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    二階隨機(jī)占優(yōu)約束下考慮訂購能力的多產(chǎn)品報童問題

    2020-03-07 02:01:28付永彬孫海琳
    工程數(shù)學(xué)學(xué)報 2020年1期
    關(guān)鍵詞:報童收斂性樣本量

    付永彬, 孫海琳

    (南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,南京 210023)

    1 引言

    經(jīng)典報童問題即單周期庫存問題(Single-Period Problem, SPP),其研究對象為生命周期短、易腐蝕、訂貨機(jī)會只有一次的產(chǎn)品,主要研究其訂貨問題和庫存決策問題,是供應(yīng)鏈管理中最重要的模型之一.隨著生產(chǎn)和銷售的復(fù)雜化,學(xué)者們將經(jīng)典的報童模型擴(kuò)展為多產(chǎn)品報童模型(Multi-Product Newsvendor Problem, MPNP),通過在各種產(chǎn)品之間合理分配有限的資源,使報童總的期望利潤最大或損失最?。?/p>

    Whitin[1]首次建立了受價格影響的報童模型;Khouja[2]對報童問題的擴(kuò)展模型做了分類說明;Mitra[3]以單產(chǎn)品報童問題為背景,將產(chǎn)品的殘值、清倉價格均視為決策變量,分別就季節(jié)性需求和季末需求是否外生和隨機(jī)建立了三個模型.Kyparisis 和Koulamas[4]分析了非負(fù)線性可加需求對單產(chǎn)品報童問題訂價敏感度的影響.Wu 等[5]研究了單產(chǎn)品的報童博弈問題,提出了兩種數(shù)量競爭的需求分割規(guī)則,包括需求分配比例規(guī)則和需求再分配規(guī)則.Wang 等[6]考慮單產(chǎn)品報童模型,分別對風(fēng)險中性和風(fēng)險厭惡下隨機(jī)供應(yīng)對最優(yōu)訂貨量的影響進(jìn)行了研究.Mohammad 和Shokri[7]考慮風(fēng)險厭惡條件下,以CVaR 為風(fēng)險度量的多產(chǎn)品選擇問題.Farahat 和Leeb[8]考慮在一般選擇規(guī)范下,即包含替代、互補(bǔ)、多單位訂購、缺貨、庫存等情形,建立了客戶的對產(chǎn)品選擇模型.Shi 等[9]討論了供應(yīng)商數(shù)量折扣合同下,多產(chǎn)品多約束的聯(lián)合訂價及最優(yōu)訂購量問題;Murray 等[10]主要研究在資源能力有限條件下,報童的多產(chǎn)品訂價問題;周繼祥[11]分別討論了訂貨無約束下、供應(yīng)商隨機(jī)生產(chǎn)約束下、資金約束下報童模型的顯式解;陳杰等[12]對具有多元馬氏需求特征的多產(chǎn)品庫存報童模型的優(yōu)化問題進(jìn)行了探討;Ma 等[13]針對需求可替代的多產(chǎn)品報童問題研究了其最優(yōu)產(chǎn)品組合及最優(yōu)訂貨量的聯(lián)合決策問題.

    在現(xiàn)實中大多數(shù)零售商是風(fēng)險厭惡的,針對需求的不確定性所帶來的風(fēng)險,許多學(xué)者采用不同的模型進(jìn)行研究.張艷霞等[14]對定常風(fēng)險下具有不同風(fēng)險偏好組合決策者的報童問題進(jìn)行了風(fēng)險分析;簡惠云和許民利[15]針對風(fēng)險規(guī)避和風(fēng)險偏愛兩種情況,分別建立不同訂購量和風(fēng)險水平下的條件風(fēng)險值模型,考慮缺貨成本,在一定條件下,得到任意風(fēng)險水平下的VaR 解析表達(dá)式;周艷菊等[16]運(yùn)用前景理論,針對需求不確定條件下的兩產(chǎn)品訂貨問題進(jìn)行了分析;Zhang 等[17]分別采用VaR 和CVaR 對單周期和多周期報童問題進(jìn)行建模.

