基于新型冠狀病毒傳播的數(shù)學(xué)模型研究*

付吉麗,黃立強(qiáng),王玉文

(1.哈爾濱石油學(xué)院；2.哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

新型冠狀病毒(COVID-2019)自2019年12月爆發(fā)以來(lái),已蔓延至全球,嚴(yán)重影響了世界各國(guó)人民的身體健康和生命安全.它的出現(xiàn)引起了人們的極大關(guān)注，它的傳播速度快，傳播范圍廣，對(duì)全球都產(chǎn)生了很大的威脅，對(duì)各國(guó)的經(jīng)濟(jì)、人民的生活、生命財(cái)產(chǎn)造成了巨大影響.為了弄清新型冠狀病毒疫情發(fā)展的特點(diǎn)和規(guī)律，對(duì)于世界范圍內(nèi)的疫情發(fā)展能夠有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí).該文主要分析了各國(guó)疫情情況，并且提出了相應(yīng)的建議.通過(guò)已有的基本數(shù)據(jù)建立SEIR數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合建立好的SEIR模型進(jìn)行分析思考，再對(duì)主要的疫情國(guó)家進(jìn)行管控效果進(jìn)行綜合評(píng)價(jià).

1 數(shù)據(jù)分析結(jié)果

圖1 主要國(guó)家感染人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖

接著通過(guò)所統(tǒng)計(jì)的128天數(shù)據(jù)，計(jì)算出各個(gè)國(guó)家增長(zhǎng)人數(shù)的平均數(shù).接著通過(guò)所統(tǒng)計(jì)的128 d數(shù)據(jù)，計(jì)算出各個(gè)國(guó)家增長(zhǎng)人數(shù)的平均數(shù).求得美國(guó)12765.7人/d，德國(guó)140.3人/d，俄羅斯2896人/d，西班牙1848.7人/d，英國(guó)2072.1人/d，中國(guó)648.4人/d.從得出的數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)來(lái)看美國(guó)增長(zhǎng)速率依然最快，俄羅斯第二，之后依次是英國(guó)、西班牙、德國(guó)和中國(guó).其中、德、英、西四個(gè)國(guó)家趨于平穩(wěn).

通過(guò)死亡人數(shù)折線統(tǒng)計(jì)圖圖2來(lái)看美國(guó)依舊是死亡人數(shù)最大的國(guó)家，其次是英國(guó)接下分別是西班牙、德國(guó)、中國(guó)和俄羅斯.然后通過(guò)計(jì)算出所選取的主要國(guó)家的死亡率，進(jìn)行死亡率排列.其中美國(guó)死亡率為5.97%，英國(guó)死亡率為13.90%，西班牙死亡率為12.30%，德國(guó)死亡率為4.70%，中國(guó)死亡率為5.58%，俄羅斯死亡率為1.10% .

圖2 主要國(guó)家死亡人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖

綜上所述，通過(guò)圖3～圖8增長(zhǎng)速率、感染人數(shù)平均數(shù)、死亡數(shù)、每日新增確診數(shù)將國(guó)家分為高風(fēng)險(xiǎn)國(guó)家、中等風(fēng)險(xiǎn)國(guó)家和低風(fēng)險(xiǎn)國(guó)家.

圖3 中國(guó)日確診人數(shù)趨勢(shì)圖

圖4 美國(guó)日確診人數(shù)趨勢(shì)圖

圖5 英國(guó)日確診人數(shù)趨勢(shì)圖

圖6 俄羅斯日確診人數(shù)趨勢(shì)圖

圖7 德國(guó)日確診人數(shù)趨勢(shì)圖

圖8 西班牙日確診人數(shù)趨勢(shì)圖

對(duì)所選取的六個(gè)國(guó)家針對(duì)疫情管控方面進(jìn)行客觀、全面的評(píng)價(jià)，屬于多目標(biāo)決策問(wèn)題.首先選擇合理的指標(biāo)，通過(guò)選擇感染人數(shù)的增長(zhǎng)速率、死亡率、每日新增確診人數(shù)和感染總?cè)藬?shù)為所選參數(shù)指標(biāo).通過(guò)以中國(guó)為參考建立綜合評(píng)判模型[1].

(1)確定因素集.記為：

U={增長(zhǎng)速率u1,死亡率u2,每日新增確診人數(shù)u3,感染總?cè)藬?shù)u4}

(2)確定評(píng)語(yǔ)集.對(duì)國(guó)家對(duì)疫情的管控情況，將其分為五類(lèi)：防控優(yōu)秀，防控良好，防控一般，防控較差，防控差.記為：V={防控效果優(yōu)秀v1,防控效果良好v2,防控效果一般v3,防控效果較差v4,防控效果差v5}

(3)確定各因素的權(quán)重.記為：

A=[0.25,0.3,0.25,0.2]

(4)確定模糊綜合判斷矩陣.對(duì)指標(biāo)u1的的評(píng)判有網(wǎng)友輿論來(lái)打分

R1=[0.75,0.2,0.05,0,0]

上式表示參與打分的網(wǎng)友中，有75%的人認(rèn)為中國(guó)感染人數(shù)增長(zhǎng)速率防控優(yōu)秀，20%的人認(rèn)為中國(guó)感染人數(shù)增長(zhǎng)速率防控良好，5%的人認(rèn)為中國(guó)感染人數(shù)增長(zhǎng)速率防控一般，認(rèn)為中國(guó)感染人數(shù)增長(zhǎng)速率防控較差和差的人為0.用同樣的方法對(duì)其他因素進(jìn)行評(píng)價(jià).

