基于本征正交分解和動(dòng)態(tài)模態(tài)分解的尾渦激振現(xiàn)象瞬態(tài)過程的模態(tài)分析

謝海潤， 吳亞東， 歐陽華， 王安正

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院， 上海 200240)

尾渦激振是指處于流場(chǎng)上游物體的尾跡區(qū)域內(nèi)的下游物體受到激勵(lì)產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng)的一種氣動(dòng)彈性現(xiàn)象，會(huì)導(dǎo)致被激勵(lì)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)迫振動(dòng).當(dāng)上游的渦脫落頻率接近被激勵(lì)結(jié)構(gòu)的自然頻率時(shí)，會(huì)產(chǎn)生頻率鎖定現(xiàn)象，振動(dòng)的幅值會(huì)急劇增大，從而危及結(jié)構(gòu)的完整性與疲勞壽命.頻率鎖定現(xiàn)象主要是由于下游物體的振動(dòng)會(huì)在一定程度上改變尾跡區(qū)域的流動(dòng)狀態(tài)，從而使激勵(lì)力與被激物體之間產(chǎn)生相互作用，使單一的強(qiáng)迫振動(dòng)現(xiàn)象變成了一種流固耦合的復(fù)雜機(jī)制.Brika等[1]采用實(shí)驗(yàn)方法研究固定的上游圓柱與彈性的下游圓柱之間的流動(dòng)耦合現(xiàn)象，指出雙圓柱的同步振動(dòng)區(qū)域比單圓柱的同步振動(dòng)區(qū)域大，同時(shí)指出頻率鎖定時(shí)同步振動(dòng)發(fā)生在較高的折合速度下.Assi[2]分析了兩個(gè)處于上下游的圓柱之間的尾渦激振現(xiàn)象，對(duì)比不同雷諾數(shù)下4種直徑的圓柱與圓柱相對(duì)位置，指出尾渦激振隨著下游圓柱偏離中心線而減弱.劉丹青[3]對(duì)振蕩來流下的單圓柱以及串聯(lián)雙圓柱進(jìn)行了數(shù)值模擬研究，指出當(dāng)串聯(lián)雙圓柱間距增大時(shí)，雙圓柱之間的相互作同更加明顯，特征是在圓柱間隙形成橫流向渦街.

尾渦激振現(xiàn)象中通常包含多個(gè)流動(dòng)特征頻率，具有相對(duì)復(fù)雜的流動(dòng)特征.而流場(chǎng)模態(tài)分解方法是一種能夠提取流場(chǎng)主要特征、化繁為簡的分析方法.典型的流場(chǎng)模態(tài)分析方法有本征正交分解(POD)和動(dòng)態(tài)模態(tài)分解(DMD).POD是一種較早提出的模態(tài)分解方法，Lumley[4]將其引入到流場(chǎng)分析中，以提取湍流場(chǎng)中的相關(guān)性流動(dòng)結(jié)構(gòu).POD方法廣泛應(yīng)用于翼型上的湍流分離流動(dòng)分析[5]、可壓縮開放腔體流動(dòng)分析[6]、基于粒子圖像測(cè)速法的繞流尾跡動(dòng)態(tài)特性分析[7-8]等.但是POD方法也存在一些不足，為了保證空間模態(tài)的正交性，空間模態(tài)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間系數(shù)序列往往包含多個(gè)頻率成分.此外，POD方法按照能量大小進(jìn)行排序而沒有按照動(dòng)態(tài)特性的影響進(jìn)行排序.針對(duì)POD方法的弱點(diǎn)，研究者提出了一些改進(jìn)的算法，比如采用平衡截?cái)嗟钠胶獗菊髡环浇?BPOD)[9]和結(jié)合譜分析方法的譜本征正交分解(SPOD)[10].Schmid[11]最早提出通過動(dòng)態(tài)特性的特征值進(jìn)行流場(chǎng)模態(tài)分析的方法，即DMD方法.Rowley等[12]將Koopman算子與DMD算法相結(jié)合，揭示了DMD算法對(duì)于非線性系統(tǒng)的意義.DMD方法也存在一些缺點(diǎn)，比如缺少一個(gè)單一方法來對(duì)特征值的進(jìn)行排序，即無法確定哪些模態(tài)的物理相關(guān)性最強(qiáng)，并且DMD模態(tài)并非正交模態(tài)，導(dǎo)致各個(gè)模態(tài)之間的內(nèi)積非零，對(duì)于建立降階模型增加了額外的復(fù)雜度.DMD方法廣泛應(yīng)用于橫向射流[12]、離心壓氣機(jī)擴(kuò)壓器的流場(chǎng)分析[13]、波包的穩(wěn)定性分析[14]等.針對(duì)DMD方法的弱點(diǎn)，研究者也提出了一些改進(jìn)的算法，比如稀疏改進(jìn)DMD，考慮非正交基截?cái)嗾`差的遞歸RDMD方法[15].兩種分解方法的對(duì)比研究能夠更好地揭示流動(dòng)物理現(xiàn)象.Noack等[15]針對(duì)圓柱繞流的尾跡，比較了這兩種模態(tài)分解方法以及RDMD方法的優(yōu)缺點(diǎn).寇家慶等[16]將兩種方法應(yīng)用于跨聲速抖振的模態(tài)分析并進(jìn)行了比較.