    隨機(jī)占優(yōu)(Stochastic Dominance, SD)是風(fēng)險管理的一種理論方法,已經(jīng)廣泛用于經(jīng)濟(jì)、管理學(xué)和金融學(xué)領(lǐng)域.Hadar 和Russel[18]首次提出隨機(jī)占優(yōu)的理念;Fishburn[19]整理出隨機(jī)占優(yōu)理論,并將隨機(jī)占優(yōu)理論應(yīng)用于組合投資問題.作為一種重要的隨機(jī)占優(yōu)方法,SSD 可用來描述風(fēng)險規(guī)避型投資者的行為.Dentcheva 和Ruszczyski[20]首次提出帶有SSD 約束的隨機(jī)優(yōu)化模型,他們通過引入新的變量把該問題重新構(gòu)造成一個線性約束優(yōu)化問題;Dentcheva 和Ruszczyski[21]分析了該問題的最優(yōu)性與對偶性等問題;Homem-De-Mello 和Mehrotra[22]結(jié)合了割曲面算法與樣本均值逼近(SAA)方法來求解帶SSD 約束的隨機(jī)優(yōu)化問題;Sun 等[23]用光滑的罰函數(shù)SAA 方法來求解該問題;Rudolf 和Ruszczyski[24],F(xiàn)bin 等[25]分別采用切平面算法來求解帶SSD 約束的隨機(jī)優(yōu)化問題;Sun 等[26]進(jìn)一步將切平面法改進(jìn),更適宜解決大量非線性約束的凸優(yōu)化問題;Yang 等[27]將SSD 應(yīng)用于供應(yīng)鏈系統(tǒng),研究了多制造商多零售商之間最大化利潤的交叉訂購與定價問題;羅曉琴等[28]將二階隨機(jī)占優(yōu)理論應(yīng)用于保險資金資產(chǎn)組合優(yōu)化;吳敏等[29]考慮偏度因素,建立了SSD 約束下最大化組合收益率偏度的投資組合優(yōu)化模型;張宏偉等[30]采用SSD 理論對投資組合問題進(jìn)行建模,并通過遺傳算法求解;楊柳和申飛飛[31]通過引入交易費(fèi)用函數(shù),建立帶有SSD 約束的投資組合風(fēng)險控制模型.

    在隨機(jī)規(guī)劃問題中,隨機(jī)變量未知.SAA 是一種經(jīng)典的、實用的估計隨機(jī)變量分布的方法.該方法利用隨機(jī)變量的經(jīng)驗分布去近似其真實分布,有著深厚的理論基礎(chǔ)、良好的可操作性和應(yīng)用價值,在學(xué)術(shù)界已被廣泛論證和使用[32].進(jìn)一步,SAA 在報童問題中也是常用的方法[17],部分原因是報童問題的零售商可以比較方便地根據(jù)以往銷售情況獲得產(chǎn)品需求的各項信息作為SAA 問題的樣本.這樣的樣本具有真實、利用率高等優(yōu)勢.

    多產(chǎn)品報童問題涉及庫存管理、風(fēng)險管理、供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)等多個領(lǐng)域.隨著風(fēng)險控制領(lǐng)域的不斷發(fā)展,將新的風(fēng)險測度應(yīng)用于報童模型既能體現(xiàn)新的風(fēng)險測度的優(yōu)越性,又能對經(jīng)典模型帶來新的思路和啟發(fā).本文建立了帶有隨機(jī)二階占優(yōu)約束的多產(chǎn)品報童模型,主要貢獻(xiàn)如下:

    1) 本文首次將SSD 與報童問題相結(jié)合,建立了帶有SSD 約束的多產(chǎn)品報童模型,考慮了在SSD 約束及訂購能力約束下零售商的最優(yōu)訂購策略;

    2) 本文采用SAA 方法對帶有SSD 約束的多產(chǎn)品報童模型進(jìn)行逼近,并對SAA 逼近問題進(jìn)行收斂性分析;繼而采用切平面法[26]對SAA 問題進(jìn)行求解.?dāng)?shù)值實驗的結(jié)果既驗證了SAA 問題的收斂性,同時又說明了SSD 模型的優(yōu)越性.

    2 SSD約束下的報童模型

    2.1 模型介紹及參數(shù)設(shè)定

    鑒于零售商總是同時訂購和銷售多種產(chǎn)品,本文考慮對零售商在單周期內(nèi)對多種產(chǎn)品銷售的報童問題進(jìn)行建模.現(xiàn)實中零售商往往不會把所有資金都應(yīng)用于產(chǎn)品訂購,或者出現(xiàn)零售商訂購能力有限,或資本難以周轉(zhuǎn)等其他情形,所以本文設(shè)定訂購能力約束;同時又借助SSD 來規(guī)避風(fēng)險.假設(shè)各種產(chǎn)品之間互不相關(guān),不考慮訂貨提前期且貨源充足.產(chǎn)品的零售價格由市場決定,為已知量;訂購價格和殘值由供應(yīng)商決定,為已知量;產(chǎn)品市場需求為隨機(jī)變量.零售商需要在銷售季到來之初,確定各種產(chǎn)品的訂購量,以期獲得最大利潤.

