用赫爾德不等式和柯西不等式證明一類根式不等式

劉保乾

（西藏自治區(qū)組織編制信息管理中心，西藏 拉薩 850000）

用赫爾德不等式和柯西不等式對(duì)根式不等式進(jìn)行證明是比較常見(jiàn)的做法，通常是用赫爾德不等式和柯西不等式得到根式表達(dá)式的一個(gè)估計(jì)，然后用這個(gè)估計(jì)式對(duì)欲證不等式進(jìn)行放縮，從而達(dá)到證明不等式的目的.但實(shí)際上這只能證明一些較簡(jiǎn)單的不等式，對(duì)多數(shù)根式不等式直接證明會(huì)失效，此時(shí)得另想辦法.本文借助于不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012[1-3]對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行探討，提出了試探性解決算法并編寫了應(yīng)用程序，解決了大量不等式難題和遺留問(wèn)題.

1 赫爾德不等式和柯西不等式

赫爾德不等式，又稱為H?lder-Rogers 不等式，是指：設(shè)aij（i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，m）是正實(shí)數(shù)，αi（j＝1，2，…，m）是正實(shí)數(shù)，且α1＋α1＋…＋αm＝1，則

當(dāng)（a11，a21，…，an1），（a12，a22，…，an2），…，（a1m，a2m，…，anm）成比例時(shí)取等號(hào).當(dāng) m＝n＝3，時(shí)，就有下面的特例.

推論設(shè) xi，yi，zi＞0（i＝1，2，3），則有

本文中主要應(yīng)用（2）式和（3）式.

2 算法和程序

2.1 基于赫爾德不等式的算法

設(shè) Ai，Bi＞0（i＝1，2，3），對(duì)于根式型不等式

由赫爾德不等式得

如果不等式

成立，則不等式（4）獲證.如果不等式（6）不成立，此時(shí)可以通過(guò)給有關(guān)項(xiàng)乘以附加表達(dá)式的方法加以解決.例如，可以引入附加表達(dá)式Ci（i＝1，2，3），由赫爾德不等式得

如果不等式

成立，則引入附加表達(dá)式成功，即要證根式不等式（4），只需證明不等式（8）成立就可以了.

或者引入附加表達(dá)式Ci（i＝1，2，3），由赫爾德不等式得

故欲證根式不等式（4），只需證明不等式

而且不等式（8）或（9）的次數(shù)愈低，則認(rèn)為引入的附加表達(dá)式愈理想.為敘述方便，以下稱不等式（4）為欲證式，不等式（8）和不等式（9）為需證式.

由此可見(jiàn)，證明不等式（4）的關(guān)鍵是尋找附加表達(dá)式Ci，使需證式（8）或（9）成立，而這種尋找工作可以通過(guò)agl2012 程序的數(shù)據(jù)構(gòu)造命令構(gòu)造海量數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn).調(diào)用agl2012程序的隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證模塊otf 進(jìn)行測(cè)試，找出滿足（8）式或（9）式的附加表達(dá)式Ci.而且還可以在找到的附加表達(dá)式結(jié)果中，選出那些使需證式次數(shù)最低的附加表達(dá)式，從而得到最簡(jiǎn)潔的證法.根據(jù)這個(gè)思路可直接得到一個(gè)試探性驗(yàn)證算法，并編寫出應(yīng)用程序hldset.其命令格式為：

＞hldset（ex，k，setj）；

當(dāng)setj 取為集合{1}時(shí)，表示附加表達(dá)式取為C1＝C2＝C3＝1，此時(shí)（8）式退化為（6）式，表示不等式（4）可以直接用赫爾德不等式證明.

注1在實(shí)際編程時(shí)，可將待測(cè)試數(shù)據(jù)集setj 取為一個(gè)多項(xiàng)式通式，例如對(duì)于3 元4次多項(xiàng)式，這個(gè)通式可取為

然后設(shè)定系數(shù)ki在一定的范圍內(nèi)取值，用所得的多項(xiàng)式作為附加表達(dá)式逐一驗(yàn)證.如果驗(yàn)證不成立，再升高次數(shù)繼續(xù)驗(yàn)證.