本文針對(duì)圓柱與葉片的尾渦激振模型，采用Fluent軟件對(duì)翼型從靜止到振蕩過程進(jìn)行了瞬態(tài)數(shù)值模擬，并通過POD與DMD方法對(duì)振蕩翼型附近的壓力場(chǎng)進(jìn)行了分解與重構(gòu)，得到了尾渦激勵(lì)現(xiàn)象的主要流動(dòng)特征，并進(jìn)一步比較了兩種模態(tài)分析方法的特點(diǎn).

1 數(shù)值計(jì)算對(duì)象與方法

本文數(shù)值分析的對(duì)象為圓柱與葉片的尾渦激勵(lì)模型.由于流動(dòng)區(qū)域中圓柱渦脫落為主要的流動(dòng)現(xiàn)象，所以采用了文獻(xiàn)[17]中的Realizablek-ε模型作為湍流模型.

計(jì)算域尺寸與網(wǎng)格細(xì)節(jié)如圖1 所示.計(jì)算域左側(cè)為速度入口，右側(cè)為壓力出口，上下壁面、圓柱以及葉型為無滑移壁面.圓柱直徑為50 mm，翼型為弦長36 mm 的NACA6510翼型，圓柱與翼型之間的距離為112 mm.圓柱中心與翼型型心之間的間距約為圓柱直徑的3倍.

流場(chǎng)計(jì)算域分為兩個(gè)子區(qū)域，采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分.圓柱貼體網(wǎng)格尺寸按照y+=0.173Re0.9Δy/L進(jìn)行估算.其中：Re為雷諾數(shù)；Δy為第1層網(wǎng)格高度；L為邊界層參考尺寸.根據(jù)y+=1得到第1層網(wǎng)格高度，建立流場(chǎng)網(wǎng)格.對(duì)流場(chǎng)網(wǎng)格的無關(guān)性驗(yàn)證分別針對(duì)節(jié)點(diǎn)數(shù)為 38 656、56 153、68 244及116 842 的4套網(wǎng)格進(jìn)行.圓柱升力系數(shù)的計(jì)算結(jié)果表明，與網(wǎng)格數(shù)為 38 656 的網(wǎng)格相比，其余各套網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果差別均小于1%，因此滿足網(wǎng)格無關(guān)性要求.但是為了更好地體現(xiàn)翼型附近的流場(chǎng)特征，在計(jì)算條件允許的情況下，選擇了網(wǎng)格數(shù)為 116 842 的網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算.其中計(jì)算域2的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)為 45 627，代表了后續(xù)模態(tài)分解時(shí)的空間尺度.

圖1 計(jì)算域尺寸和網(wǎng)格細(xì)節(jié)Fig.1 Computational domain size and mesh details

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)翼型振蕩的模擬，流體計(jì)算中采用了動(dòng)網(wǎng)格策略.計(jì)算域2包含翼型，為實(shí)現(xiàn)翼型振蕩，將計(jì)算域2通過用戶自定義函數(shù)整體設(shè)置為剛體運(yùn)動(dòng)，以前期實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到的葉片一階自然頻率(26 Hz)進(jìn)行簡諧振動(dòng).該過程中計(jì)算域2內(nèi)部網(wǎng)格相對(duì)位置不變， 通過計(jì)算域1內(nèi)網(wǎng)格的變形來實(shí)現(xiàn)包含翼型的計(jì)算域2的運(yùn)動(dòng).