    設(shè)共有M 種產(chǎn)品,對第m(m=1,2,··· ,M)種產(chǎn)品:訂購量為xm, xm∈R+;市場需求為Dm, Dm: ? → Ξm是定義在概率空間(?,F,P)上的隨機(jī)變量,分別為單位銷售價格、單位訂購價格、單位殘值,且pm>cm>vm>0.令

    則在當(dāng)期對于第m 種產(chǎn)品,零售商的銷售量為min(xm,Dm);庫存量為xm?min(xm,Dm);銷售收入為pmmin(xm,Dm);未賣出產(chǎn)品的殘值為vm[xm?min(xm,Dm)];訂購成本為cmxm.所以第m 種產(chǎn)品的利潤為

    M 種產(chǎn)品的總利潤為

    由于min(a,b)=a ?(a ?b)+,其中(a ?b)+=max(a ? b,0),上式可化簡為

    設(shè)J(x,D)=?G(x,D)表示損失函數(shù).在訂購能力約束下最小化期望損失的報童模型為

    其中α 為常數(shù),該模型也稱作風(fēng)險中性模型.

    2.2 SSD約束下的報童模型

    在現(xiàn)實中大部分投資者是風(fēng)險厭惡的,而問題(1)未考慮風(fēng)險因素對報童的影響.如前文所述SSD 可用來描述風(fēng)險規(guī)避型投資者的行為,因此,本節(jié)引入SSD 約束,構(gòu)建帶有SSD 約束的風(fēng)險規(guī)避型報童模型.

    首先介紹SSD 的定義:設(shè)X(ω), Y(ω)分別為隨機(jī)變量ω 的兩個函數(shù),其累積分布函數(shù)分別為FX(ω)(η)和FY(ω)(η),即FX(ω)(η)=P(X(ω)≤ η).令若滿足

    則稱X(ω)一階隨機(jī)占優(yōu)于Y(ω),記作X(ω)?1Y(ω).令

    若滿足

    式(2)中Y(D)為基準(zhǔn)隨機(jī)變量.由SSD 性質(zhì)(文獻(xiàn)[20]中的2.6,2.7 式),可知問題(2)等價于

    由于問題(3)不滿足Slater 約束規(guī)范,所以考慮其松弛問題

    稱問題(4)為真問題,這里[a,b]是R 中一個有界閉區(qū)間.

    3 SAA方法及其收斂性分析

    本節(jié)研究真問題(4)的SAA 問題.設(shè)隨機(jī)變量D 的獨立同分布樣本為為方便起見,令Yi=Y(di),則其SAA 問題為

    接下來給出SAA 問題(5)的收斂性分析.

    3.1 幾乎處處收斂

    帶有SSD 約束的優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件已被Dentcheva 和Ruszczyski[20,21,33]證明.關(guān)于該問題的SAA 問題的收斂性在文獻(xiàn)[23,26,34]中也給了出來.這里根據(jù)報童問題的特點,利用前述文獻(xiàn)的結(jié)果,證明了帶有SSD 約束的多產(chǎn)品報童問題的SAA 問題的收斂性.

    為簡化符號,令p(a)=max(0,a),則有

    命題1假設(shè)存在點x0∈X, η0∈[a,b],使得

    那么,我們有:

    (i) 對任意的x ∈ X, η ∈ [a,b],f(x)和h(x,η)是有定義的;J(x,D), G(x,D)關(guān)于 x 全局 Lipschitz 連續(xù),Lipschitz 系數(shù)為

    (ii) f(x)和h(x,η)關(guān)于x 是全局Lipschitz 連續(xù)的,Lipschitz 系數(shù)為k;且h(x,η)關(guān)于η 也是全局Lipschitz 連續(xù)的.

    證明 對于結(jié)論(i),由G(x,D)的顯式表達(dá)式可知,對xm, m=1,2,··· ,M,有

    故而J(x,D), G(x,D)關(guān)于x 的Lipschitz 系數(shù)為

    對于結(jié)論(ii),由(i)可知,f(x)和h(x,η)關(guān)于x 是全局Lipschitz 連續(xù)的,Lipschitz系數(shù)為k.又因為H(x,η,D)關(guān)于η 是全局Lipschitz 連續(xù)的,即

    表明h(x,η)關(guān)于η 也是全局Lipschitz 連續(xù)的.

