線性脈沖微分方程Runge-Kutta方法的穩(wěn)定性*

張 玲,畢 晴,張雨婷,李洪雨,劉雨欣, 龔?fù)跷?/p>

(大慶師范學(xué)院)

0 引言

脈沖微分方程(IDES)被廣泛應(yīng)用于許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域：如物理、力學(xué)、種群動(dòng)力學(xué)、藥物學(xué)、脈沖技術(shù)、工業(yè)機(jī)器人技術(shù)，化學(xué)技術(shù)，生物技術(shù)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等. 尤其是脈沖微分方程(IDE)的精確解穩(wěn)定性已經(jīng)得到了廣泛的研究，但是許多IDE不能用解析方法求解，求解方法也較復(fù)雜.因此，數(shù)值方法是一個(gè)很好的選擇. 近年來(lái)IDE數(shù)值方法的穩(wěn)定性得到了廣泛的研究. 文獻(xiàn)[1-6]給出了脈沖微分方程精確解的穩(wěn)定性，而文獻(xiàn)[7-11]給出了脈沖微分方程數(shù)值解的穩(wěn)定性.

眾所周知，李普希茨條件不可能保證常微分方程的穩(wěn)定性.然而該文研究了線性的IDE的精確解和數(shù)值解在李普希茨條件下的漸近穩(wěn)定性：

(1)

定義1 函數(shù)x：[t0,∞]→Ck是(1)的解，如果

(2)對(duì)于t∈(t0,+∞),t≠τk,k=1,2,…,x(t) 是可微的并且x′(t)=αx(t).

1 精確解的漸近穩(wěn)定性

在該節(jié)中，研究(1)的精確解的漸近穩(wěn)定性.為了研究x(t) 的整體穩(wěn)定性，考慮另一個(gè)初始數(shù)據(jù)的方程(1)：

(2)

其中z+={1,2,…}

定義2[1,5]方程(1)的精確解x(t)是

(1)穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意的ε>0，存在一個(gè)正數(shù)δ=δ(ε)，對(duì)于(2)的任何解y(t),當(dāng)‖x0-y0‖<δ時(shí)，有‖x(t)-y(t)‖<ε,

?t>t0.

定理1 假設(shè)存在一個(gè)正的常數(shù)γ,使得

τk-τk+1≤γ,k∈Z+. 如果有一個(gè)正常數(shù)C, 對(duì)于任意的k∈Z+.使得

βk·eα(τk-τk-1)≤C<1

則(1)的精確解是漸近穩(wěn)定的.

證明任意t∈(τk,τk+1],k=0,1,2,…

得到

由Gronwall定理，任意t∈(τk,τk+1],

k=0,1,2,…有

由定義1(3)有

從而

因此，根據(jù)條件(3)和(5)，對(duì)于任意t∈(τk,τk+1],k=0,1,2,…得

‖x(t)-y(t)‖≤‖x0-y0‖β1eα(τ1-τ0)·β2eα(τ2-τ1)…βk·eα(τk-τk-1)·eα(1-τk)≤‖x0-y0‖·Ckeαy

進(jìn)而

‖x(τk+1)-y(τk+1)‖≤‖x0-y0‖·Ckeαy

和

因而，對(duì)于任意ε>0,存在δ=e-αyε, 當(dāng)‖x0-y0‖<δ時(shí)，

‖x(t)-y(t)‖≤‖x0-y0‖·Ckeαy≤‖x0-y0‖eαy<ε

對(duì)于任意t∈(τk,τk+1]k=0,1,2,…,

‖x(t)-y(t)‖<ε,?t>t0

因此，方程(1)精確解是穩(wěn)定的. 顯然，對(duì)于任意t∈(τk,τk+1]k=0,1,2,…

‖x(t)-y(t)‖≤‖x0-y0‖·Ckeαy→0,k→∞.

同樣，得

‖x(τk+1)-y(τk+1)‖≤‖x0-y0‖·Ckeαy→0,k→∞

和

因此，方程(1)的精確解是漸近穩(wěn)定的.

2 顯式的Kunge-Kutta方法

在該節(jié)中，給出方程(1)當(dāng)p=4時(shí)p階p級(jí)顯式Runge-Kutta方法的漸近穩(wěn)定性. 方程(1)Runge-kutta方法可以構(gòu)造如下:

(3)

方程(2)的顯式Runge-kutta方法:

(4)

tk、1+cihk的地方，有k∈N={0,1,2,…}.

l=0,1,…，m-1,i=1,2,…,s

定義3 對(duì)脈沖微分方程(1)的顯式龍格庫(kù)塔方法(3)是

存在一個(gè)正數(shù)δ=δ(ε).當(dāng)‖x0-y0‖<δ,使得‖xk-yk‖<ε,?k∈N.

其中xk=(xk,0,xk,1,…,xk,m)和yk=(yk,0,yk,1,…,yk,m)

(2)漸近穩(wěn)定的.如果它是穩(wěn)定的

?M1>0,對(duì)于任何的m>M,

考慮(1)的4階段顯式龍格-庫(kù)塔方法：

(5)

和

(6)

定理2 假設(shè)顯式龍格-庫(kù)塔方法(5)的所有系數(shù)都是非負(fù)的(ai,j≥0,bi≥0,1≤i≤4)和

(7)

(8)

(9)

類似的，可以得到

上述三個(gè)不等式可以得到：

因此對(duì)任意的k=0,1,…,m,有

‖xk,l-yk,l‖≤‖xk,0-yk,0‖·eαhk

由條件(3)，可以得到:

‖xk,l-yk,l‖≤‖x0-y0‖·(β1·eα(τ1-τ0))·(β2·eα(τ2-τ1))…(βk·eα(τk-τk-1)eαhk)≤‖x0-y0‖·ckeαy

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在該節(jié)中，給出了簡(jiǎn)單的數(shù)值例子.

例1 考慮以下簡(jiǎn)單的標(biāo)量IDE

(10)

和

(11)

(11)的精確解滿足

因此

顯然(10)和(11)的精確解都是漸近穩(wěn)定的.

4 結(jié)論與未來(lái)工作