圖2 瞬態(tài)計(jì)算結(jié)果的監(jiān)控點(diǎn)與其對(duì)應(yīng)的頻譜Fig.2 Monitoring points of transient calculation and the corresponding spectrum

2 POD與DMD方法

POD和DMD方法具有很多相關(guān)性，均可以通過流場(chǎng)各個(gè)時(shí)間的快照提取主要的流動(dòng)結(jié)構(gòu).在流場(chǎng)x∈RN(RN表示實(shí)數(shù)域)中，對(duì)應(yīng)于時(shí)間t的某個(gè)變量(速度、壓力及渦量等)的向量場(chǎng)u(x,t)可以用M個(gè)以相同采樣頻率提取的流動(dòng)快照來表示，其中第m個(gè)時(shí)間點(diǎn)的向量場(chǎng)記作um=u(x,tm)，m=1，2，…，M.

2.1 POD方法

POD方法將流場(chǎng)分解為若干空間正交模態(tài)，按照各個(gè)模態(tài)的能量(特征值)大小進(jìn)行排序，選擇盡量少的基函數(shù)或者模態(tài)來捕捉流場(chǎng)中的盡量多的能量，有助于建立流場(chǎng)的降階模型.

(1)

POD方法中流場(chǎng)的脈動(dòng)值可以表示為所有正交模態(tài)與其對(duì)應(yīng)的時(shí)間系數(shù)的線性疊加：

(2)

式中：aj(t)為第j階模態(tài)的時(shí)間系數(shù)；φj(x)為其對(duì)應(yīng)特征向量.將快照POD的數(shù)據(jù)以矩陣形式表示：

X=

(3)

POD分析的目的是找出最優(yōu)的基向量來分解流場(chǎng)數(shù)據(jù).特征向量φj(x)可以通過最少的模態(tài)數(shù)量來表示原始的流場(chǎng).可以通過快照方法求解φj和其對(duì)應(yīng)的特征值λj：

XTXφj=λjφj,φj∈RM,M

(4)

快照方式的POD特征向量可進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為原始POD特征向量：

(5)

式中：ψj為POD模態(tài)所對(duì)應(yīng)的流場(chǎng)動(dòng)能.針對(duì)流場(chǎng)瞬態(tài)計(jì)算的特點(diǎn)，即通常網(wǎng)格尺寸遠(yuǎn)大于時(shí)間步的數(shù)量，采用快照方式POD比傳統(tǒng)方式POD求解效率更高.快照方式POD所求解的特征矩陣比傳統(tǒng)方式POD的特征矩陣具有更小的尺度，因此能夠顯著減少計(jì)算量.

按照特征值的大小進(jìn)行排序，假設(shè)前r階模態(tài)的能量接近流場(chǎng)總體動(dòng)能：

(6)

則通過前r階模態(tài)重構(gòu)流場(chǎng)：

(7)

其中時(shí)間系數(shù)反映了POD模態(tài)隨時(shí)間變化的趨勢(shì)，能夠體現(xiàn)POD模態(tài)對(duì)應(yīng)的流動(dòng)結(jié)構(gòu)在重構(gòu)流場(chǎng)中的能量占比，時(shí)間系數(shù)可以表示為

aj(t)=〈v(x,t),ψj(x)〉

(8)

2.2 DMD方法

DMD方法基于一個(gè)最佳擬合流場(chǎng)動(dòng)態(tài)特性的線性算子，將流場(chǎng)分解到若干具有單一特征頻率和增長/衰減率的模態(tài)上.因此DMD可以得到不同頻率的流動(dòng)結(jié)構(gòu)對(duì)于流場(chǎng)的貢獻(xiàn).

