廣義Tanh函數(shù)法中Riccati方程和sine-Gordon方程的新解及其新應(yīng)用

林府標(biāo), 張千宏

(貴州財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院，貴陽 550025)

1 引言

1.1 Riccati方程(1)的已知顯式解析解

物理或工程等中的數(shù)學(xué)模型通常可歸結(jié)為偏微分方程，這些方程的各種性質(zhì)，如顯式解析解等，特別是行波解可以很好的描述各種物理現(xiàn)象，如振動、傳播等．但由于非線性偏微分方程的復(fù)雜性和多樣性，至今仍有大量的重要方程無法求出顯式解析解，即使已經(jīng)求出顯式解析解，也各有各的技巧和方法，至今仍沒有一般統(tǒng)一的解析求解方法．

直接構(gòu)造非線性偏微分方程解析解最有效的方法之一為Tanh 函數(shù)法[1–3]，其算法的基本原理基于絕大部分有物理意義的非線性偏微分方程的行波解都可以表示成Tanh 函數(shù)的多項(xiàng)式，而廣義的Tanh 函數(shù)法[1–3]核心思想是充分利用帶有一個(gè)參數(shù)b 的Riccati 方程

進(jìn)行反復(fù)計(jì)算，將含φ 的所有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)轉(zhuǎn)化成關(guān)于φ 的代數(shù)多項(xiàng)式，因此非線性偏微分方程的精確求解問題就可以轉(zhuǎn)化成代數(shù)多項(xiàng)式方程根的探討問題，從理論上說，求解一個(gè)非線性代數(shù)方程或方程組總比求解一個(gè)非線性偏微分方程相對容易．另外，利用Riccati 方程(1)的一個(gè)好處是參數(shù)b 的符號可以判斷所得行波解的數(shù)量和形狀．

眾所周知Riccati 方程(1)具有三角函數(shù)和有理函數(shù)類型的顯式解析解[3]．事實(shí)上用Matlab 易驗(yàn)證Riccati 方程(1)更具有表1 中的三角函數(shù)和有理函數(shù)類型的一般解．

表1: 帶參數(shù)b 的Riccati 方程(1)的解，其中c1 ∈R, i2 =?1

另外，文獻(xiàn)[4]給出了Riccati 方程(1)的十二種類型的顯式精確解，為了方便研究和應(yīng)用，將其結(jié)果列于表2．

表2: 帶參數(shù)b 的Riccati 方程(1)的解，其中ε=±1, i2 =?1

1.2 Riccati方程(1)的新顯式解析解

為了利用廣義Tanh 函數(shù)法結(jié)合Matlab 符號運(yùn)算和吳消元法構(gòu)造非線性偏微分方程多種形式的新行波解，在文獻(xiàn)[4]的工作基礎(chǔ)上運(yùn)用試探函數(shù)法結(jié)合Matlab 計(jì)算找到了Riccati 方程(1)的八種類型的新顯式解析解，其結(jié)果列于表3．

表3: 帶參數(shù)b 的Riccati 方程(1)的新解，其中ε=±1,a1,a2 ∈R

2 Tanh函數(shù)法結(jié)合Riccati方程的新解求sine-Gordon方程的新行波解

sine-Gordon 方程[5]

不僅具有豐富的物理與幾何背景以及悠久的歷史，而且具有許多有趣的現(xiàn)象，因而成為無窮維動力系統(tǒng)中的一個(gè)重要的模型．sine-Gordon 方程(2)最早是從一類實(shí)際問題歸結(jié)為Gauss 曲率K = ?1 的曲面幾何研究中得到的[5]，可用于描述Josephson 傳輸線中的磁通量子[6]、共振介質(zhì)中的超短脈沖傳播[7]等．后來發(fā)現(xiàn)它在非線性光學(xué)、生物物理、離子物理、非線性晶格和超導(dǎo)物理的Josephson 結(jié)構(gòu)等物理領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用[5,8–12]．由于經(jīng)典sine-Gordon 方程(2)與流體中的淺水波方程有相似的波動性質(zhì)，所以也稱為非線性波動方程．

目前為構(gòu)造sine-Gordon 方程的精確解已發(fā)展了許多解析求解的方法[5,8–11,13,14]．齊次平衡法也稱擬解法，也是構(gòu)造非線性偏微分方程行波解的一種有效方法[3,15–17]．為了探求sine-Gordon 方程的行波解，作變換

把(3)代入(2)得約化二階非線性常微分方程為

注意到(3)，進(jìn)一步假設(shè)約化方程(4)的解的表達(dá)式為

從而通過計(jì)算得

因此，約化方程(4)轉(zhuǎn)化成

根據(jù)Tanh 函數(shù)法[1–3]的關(guān)鍵思想，v′′與v3需平衡，于是可假設(shè)方程(6)的解的表達(dá)式為

其中φ 滿足Riccati 方程(1)，并且將其代入(6)得關(guān)于φ 的多項(xiàng)式函數(shù)方程，令φj(j =0,1,2,3,4)的系數(shù)為零得關(guān)于d0,d1,b 的非線性代數(shù)方程組