對(duì)指標(biāo)u2和u3由組內(nèi)成員去市內(nèi)重點(diǎn)醫(yī)院進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，由醫(yī)護(hù)人員來(lái)確定:

R2=[0.8,0.2,0,0,0];

R3=[0.7,0.2,0.1,0,0]

對(duì)指標(biāo)u4由組內(nèi)成員進(jìn)行打分確定:

R4=[0.9,0.1,0,0,0]

以Ri為第i行構(gòu)成評(píng)價(jià)矩陣

它是從因素集U到評(píng)語(yǔ)集的一個(gè)模糊關(guān)系矩陣.

(5)模糊綜合評(píng)判.進(jìn)行矩陣合成運(yùn)算：

[0.785,0.18,0.0375,0,0]

取數(shù)值最大的評(píng)語(yǔ)作為綜合評(píng)價(jià)結(jié)果，則中國(guó)評(píng)判結(jié)果為“防控效果優(yōu)秀”.

對(duì)于其余5個(gè)國(guó)家采取上述過(guò)程進(jìn)行綜合評(píng)價(jià).

(1)美國(guó)

[0,0,0.085,0.27,0.645]

取數(shù)值最大的評(píng)語(yǔ)作為綜合評(píng)價(jià)結(jié)果，則美國(guó)評(píng)判結(jié)果為“防控效果差”.

(2)俄羅斯

[0.58,0.315,0.105,0,0]

取數(shù)值最大的評(píng)語(yǔ)作為綜合評(píng)價(jià)結(jié)果，則俄羅斯評(píng)判結(jié)果為“防控效果優(yōu)秀”.

(3)德國(guó)

[0.62,0.28,0.07,0.03,0]

取數(shù)值最大的評(píng)語(yǔ)作為綜合評(píng)價(jià)結(jié)果，則德國(guó)評(píng)判結(jié)果為“防控效果優(yōu)秀”.

(4)英國(guó)

[0.22,0.21,0.295,0.275,0]

取數(shù)值最大的評(píng)語(yǔ)作為綜合評(píng)價(jià)結(jié)果，則英國(guó)評(píng)判結(jié)果為“防控效果一般”.

(5)西班牙

[0.2475,0.2225,0.31,0.22,0]

取數(shù)值最大的評(píng)語(yǔ)作為綜合評(píng)價(jià)結(jié)果，則西班牙評(píng)判結(jié)果為“防控效果一般”.

2 模型的建立

假設(shè)1

(1)設(shè)未感染者、感染者、治愈者、死亡者所占比例分別為s(t),y(t),r(t),q(t),這里

s(t)+y(t)+r(t)+q(t)=1.

(2)設(shè)病人的日接觸率為λ，即每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)，日治愈率為μ(治愈人數(shù)占病人總數(shù)的比例)，傳染病死亡率為m，即死亡人數(shù)占病人總數(shù)的比例.

假設(shè)人群中總?cè)藬?shù)N不變，不考慮出生和自然死亡因素.

首先給時(shí)間t一個(gè)增量Δt，考慮在Δt內(nèi)增加的病人數(shù)及減少的未感染者、治愈者及死亡者人數(shù)，則Δt內(nèi)增加的病人數(shù)為

N[y(t+Δt-y(t)]=λNy(t)s(t)Δt-μN(yùn)y(t)Δt-Nmy(t)Δt

(1)

Δt內(nèi)減少的未感染者

N[s(t+Δt)-s(t)]=-λNy(t)s(t)Δt

(2)

Δt內(nèi)減少的治愈者

N[r(t+Δt)-r(t)]=μN(yùn)y(t)Δt

(3)

Δt內(nèi)減少的死亡者

N[q(t+Δt)-q(t)]=Nmy(t)Δt

(4)

將式(1)～(4)兩端除以Δt，消去N，取極限得

(5)

實(shí)證選取數(shù)據(jù)總?cè)藬?shù)N=60000000，以2020年5月27日國(guó)家衛(wèi)健委官網(wǎng)發(fā)布的新冠肺炎數(shù)據(jù)作為未感染者比例r(t)、s(t)、感染者比例y(t) 、治愈者比例r(t)、治愈者比例r(t)的初始值，即s(0)，y(0)，r(0)，q(0) 分別為0.999976，0.000014，0.0000006，0.0000004.根據(jù)1月27日～5月26日國(guó)家衛(wèi)健委官網(wǎng)發(fā)布的實(shí)際數(shù)據(jù)，可知1月27日～5月26日的平均治愈率為0.94318，平均死亡率為0.05584.由此賦值日治愈率μ=0.94318，死亡率m= 0.05584，預(yù)測(cè)天數(shù)t= 180 d.根據(jù)改進(jìn)的SIR模型方程(5).

3 模型檢驗(yàn)及評(píng)價(jià)

選取中國(guó)5月21日～5月25日5天的感染者人數(shù)，死亡人數(shù)和治愈人數(shù).與表1所列數(shù)據(jù)變化與圖3曲線進(jìn)行比照.

表1

根據(jù)比較可以看出，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)相差不大，較為吻合.模糊綜合評(píng)判方法可以避免憑經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行目標(biāo)選擇所固有的主觀性.使并購(gòu)決策更加科學(xué)合理.SIR模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可操作性強(qiáng)，適用于描述疾病發(fā)展的整體趨勢(shì)[3-4].因疫情傳播實(shí)際過(guò)程中日接觸率、治愈率變化較快，且還有其他因素也在變化，因此改進(jìn)的SIR模型相對(duì)來(lái)說(shuō)還比較理想化，后續(xù)還需進(jìn)一步改進(jìn).所選取的國(guó)家有較大的主觀性，缺少更為客觀的篩選模式.