DMD方法需要兩組快照序列作為輸入，快照之間有著恒定的時(shí)間差.兩組快照X、X#通過原始時(shí)間序列數(shù)據(jù)以下列方式構(gòu)建：

(9)

X∈RN×(M-1)

(10)

X#∈RN×(M-1)

假設(shè)X和X#之間存在線性關(guān)系，即

X#=AX

(11)

而線性算子A∈RN×N可以通過A=X#X+得到，其中X+是矩陣X的偽逆矩陣.DMD分解的模態(tài)和特征值定義為矩陣A的特征向量和特征值.通過以下步驟進(jìn)行計(jì)算.

首先，對(duì)矩陣X進(jìn)行奇異值分解：

X=UΣVT

(12)

得到3個(gè)矩陣：U∈CN×N，V∈C(M-1)×(M-1)(C表示虛數(shù)域)，Σ∈RN×(M-1)，令

(13)

λj=lgμj/Δt

(14)

λj的實(shí)部和虛部分別代表了對(duì)應(yīng)DMD模態(tài)的增長/衰減率和頻率值.而DMD模態(tài)定義為[18]

(15)

用r階DMD模態(tài)對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行重構(gòu)，記作

Ψdiag(exp(λjt))b

(16)

式中：bj(0)為各個(gè)模態(tài)的初始幅值；Ψ為DMD模態(tài)的矩陣形式；b為代表模態(tài)幅值的向量.將初始時(shí)間步的快照v(x,t1)帶入，可以求得各個(gè)DMD模態(tài)所對(duì)應(yīng)的幅值：

b=Ψ+v(x,t1)

(17)

3 流場(chǎng)的模態(tài)分解與結(jié)果分析

計(jì)算域2共有4 600個(gè)快照文件，快照之間的時(shí)間步為0.001 s.圖3所示為計(jì)算域壓力場(chǎng)某一時(shí)刻的瞬態(tài)結(jié)果以及的計(jì)算域2內(nèi)壓力場(chǎng)的時(shí)均結(jié)果，圖中p為壓力.可以看出，上游圓柱后已經(jīng)形成了成對(duì)出現(xiàn)的渦街，在計(jì)算所處的亞臨界區(qū)域內(nèi)，渦脫落的形態(tài)與文獻(xiàn)[19]中相似工況下的結(jié)果一致.圓柱尾跡產(chǎn)生的渦團(tuán)會(huì)沿著圓柱中線附近向下游發(fā)展，上下交替產(chǎn)生的渦團(tuán)會(huì)持續(xù)撞擊在翼型上，從而給翼型施加了一個(gè)持續(xù)的脈動(dòng)力.翼型進(jìn)一步將渦團(tuán)打散，使其失去主要渦街的一些特征.而時(shí)均壓力場(chǎng)則顯示在時(shí)間平均的條件下，翼型的上方與下方為一個(gè)低壓區(qū)域，且吸力面與壓力面的壓力存在差異，體現(xiàn)了翼型對(duì)于壓力分布的非對(duì)稱性的影響.

圖3 流場(chǎng)的快照與計(jì)算域2的時(shí)均結(jié)果Fig.3 Snapshot of flowfield and time-averaged result of Domain 2

圖4 前50階模態(tài)的殘差Fig.4 Residuals of the first 50 order modes

3.1 流場(chǎng)的POD分解

POD分解針對(duì)計(jì)算域2進(jìn)行.分解得到的模態(tài)根據(jù)各階模態(tài)的特征值大小進(jìn)行排序.定義前r階模態(tài)所重構(gòu)的流場(chǎng)的殘差為

(18)

圖4所示為前50階模態(tài)的殘差.可以看出，前10階模態(tài)的殘差已經(jīng)低至10-4，因此可以認(rèn)為前10階模態(tài)可以反映流場(chǎng)的主要能量.

圖5所示為以壓力云圖顯示的前10階POD模態(tài).可以看出，模態(tài)1和3以翼型為分界，上下呈現(xiàn)相反的壓力.模態(tài)2和4則呈現(xiàn)出被翼型一分為二的渦團(tuán).模態(tài)5、6和模態(tài)7、8與低階模態(tài)呈現(xiàn)高度的相似性，渦團(tuán)更加密集.模態(tài)9和10 則較為奇異，體現(xiàn)了較復(fù)雜的流動(dòng)形態(tài).

