲得了三次平衡態(tài)，進(jìn)而得到了更低的臨界雷諾數(shù)Rec≈1000，然而，這個三次平衡態(tài)的存在有可能是由于他們計算中過度的截斷誤差引起的虛假解[147]。進(jìn)一步地，對于線性穩(wěn)定的庫特葉流動和圓管流動，流動無法通過首次失穩(wěn)獲得二次平衡態(tài)。為此，Cherhabili & Ehrenstein[169]將泊肅葉流動中的二次平衡態(tài)延拓到庫特葉流動中，發(fā)現(xiàn)其為展向均勻而流向局域化的孤立波形態(tài)；并基于此二次平衡態(tài)的失穩(wěn)獲得了三次平衡態(tài)，同樣具有流向局域化特征，是不同于NBCW解的一族新的解。因此，從目前的認(rèn)識來看，對于亞臨界轉(zhuǎn)捩，相對于層流態(tài)的直接失穩(wěn)，湍流態(tài)更易源自鞍-結(jié)點(diǎn)分叉形成的ECS，也即Nagata所謂的無窮遠(yuǎn)處的分叉。考慮鞍-結(jié)點(diǎn)分叉后，對于泊肅葉流動、庫特葉流動和圓管流動，其臨界雷諾數(shù)分別降低到Rec=977[170],Rec=125[104,118]，Rec=1250[120]，均與實驗觀測到的臨界雷諾數(shù)比較接近。

圖19 庫特葉流動中的亞臨界轉(zhuǎn)捩過程[171]Fig.19 Subcritical transition process in Couette flow[171]

鞍-結(jié)點(diǎn)分叉曲線下支的ECS(尤其是邊界態(tài))與亞臨界轉(zhuǎn)捩最為相關(guān)，其條帶和流向渦的幅值與雷諾數(shù)分別滿足Re0和Re-1的標(biāo)度率[125,172-173]，因此在高雷諾數(shù)下，來流中只需要很小的擾動就可以激發(fā)出自維持的ECS，進(jìn)而使流動沿著ECS的不穩(wěn)定包絡(luò)進(jìn)入湍流。由此生成的湍流的生命周期隨雷諾數(shù)呈指數(shù)增長[174-176]。由于ECS廣泛地存在于各種剪切流動中[141-144,177]，這種轉(zhuǎn)捩途徑具有普適性，據(jù)此Cherubini等[178]提出了一條完全非線性的轉(zhuǎn)捩途徑(圖20)。實際流動中，非線性最優(yōu)擾動是觸發(fā)湍流的最小能量種子(Minimum Seeds)[103,179-185]，它也是由條帶和流向渦構(gòu)成，與邊界態(tài)非常接近。從動力系統(tǒng)的角度看觸發(fā)湍流的最小能量種子實際上是位于湍流與層流的邊界靠近湍流態(tài)的一側(cè)，在相空間里距離湍流態(tài)最近(圖20)；相對而言，線性最優(yōu)擾動位于湍流與層流的邊界靠近層流態(tài)一側(cè)，因此其對湍流的激發(fā)效率要低于最小能量種子[103]。

圖20 邊界層內(nèi)的非線性轉(zhuǎn)捩路徑[178]Fig.20 A nonlinear transition path in boundary layer flow[178]

