復(fù)平面加權(quán)Banach空間及Bloch型空間上的Volterra型算子

林慶澤

（廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520）

0 引 言

用H（C）表示復(fù)平面C 上所有整函數(shù)（entire function）組成的函數(shù)空間，

對于任一g∈H（C），定義Volterra 型算子Sg如下：

與Sg相伴而生的另一個算子是：

在復(fù)平面單位圓盤上，Pommerenke[1]首次研究Tg算子在Hardy 空間H2上的有界性，并刻畫了其與BMOA 函數(shù)的指數(shù)之間的聯(lián)系.而關(guān)于Tg算子以及Sg算子在一般的Hardy空間Hp（0＜p＜∞）、Bergman 空間Ap（0＜p＜∞）以及其它一些空間（包括加權(quán)Dirichlet空間等）上的有界性和緊性的刻畫可參考文獻(xiàn)[2-8].而在整個復(fù)平面上，Constantin 在文獻(xiàn)[9]中首次研究了Tg算子在Fock 空間上的有界性和緊性.接著，Constantin 和Pelaez在文獻(xiàn)[10]中研究Tg算子在更一般的加權(quán)Fock 空間上的有界性和緊性等問題.

Lin 最近在文獻(xiàn)[11，18]中刻畫了Tg算子以及Sg算子在復(fù)平面單位圓盤上的加權(quán)Banach 空間以及Bloch 型空間上的有界性及緊性，推廣了Smith 等人在文獻(xiàn)[12]中的成果.Bonet 和Taskinen 在文獻(xiàn)[13]中研究了Tg算子在復(fù)平面上加權(quán)Banach 空間上的有界性和緊性問題，本文研究Sg算子在復(fù)平面上加權(quán)Banach 空間以及Bloch 型空間上的有界性和緊性問題，給出其充要性的刻畫.

1 預(yù)備知識

定義1如果函數(shù)v（r）:[0，＋∞）→（0，＋∞）是單調(diào)遞減的且滿足對于任意的正整數(shù)N，都有則稱函數(shù) v（r）為權(quán)函數(shù).對于復(fù)數(shù)z，定義

定義2權(quán)函數(shù)v 的關(guān)聯(lián)權(quán)（associated weight）的定義如下：

其中δz表示點z的點估值泛函.

定義3權(quán)函數(shù)v 是本性的（essential）的，如果存在C＞0 使得對于任意的z∈C，都有

一個權(quán)v 是本性的當(dāng)且僅當(dāng)存在C＞0 使得對于任意的z0∈C，存在向量使得

受文獻(xiàn)[11，15]的啟發(fā)，我們將Sg算子在復(fù)平面上加權(quán)Banach 空間以及Bloch 型空間上的有界性和緊性問題轉(zhuǎn)化為乘法算子

在對應(yīng)的復(fù)平面上加權(quán)Banach 空間的有界性和緊性問題.下面兩個引理給出了乘法算子Mg在復(fù)平面上加權(quán)Banach 空間之間的有界性和緊性的刻畫.

引理1[13]若v 和μ 都為權(quán)函數(shù)，則對于給定的g∈H（C），以下條件相互等價：

引理2[13]若v 和μ 都為權(quán)函數(shù)，則對于給定的g∈H（C），以下條件相互等價：

2 Volterra型算子Sg的有界性及緊性

在這一節(jié)里，我們將刻畫Volterra 型算子Sg在復(fù)平面上加權(quán)Banach 空間以及Bloch 型空間上的有界性和緊性的充要條件.

定理 1令 μ1和 μ2都為權(quán)函數(shù)，且存在 rφj＞0 使得 φj:＝1/μj在[rφj，∞)上屬于 C2類，其中j＝1，2.令φ'（rφj）＞0 且φj'在[rφj，∞)是單調(diào)遞增的并滿足：對于任意正整數(shù)n，都有若 μ1是本性的，則對于給定的g∈H（C），以下條件相互等價：

證明記

則μφj也是權(quán)函數(shù).由文獻(xiàn)[13]的命題3.1 及命題3.2 可知，在定理1 所給定的條件下，積 分算子以及微分算子都是有界的.同樣地，積 分 算 子以及微分算子都是有界的.由于有關(guān)系式 Sg＝TzMgDz以及 Mg＝DzSgTz，故是有界的當(dāng)且僅當(dāng)是有界的，同樣地，是有界的當(dāng)且僅當(dāng)是有界的.而由于μ1是本性的，根據(jù)引理1，是有界的當(dāng)且僅當(dāng)是有界的，當(dāng)且僅當(dāng)也就是當(dāng)且僅當(dāng)證畢.

類似于定理1 的證明過程，我們可以得到下面幾個定理.

定理 2令 μ1和 μ2都為權(quán)函數(shù)，且存在 rφj＞0 使得 φj:＝1/μj在[rφj，∞)上屬于 C2類，其中j＝1，2.令φ'（rφj）＞0 且φj'在[rφj，∞)是單調(diào)遞增的并滿足：對于任意正整數(shù)n，都有若 μ1是本性的，則對于給定的g∈H（C），以下條件相互等價：

定理3若v 和μ 都為權(quán)函數(shù)，則對于給定的g∈H（C），以下條件相互等價：

定理4 若v 和μ 都為權(quán)函數(shù)，則對于給定的g∈H（C），以下條件相互等價：