    假設(shè)1問題(4)滿足一致占優(yōu)條件(Slater 約束規(guī)范),即存在x0∈X,使得

    SAA 問題(5),可以寫成如下形式

    設(shè)問題(6)的最優(yōu)值是zN,接下來證明隨樣本量N 的增加,zN收斂于真問題(4)的最優(yōu)值,將樣本均值逼近寫成特定的概率測度

    在隨機(jī)規(guī)劃中,PN被稱為經(jīng)驗概率測度.據(jù)此將(6)式改寫為

    在進(jìn)行收斂性分析之前定義以下幾個符號:設(shè)P(?)表示所有Borel 概率測度的集合;定義函數(shù)集

    定義PN到P 的偽距離

    由于H(x,η,·)和J(x,·)是連續(xù)的,且X 和[a,b]是緊集,所以PN, P ∈ PG(?)且D(PN,P)<∞.

    定理1設(shè):

    (i) 假設(shè)1 成立;

    (ii) 命題1 的條件成立及X 是緊集,則:

    1) 對于問題(6)的最優(yōu)值函數(shù)V(PN),當(dāng)N →∞時,w.p.1 滿足

    2) 若另有:

    (iii) 對任意的x ∈X,當(dāng)t 趨向于0 時,廣義矩函數(shù)

    有界,則對任意小的正數(shù)γ,存在正整數(shù)N?和獨立于N 的正實數(shù)C(γ), β(γ),使得當(dāng)N ≥N?時,滿足

    繼而由文獻(xiàn)[23]定理3.1 的結(jié)論(i)和文獻(xiàn)[34]定理2.7 的結(jié)論(iii)可知,存在正整數(shù)L?>0,使得w.p.1

    又由命題1 和文獻(xiàn)[23]命題3.1 可知,當(dāng)N →∞時,有D(PN,P)→0,所以有

    對于(9)式,在命題1 及假設(shè)1 的條件下,由文獻(xiàn)[34]定理2.7 的結(jié)論(ii)可知Sopt(·)在P 處上半連續(xù).結(jié)合文獻(xiàn)[23]命題3.1 可知

    對于(10)式,在條件(iii)下,由命題1 和文獻(xiàn)[23]命題3.2 可知,對任意小的正數(shù)γ ≤ L???,存在正整數(shù)N?和獨立于N 的正實數(shù)C(γ), β(γ),當(dāng)N ≥ N?時

    結(jié)合文獻(xiàn)[34]定理2.7 的結(jié)論(iii),有

    4 數(shù)值實驗

    由于問題(5)是半無限問題,難以求解,所以考慮在特定條件下將其轉(zhuǎn)化為有限問題,即考慮其以下等價形式.

    假設(shè)2隨機(jī)變量Y(D)的支持集Y ?[a,b].

    在假設(shè)2 下,由文獻(xiàn)[20]的命題3.2 可知問題(5)等價于

    稱問題(5)與問題(11)均為SAA 問題.由于問題(5)與(11)的等價性,所以在以下部分以(11)為研究對象.

    4.1 切平面算法

    Sun 等[26]改進(jìn)的切平面法適用于解決多個非線性復(fù)雜約束的隨機(jī)優(yōu)化問題,這里采用該方法求解問題(11).

    算法1

    第1 步令迭代次數(shù)t=0,誤差?=10?5,令S0={x|0 ≤ cTx ≤ α};

    第2 步解決線性規(guī)劃問題

    若問題(12)無可行解,則原問題無可行解;否則,設(shè)問題(12)的最優(yōu)解為xt.

    第3 步找到,使得

    其實質(zhì)是找到眾多約束中違反度最大的約束.構(gòu)造索引集

    第 4 步若停止,是最優(yōu)解;否則,構(gòu)造切平面

    轉(zhuǎn)到第2 步.

    4.2 實驗及結(jié)果分析

    本節(jié)考慮零售商需要在銷售季進(jìn)行五種產(chǎn)品的交易,即零售商需要在期初確定五種產(chǎn)品的訂購量以期獲取最大利潤.假定五種產(chǎn)品的需求服從不同自由度的χ2分布

    在此基礎(chǔ)上設(shè)置三個示例,例1 采用模型(1)為參照進(jìn)行樣本內(nèi)實驗,對SSD 模型的收斂性進(jìn)行驗證.例2 在模型(1)為參照下,進(jìn)行樣本外累計預(yù)測.例3 以均值-方差(MV)模型為參照模型,進(jìn)行樣本外累計預(yù)測.MV 模型即以最小(大)化隨機(jī)損失(利潤)的期望為目標(biāo)函數(shù),以隨機(jī)函數(shù)的方差來度量風(fēng)險.對于報童問題帶有訂購能力約束的MV模型為

    其中μ為常數(shù),該模型也是風(fēng)險厭惡模型.由于參照模型的最優(yōu)解也屬于緊集X,所以參照隨機(jī)變量Y(D)的支持集有界,假設(shè)2 成立,從而SAA 問題(5)與(11)等價,這里采用算法1 求解問題(11).