與最小能量種子形態(tài)一致，實際亞臨界轉(zhuǎn)捩過程中出現(xiàn)的擾動形態(tài)通常是局域化的，如湍斑[186-188]、湍帶[189-192]等，它們將流動分成湍流與層流相間的狀態(tài)。與之對應(yīng)的是位于層流/湍流邊界上的局域化的、不依賴于計算域大小的邊界態(tài)，如泊肅葉流動[193-195]、庫特葉流動[196-200]，圓管流動[201-204]、邊界層流動[123,205-206]、漸近吸氣邊界層流動[207-208]等。圖21展示了圓管流動中一個典型的局域化的邊界態(tài)(又稱Puff)。對這些局域化的邊界態(tài)的分析有助于深入理解轉(zhuǎn)捩的動力學(xué)行為:比如，Reetz等[200]發(fā)現(xiàn)庫特葉流動中傾斜的湍帶其實是源自于NBCW解。圓管流動中的亞臨界轉(zhuǎn)捩過程也由于Puff的發(fā)現(xiàn)變得更為明晰：在低雷諾數(shù)下Puff是不隨時間發(fā)展的平衡態(tài)，但隨著雷諾數(shù)的升高，Puff在流向開始擴(kuò)展，最終充斥整個圓管形成充分發(fā)展湍流[209-213]。

圖21 圓管流動中局域化的ECS[201]Fig.21 Localized ECS in pipe flow[201]

4 總結(jié)與展望

壁湍流是一個復(fù)雜的多尺度系統(tǒng)，湍流相干結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)及研究極大地提升了我們對壁湍流的認(rèn)識。經(jīng)過一個多世紀(jì)的研究，近壁區(qū)的湍流行為被認(rèn)識得已較為透徹。當(dāng)前，高雷諾數(shù)壁湍流成為新的研究熱點(diǎn)，一些新的流動現(xiàn)象，尤其是壁湍流中含能尺度的多樣性問題更為凸顯?；谀壳皩Ρ谕牧飨喔山Y(jié)構(gòu)的認(rèn)識，其最核心的特征是不同壁面高度相干結(jié)構(gòu)的自相似和給定壁面高度下相干結(jié)構(gòu)的自維持。為此，關(guān)于近壁區(qū)湍流相干結(jié)構(gòu)的一些性質(zhì)、規(guī)律可以為對數(shù)區(qū)和外區(qū)的湍流相干結(jié)構(gòu)的研究提供很好的借鑒。從湍流相干結(jié)構(gòu)出發(fā)，Townsend的附面渦模型已經(jīng)在壁湍流的數(shù)值模擬方面展現(xiàn)出了一定的生機(jī)。但與此同時，我們也應(yīng)該看到，尺度分離/尺度干擾將是不可壓高雷諾數(shù)壁湍流研究中不可規(guī)避的重要問題。

長期以來，湍流與轉(zhuǎn)捩作為流體力學(xué)兩個獨(dú)立的分支分別開展著各自的研究，ECS的發(fā)現(xiàn)讓非線性動力系統(tǒng)理論架起了統(tǒng)一研究二者的橋梁。亞臨界轉(zhuǎn)捩(乃至一般轉(zhuǎn)捩的后期)湍斑/湍帶中的相干結(jié)構(gòu)與充分發(fā)展湍流中的相干結(jié)構(gòu)是十分類似的，它們所對應(yīng)的ECS也是一致的，均是由條帶和流向渦構(gòu)成的自維持單元。認(rèn)識這些基本的ECS的性質(zhì)有望后續(xù)精確地進(jìn)行轉(zhuǎn)捩路徑和湍流運(yùn)動軌跡的預(yù)測。Barkley[213]已經(jīng)對圓管流動的亞臨界轉(zhuǎn)捩展開了卓有成效地模型預(yù)測。目前也有學(xué)者開始針對ECS開展湍流/轉(zhuǎn)捩相關(guān)的控制研究，并獲得了一定的效果[214-216]。但是我們也必須認(rèn)識到湍流的高維特性，從動力系統(tǒng)角度實現(xiàn)湍流的預(yù)測仍然需要大量的工作。

最后，壁湍流相干結(jié)構(gòu)的認(rèn)識目前主要集中在不可壓流動中，而可壓流動中涉及到馬赫數(shù)效應(yīng)、溫度效應(yīng)等，其相干結(jié)構(gòu)尤其是ECS可能出現(xiàn)不同于不可壓情形的動力學(xué)行為，值得未來研究。