利用計(jì)算機(jī)代數(shù)中的吳消元法[18]，結(jié)合Matlab 編程計(jì)算解得

注意到b < 0，應(yīng)用表1 至表3 中Riccati 方程(1)的相應(yīng)解且取得到方程(6)的許多解，其結(jié)果列于表4．因此，sine-Gordon 方程(2)的行波解或函數(shù)(5)的具體解析表達(dá)式為

其中 vj(j =1,2,··· ,12)，見表4．

表4: 方程(6)的解，其中b=?, α >0, ε = ±1, c1,a1,a2 ∈ R

表4: 方程(6)的解，其中b=?, α >0, ε = ±1, c1,a1,a2 ∈ R

v1 =?tanh(√?bξ+c1)v7 = 5?4 cosh(2√?bξ)3+4 sinh(2√?bξ)v2 =?coth(√?bξ+c1)v8 = ?2√√tanh(2 ξ)+coth(?b ?b v3 = ?[tanh(2√2 ξ)?bξ)+iεsech(2√?bξ)]v9 = a1?e2√?bξ a1+e2√?bξ v4 = ?[coth(2√ √?bξ)+ εcsch(2√?bξ)]v10 =a21+a22?a1 cosh(2√a1 sinh(2√ ?bξ)?bξ)+εa2 v5 =?1α?bξ)?1 v6 = 2√2 ξ)+coth(√?b[tanh(√2 ξ)]v11 = tanh(√?b √ ?bξ)+2a1b√2 a1?b tanh(√α[b?√?b tanh(√v12 = ?(a1 sinh(2√?bξ)]?b tanh(√1+√a22?a21)?bξ)+ε√?bξ)a1 cosh(2√?bξ)+a2

另外，運(yùn)用試探函數(shù)法結(jié)合Matlab 編程計(jì)算發(fā)現(xiàn)約化方程(6)有指數(shù)函數(shù)類型的解因此得sine-Gordon 方程(2)的解或(5)的解析表達(dá)式為

下面對約化方程(4)做一些簡化和變換，令變換f = 2ω，這里f 是方程(4)的解，則約化方程(4)重新改寫成

在方程(9)兩邊同時(shí)乘以ω′，得

然后積分一次可得

作為變換(10)的特殊情況，令α=?1, c1=0，且在方程(10)中取正號可得

利用分離變量法得方程(11)的一般解和相關(guān)恒等式為

特別地，取λ=1，有

類似地，取α=1, c1=1，且在方程(10)中取正號得

類似前一種情況運(yùn)用分離變量法可得方程(12)的通解和相應(yīng)恒等式為

特別地，取λ=1，得到

所以，注意到(3)和變換f =2ω，得方程(2)的相應(yīng)行波解為

注意到在表3 中帶參數(shù)b 的Riccati 方程(1)的新解在文獻(xiàn)[4]中沒有給出，sine-Gordon 方程(2)的顯式行波解(7),(8),(13)和(14)在文獻(xiàn)[3,5–11,13,14]中也沒有給出．sine-Gordon 方程(2)的行波解(14)的空間圖像，見圖1(a)所示，而該行波解的u 在ξ?u 平面上的平面圖像，見圖1(b)所示，這里參數(shù)λ=1．

圖1: sine-Gordon 方程(2)的行波解(14)，參數(shù)λ=1

變換(10),(11)和(12)分別是約化方程(4)的簡化變換形式，而約化方程(4)相應(yīng)這些變換的顯式解析解分別為(7),(8),(13)和(14)．作為一種應(yīng)用，它們可以用于求解非線性偏微分方程

假設(shè)方程(15)的行波解的表現(xiàn)形式可以寫成

這里ξ =x?αt, aj,α ∈ R(j =0,1,··· ,n)，而ω 滿足變換方程(10)或(11)或(12)，n 為一正整數(shù)，可以通過平衡方程(15)的非線性項(xiàng)和最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)得到，而α, a0,a1,··· ,an為待定實(shí)參數(shù)．將(16)代入(15)并令sinjω, sinjω coskω 或cosjω (j,k = 0,1,···)的系數(shù)為零可以得到關(guān)于α, a0,a1,··· ,an的代數(shù)多項(xiàng)式方程組，利用吳消元法[18]結(jié)合Matlab 編程計(jì)算，由此可解得待定實(shí)參數(shù)α, a0,a1,··· ,an．