圖6所示為前10階POD模態(tài)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間系數(shù)的頻譜，圖中δ為幅值.在針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)的圓柱繞流渦脫落的流場(chǎng)POD模態(tài)分解中，POD模態(tài)通常會(huì)呈現(xiàn)出以相同幅值和頻率成對(duì)出現(xiàn)[15].成對(duì)出現(xiàn)的POD模態(tài)表示同一個(gè)頻率的渦脫落的現(xiàn)象，本質(zhì)上反映了同一個(gè)渦脫落的模式在空間上的發(fā)展.由圖6可以看出，模態(tài)1和3具有主要的頻率成分，均包含有30 Hz的渦脫落頻率和26 Hz的翼型震蕩頻率，其中翼型震蕩頻率幅值較低.模態(tài)2、4，模態(tài)5、6和模態(tài)7、8可以理解為模態(tài)1、3的倍頻.模態(tài)9、10的頻譜與前8階模態(tài)不同，包含了更多的頻率成分.POD以較少的模態(tài)數(shù)反映流場(chǎng)的流動(dòng)特征，對(duì)于流場(chǎng)的重構(gòu)與降解模型的建立具有很大的作用.POD以能量(特征值)進(jìn)行排序的方式，能夠在一定程度上反映各個(gè)模態(tài)的流動(dòng)結(jié)構(gòu)對(duì)于流場(chǎng)的貢獻(xiàn).但該排序方式會(huì)忽視各個(gè)模態(tài)所對(duì)應(yīng)的流動(dòng)現(xiàn)象，各個(gè)模態(tài)均為具有多個(gè)頻率成分，對(duì)于脈動(dòng)流場(chǎng)的物理意義不夠明確.

圖5 以壓力云圖顯示的前10階POD模態(tài)Fig.5 The first 10 POD modes displayed by pressure contour

圖6 前10階POD模態(tài)時(shí)間系數(shù)的頻譜Fig.6 Spectrum of time coefficient of the first 10 POD modes

3.2 流場(chǎng)的DMD分解

DMD分解的零階零頻模態(tài)代表了平均流場(chǎng).圖7所示為DMD模態(tài)的特征值分布以及前10階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的頻率與幅值，圖中下標(biāo)real，imag分別表示實(shí)部及虛部.可以看出，幾乎所有的特征值都分布于單位圓上，說明流場(chǎng)中主要流動(dòng)結(jié)構(gòu)均處于穩(wěn)定的狀態(tài)，與流場(chǎng)設(shè)置的邊界條件符合.其中較大的點(diǎn)是按照2.2節(jié)中模態(tài)幅值定義進(jìn)行排序的前10階模態(tài).將前10階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的頻率與歸一化的幅值以柱狀圖表示，可見DMD第1階模態(tài)的幅值與平均流場(chǎng)的幅值較為接近.第1階模態(tài)對(duì)應(yīng)渦脫落頻率30 Hz，而模態(tài)2，3，4，7對(duì)應(yīng)1階模態(tài)的倍頻，但模態(tài)幅值隨模態(tài)數(shù)增加而迅速下降.第9階模態(tài)對(duì)應(yīng)翼型振蕩頻率26 Hz，其模態(tài)幅值相對(duì)較低.

DMD模態(tài)以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)，每一對(duì)共軛的特征值可以視為一個(gè)DMD模態(tài).圖8所示為前10階的DMD模態(tài).可以看出，DMD的第1階模態(tài)和POD的第1階模態(tài)非常相似，而其對(duì)應(yīng)的頻率為渦脫落頻率30 Hz.而模態(tài)2、3、4以及7則可視為模態(tài)1的倍頻.代表翼型振蕩頻率26 Hz的第9階模態(tài)與第1階模態(tài)在壓力分布的形態(tài)上具有高度相似性.