    例1SSD 模型收斂性分析數(shù)值實驗

    設(shè)資金約束α = 3.5,樣本量取10000,求得模型(1)的最優(yōu)解,作為SSD 模型的參照.然后在SSD 模型的求解中,樣本量依次設(shè)為100、1000、2000、3500、5500.每個樣本量下進(jìn)行30 次實驗,其結(jié)果如圖1 所示,圖中每一個垂直區(qū)間表示在對應(yīng)樣本量下30 個最優(yōu)解的范圍.該圖顯示了SSD 模型下最優(yōu)解隨樣本量增大而逐漸收斂的特性.

    圖1: 例1 隨樣本量增加SAA 問題的收斂性

    例2以模型(1)為參照的SSD 模型樣本外累計預(yù)測

    假設(shè)零售商在有限購買能力下訂購商品并出售,而后將利潤累計到資本,直到最優(yōu)訂購量的金額不受資本約束為止.樣本量N 取3000,初始資本設(shè)為0.7,在此條件下,本例在每輪訂購下均進(jìn)行10 次抽樣,求得樣本外預(yù)測的利潤均值,以該均值作為資本累計,經(jīng)過5 輪累計之后,累計資本大于最優(yōu)訂購量下的成本,停止累計.

    本例資本累計的步驟如下:

    步驟1在相同初始資本下,模型(1)與SSD 模型各自以其最優(yōu)訂購策略實現(xiàn)其預(yù)期利潤;

    步驟2模型(1)以其自身利潤為累計資本,求得最優(yōu)解;

    步驟3模型(1)以SSD 模型利潤為累計資本,求得最優(yōu)利潤作為基準(zhǔn);在該基準(zhǔn)下,SSD 模型以其自身利潤為累計資本,求得最優(yōu)解;

    步驟4返回步驟2.

    表1 和圖2 均說明,在同樣的樣本下,平均利潤SSD 模型優(yōu)于模型(1).圖3 顯示了第四次樣本外累計預(yù)測10 次抽樣的結(jié)果,此時在訂購能力約束下,SSD 模型下的利潤高于模型(1),這就使得在SSD 模型下,零售商可實現(xiàn)以更快的速度達(dá)到累計資本的目的,以擺脫訂購能力約束.圖4 顯示了第五次樣本外累計預(yù)測10 次抽樣的結(jié)果,表明當(dāng)累計資本充足,即零售商不再受訂購能力約束時,SSD 模型能夠以更少的投資獲得更大的利潤.

    圖2: 例2 樣本外累計預(yù)測平均利潤差

    圖3: 例2 第四次預(yù)測

    圖4: 例2 第五次預(yù)測

    例3以MV 模型為參照的SSD 模型樣本外累計預(yù)測

    采用例2 的資本累計步驟,以MV 模型為參照,設(shè)μ=0.3,所得結(jié)果如表2、圖5 至圖7 所示.

    表2、圖5 至圖7 表明,樣本外累計預(yù)測下,SSD 模型的利潤優(yōu)于MV 模型,且這種占優(yōu)趨勢隨著資本累計越來越明顯.其中圖6 和圖7 分別為第四次、第五次樣本外10 次抽樣的利潤.

    表2: 例3 樣本外累計預(yù)測

    圖5: 例3 樣本外累計預(yù)測平均利潤差

    圖6: 例3 第四次預(yù)測

    圖7: 例3 第五次預(yù)測

    5 總結(jié)

    本文以單周期多產(chǎn)品報童問題為背景,在訂購能力約束及SSD 約束下進(jìn)行建模.對SAA 問題進(jìn)行收斂性分析并通過切平面法對SAA 問題進(jìn)行求解.以風(fēng)險中性模型(模型(1))及風(fēng)險厭惡模型(MV 模型)為參照下,通過樣本外預(yù)測表明了SSD 模型的優(yōu)越性.SSD 模型具有良好的風(fēng)險規(guī)避性,決策者可以該模型的訂購策略作為自身決策的評價和基準(zhǔn),具有重要的現(xiàn)實意義.基于本文的研究可以繼續(xù)探討多產(chǎn)品多周期的情形,以及風(fēng)險厭惡條件下多級供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)等.

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