雖然正余弦函數(shù)法或三角函數(shù)法[19,20]與Tanh 函數(shù)法[3]的關(guān)鍵思想基本類似，但對探求一些非線性偏微分方程的精確解，廣義的正余弦函數(shù)法或三角函數(shù)法(16)往往比Tanh 函數(shù)法更簡潔，下面通過探討KdV 方程(17)的新行波解來具體體現(xiàn)．

3 正余弦函數(shù)法結(jié)合sine-Gordon方程的新解求KdV方程的新行波解

眾所周知，KdV 方程

是非線性數(shù)學(xué)物理中的一個(gè)基本流體模型方程，主要用于描述湍流和不穩(wěn)定現(xiàn)象，它是1895 年荷蘭數(shù)學(xué)家Korteweg 和de Vries 研究淺水波運(yùn)動時(shí)提出的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，其詳細(xì)推導(dǎo)過程可查詢相關(guān)文獻(xiàn)[21]．如今不斷發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)廣泛的一類描述弱非線性作用下的波動方程，在長波近似和小的且為有限的振幅假定下，都可歸結(jié)為KdV 方程(17)，如冷等離子體的磁流體波的運(yùn)動，非諧振晶格的振動，等離子體的離子聲波，在液、氣兩種混合態(tài)的壓力波的運(yùn)動，在一個(gè)管底下部的流體的運(yùn)動，在低溫下非線性晶格的聲子波包的熱激發(fā)，在彈性杠中的縱向色散波的傳播等．

隨著KdV 方程(17)在流體力學(xué)、等離子體物理、氣體動力學(xué)等領(lǐng)域的重要應(yīng)用，也是物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家感興趣的方程之一[22]．KdV 方程(17)的行波解的探討在研究非線性物理現(xiàn)象中起著重要的作用，新的精確行波解可以幫助人們發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)象，尋找更多新的顯式解析解一直是非線性科學(xué)研究的主要內(nèi)容之一．到目前為止，僅發(fā)現(xiàn)了KdV 方程(17)一種形式的孤子解．近年來，發(fā)展了許多行之有效的構(gòu)造KdV 方程(17)精確解的方法，如齊次平衡法[23,24]，雙曲函數(shù)展開法以及廣義的Tanh 方法[3,25]，直接解法[26]等．

假設(shè) u=v(ξ), ξ =x+ct, c ∈ R 是 KdV 方程 (17)的行波解，于是 KdV 方程 (17)約化為常微分方程 cv′+vv′+ βv′′′= 0，兩邊關(guān)于變量 ξ 同時(shí)積分一次，并令積分常數(shù)為零，可得

注意到變換方程(10)和正余弦函數(shù)法(16)的求解思想，v2和v′′需平衡，從而方程(18)的解的表達(dá)式可假設(shè)為

其中aj(j =0,1,2)為待定實(shí)參數(shù)，而ω 滿足變換方程(10)．因此，由計(jì)算可知

把上式和(9)以及(10)代入(18)，利用Matlab 計(jì)算整理得關(guān)于cos ω 的三角函數(shù)方程

令cosjω(j =0,1,2,3,4)的系數(shù)為零，得關(guān)于a0,a1, a2和c 的非線性代數(shù)方程組

利用吳消元法[18]結(jié)合Matlab 計(jì)算解得a1=0,和

其中a0和c 見(19)．特別地，利用方程(4)的解(13),(14)和(8)得到KdV 方程(17)的行波解的具體顯式表達(dá)式為

注意到約化方程(4)有許多種類型的解(7)，因此，類似地利用(7)可求得KdV 方程(17)的多種形式的新行波解．在文獻(xiàn)[3,22,26]中沒有給出上述KdV 方程(17)的顯式行波解．在KdV 方程(17)中選取色散系數(shù)β = 1，其行波解(20)的空間圖像，如圖2(a)所示，而u 在ξ ?u 平面上的平面圖，如圖2(b)所示．

圖2: KdV 方程(17)的行波解(20)，色散系數(shù)β =1

4 結(jié)論與探討

本文首先利用表3 中Riccati 方程的八類新解析解結(jié)合廣義Tanh 函數(shù)法給出了一維sine-Gordon 方程的許多新行波解，該方法可用于求解其它某些非線性偏微分方程的新解，例如 Fitzhugh-Nagumo 方程 ut? uxx=u(1 ? u)(u ? a), ? 1 ≤ a ≤ 1．其次，進(jìn)一步運(yùn)用一維sine-Gordon 方程的新解、簡化的變換形式(10),(11)和(12)結(jié)合廣義正余弦函數(shù)法(16)找到了KdV 方程(17)的許多新行波解，類似地該方法可用于求解其它某些非線性偏微分方程的新解，例如BBM 方程ut+ux+uux?uxxt=0．最后，探求Riccati 方程、一維sine-Gordon 方程和KdV 方程(17)的更多新解及其應(yīng)用值得以后進(jìn)一步研究和深思．