圖7 DMD模態(tài)的特征值分布以及前10階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的頻率與幅值Fig.7 Distribution of eigenvalues and corresponding frequencies and amplitudes of the first 10 DMD modes

圖8 以壓力云圖顯示的前10階DMD模態(tài)Fig.8 The first 10 DMD modes displayed by pressure contour

4 POD與DMD對(duì)比

為了將POD和DMD的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，將反映流場(chǎng)主要特征頻率的模態(tài)進(jìn)行比較.POD是將流場(chǎng)按照空間和時(shí)間進(jìn)行分解，得到POD模態(tài)與其對(duì)應(yīng)的時(shí)間系數(shù).各個(gè)POD模態(tài)的幅值反應(yīng)了瞬時(shí)流場(chǎng)的結(jié)構(gòu)，時(shí)間系數(shù)則表示對(duì)應(yīng)模態(tài)隨著時(shí)間變化的情況.而DMD是將流場(chǎng)按照空間和頻率進(jìn)行分解，得到的DMD模態(tài)都有著對(duì)應(yīng)的增長/衰減率和頻率，進(jìn)一步可以建立每個(gè)模態(tài)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間系數(shù).圖9所示為第1、2和9階POD模態(tài)以及DMD模態(tài)的時(shí)間系數(shù).參考圖6中POD模態(tài)的時(shí)間系數(shù)頻譜，第1階模態(tài)中主要包含30 Hz和26 Hz的頻率成分，其分別對(duì)應(yīng)于圓柱的渦脫落頻率和翼型的振蕩頻率，而渦脫落頻率幅值相對(duì)較高.第2階模態(tài)中主要頻率成分為第1階模態(tài)的倍頻.第9階模態(tài)的頻譜中具有較多的頻率尖峰，反映其包含相對(duì)復(fù)雜的頻率成分，但是其中30 Hz處無尖峰，說明該模態(tài)與渦脫落現(xiàn)象的相關(guān)性較低.從時(shí)間系數(shù)可以看出：第1、2階POD模態(tài)的時(shí)間系數(shù)在t<1 s時(shí)保持30 Hz穩(wěn)定振蕩；t>1 s時(shí)，隨著26 Hz的翼型振蕩頻率的進(jìn)入，形成了較為明顯的節(jié)拍.第9階POD模態(tài)的時(shí)間系數(shù)更明顯地反映新的頻率成分進(jìn)入穩(wěn)定流場(chǎng)的過程，1 s前后的振蕩形態(tài)有著明顯的差異.DMD模態(tài)對(duì)應(yīng)著單一的頻率成分，第1階DMD模態(tài)對(duì)應(yīng)30 Hz的渦脫落頻率，第3階模態(tài)對(duì)應(yīng)60 Hz的渦脫落頻率的二倍頻，第9階模態(tài)對(duì)應(yīng)了26 Hz的翼型震蕩頻率.可以從時(shí)間系數(shù)中看出，第1階和第2階模態(tài)的幅值在整個(gè)計(jì)算周期中基本保持穩(wěn)定，而第9階模態(tài)的幅值則逐漸增大，表明翼型振蕩對(duì)流場(chǎng)的影響是從無到有，從小到大的.對(duì)比POD模態(tài)和DMD模態(tài)可以看出，POD模態(tài)的時(shí)間系數(shù)明顯反映出翼型振蕩前后流場(chǎng)所發(fā)生的變化；而DMD模態(tài)的時(shí)間系數(shù)中則沒有明顯的分界線.但DMD模態(tài)反映出各個(gè)具有物理含義的頻率成分的變化規(guī)律，有利于針對(duì)性地研究流場(chǎng)中的特定流動(dòng)結(jié)構(gòu).

基于前文得到的前10階POD模態(tài)與DMD模態(tài)對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行重構(gòu)，基本能較好地反映流場(chǎng)特征.但進(jìn)一步的誤差分析顯示，POD模態(tài)和DMD模態(tài)重構(gòu)的流場(chǎng)具有差異性.圖10所示為用前10階POD和DMD模態(tài)重構(gòu)流場(chǎng)壓力的方均根誤差(RMSE)的瞬時(shí)結(jié)果.可以看出，POD模態(tài)重構(gòu)的流場(chǎng)誤差基本處于一個(gè)穩(wěn)定水平，但是圖中t<1 s時(shí)的脈動(dòng)幅值小于t>1 s的脈動(dòng).而DMD模態(tài)重構(gòu)的流場(chǎng)誤差起初較小，然后隨著時(shí)間增加逐漸增大，t>1 s時(shí)流場(chǎng)的誤差增加到一個(gè)較大的值并以較大的振幅振蕩.比較兩者的差異，可以看出，t<0.5 s時(shí)，DMD誤差小于POD誤差，但是t繼續(xù)增大時(shí)，POD誤差小于DMD誤差.

圖10 用前10階POD和DMD模態(tài)重構(gòu)流場(chǎng)的方均根誤差的瞬時(shí)結(jié)果Fig.10 RMSE of reconstructed flow field with the first 10 POD and DMD modes

圖11 前10階POD和DMD模態(tài)重構(gòu)流場(chǎng)方均根誤差的時(shí)均云圖Fig.11 Time-averaged RMSE contour of reconstructed flowfield with the first 10 POD and DMD modes

圖11所示為用前10階POD和DMD模態(tài)重構(gòu)流場(chǎng)的RMSE歸一化后的時(shí)均云圖.兩者采用相同的標(biāo)尺表示.可以看出，時(shí)均結(jié)果中POD的誤差最大值顯著小于DMD誤差.而兩者誤差較大的區(qū)域均處于翼型前緣上下的部分.這是由于該區(qū)域流動(dòng)現(xiàn)象較為復(fù)雜，存在著多種其他頻率成分的流動(dòng)結(jié)構(gòu).DMD模態(tài)分解的誤差主要分布區(qū)域與DMD模態(tài)1、5、9誤差區(qū)域較為重合，說明誤差可能主要來源于相關(guān)的頻率成分.

通過對(duì)比可以看出，POD模態(tài)分解在處理截?cái)嗾`差時(shí)比DMD模態(tài)的整體表現(xiàn)更為優(yōu)秀.主要原因?yàn)镻OD模態(tài)分解時(shí)以正交形式構(gòu)建的基向量，因此較少的模態(tài)數(shù)即可較好地表示整體流場(chǎng)的脈動(dòng).盡管DMD的最大誤差大于POD分解的誤差，但在流場(chǎng)穩(wěn)定脈動(dòng)的過程中，DMD分解誤差較小.

5 結(jié)論

本文通過Fluent軟件針對(duì)翼型由靜止到振蕩過程的瞬態(tài)數(shù)值模擬，提取了振蕩翼型周圍的流場(chǎng)，通過POD和DMD兩種模態(tài)分解方法，對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行了分解與重構(gòu)，捕捉到尾渦激振現(xiàn)象的主要流動(dòng)特征，得到上游的渦脫落頻率與翼型的振蕩頻率以及其對(duì)應(yīng)的模態(tài)特征.基于尾渦脫落現(xiàn)象與流場(chǎng)瞬態(tài)變化的特點(diǎn)，對(duì)兩種模態(tài)分解方法進(jìn)行了對(duì)比，主要結(jié)論有：

(1) POD模態(tài)分解是將流場(chǎng)按照空間與時(shí)間的方式進(jìn)行分解，其中各個(gè)空間模態(tài)是正交的.POD模態(tài)按照能量(特征值)進(jìn)行排序，較少的POD模態(tài)數(shù)即可將流場(chǎng)的殘差快速降低.POD模態(tài)的時(shí)間系數(shù)可能包含多個(gè)頻率成分，不利于研究流場(chǎng)中的主要脈動(dòng)結(jié)構(gòu)，但可以較為清晰地在時(shí)間上顯示變化的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).

(2) DMD模態(tài)分解是將流場(chǎng)按照空間和頻率的方式進(jìn)行分解，其中各個(gè)空間模態(tài)并非正交.DMD模態(tài)的排序不具有單一的正確方式，因此在物理上客觀地確定模態(tài)的最相關(guān)性比較困難.DMD模態(tài)對(duì)應(yīng)著單一的頻率成分，可以提取特定頻率的動(dòng)態(tài)流動(dòng)結(jié)構(gòu).模態(tài)的增長/衰減率可以反映頻率成分的變化情況，但難以表示關(guān)鍵的時(shí)間節(jié)點(diǎn).

(3) 在本文的算例中，POD模態(tài)分解的最大誤差小于DMD模態(tài)分解的誤差，但DMD分解在穩(wěn)定脈動(dòng)的流場(chǎng)中可以得到更小的誤差.

POD和DMD兩種模態(tài)分解方法具有各自的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn).在流場(chǎng)穩(wěn)定脈動(dòng)時(shí)可以采取DMD方法，而伴隨其他隨時(shí)間變化的流動(dòng)現(xiàn)象時(shí)，需要結(jié)合POD方法或其他方法.