注2對(duì)于開(kāi)3 次方甚至開(kāi)n 次方的根式，算法是一樣的.例如對(duì)根式不等式

其需證式為

注3對(duì)于不等式（4），還有一些變式，利用這些變式的特點(diǎn)，就可能得到次數(shù)更低的不等式.例如，對(duì)不等式

此時(shí)需證式可取為

即實(shí)際編程中要綜合考慮各種可能的情形，以覆蓋盡可能多的類型，以增加程序功能.

2.2 基于柯西不等式的算法

觀察不等式（4）可以發(fā)現(xiàn)，它是下界型不等式.那么對(duì)于上界型根式不等式

該如何破解根號(hào)呢？可以考慮用柯西不等式來(lái)解決.

對(duì)于不等式

（注意不等式（14）總是可以化為（15）的形式），若引入附加表達(dá)式W＝{W1，W2，W3}，由柯西不等式有

成立，則不等式（15）獲證.

對(duì)于不等式（14），若引入附加表達(dá)式W＝{W1，W2，W3}，由柯西不等式有

成立，則不等式（14）獲證.由此得到證明不等式（14）的算法和程序.現(xiàn)用csset 表示這個(gè)算法和程序，其命令格式為：

＞csset（ex，k，setj）；

本文重點(diǎn)關(guān)注需證式的建立過(guò)程，尤其是附加表達(dá)式的尋找過(guò)程.由于需證式本質(zhì)上是一個(gè)多項(xiàng)式不等式，而多項(xiàng)式不等式的證明目前已有多種證法可以選擇，故需證式的證明不作為討論重點(diǎn).

3 應(yīng)用舉例

例 1（陳計(jì)，https://artofproblemsolving.com/community/c6h202843）設(shè) x，y，z＞0，證明不等式

其中Σ表示循環(huán)求和（以下均同于此）.

證明不等式（18）已被陳計(jì)證明，他實(shí)際上引入了附加表達(dá)式

為了書寫簡(jiǎn)便，可以對(duì)附加表達(dá)式進(jìn)行簡(jiǎn)寫，如這里的附加表達(dá)式可簡(jiǎn)寫

為C＝{2x＋y＋z}.現(xiàn)用hldset命令進(jìn)行測(cè)試.鍵入命令：

＞read“zk.txt”；#調(diào)用提前構(gòu)造好的數(shù)據(jù)集#

＞hldset（sqrt（（x＾2＋y z）/（y＾2＋z＾2＋y z）），sqrt（6），zk）；

則輸出一系列附加表達(dá)式及對(duì)應(yīng)的需證式，以下用deg 表示需證式的次數(shù).

具體輸出結(jié)果如下：

可以看出，陳計(jì)所取的附加表達(dá)式最理想，對(duì)應(yīng)的需證不等式為

次數(shù)為9 最低，且用配方法容易證明.

如果以（9）式為算法公式，則附加表達(dá)式可取為C＝2x2＋yz，需證式為

此時(shí)deg＝12.

例22008 年，網(wǎng)友can_hang2007（越南著名不等式專家）在AoPS 上發(fā)布了主題為“hard cyclic inequality，I created it but I cannot solve it”的帖子：設(shè) x，y，z＞0，證明不等式

證明不等式（19）至今未見(jiàn)到解決.但用hldseta 命令很快找出附加表達(dá)式為C＝{x＋2z}，此時(shí)需證式為

不等式（20）可化為一個(gè)3 元11 次輪換對(duì)稱多項(xiàng)式不等式，用agl2012 程序的配方命令容易證明.

如果按（12）式對(duì)應(yīng)的算法做，則需證式為

此時(shí)deg＝8，證明自然要容易的多.

注4找到理想的附加表達(dá)式，使需證式的次數(shù)最低，這是解題過(guò)程中追求的一個(gè)目標(biāo)，但卻沒(méi)有捷徑，只有逐個(gè)命令去驗(yàn)證.

例 3設(shè) x，y，z＞0，證明不等式（https://artofproblemsolving.com/community/c6t243f6h 1116690_xyzgt0hard_and_stronger）

證明在原貼中，網(wǎng)友Crazy_LittleBoy 給出不等式（21）的一種證明.其實(shí)用hldset 命令可找到附加表達(dá)式C＝2x2＋5xy＋5xz＋yz，此時(shí)需證式為

deg＝9，用多種方法可以證明.

例 4設(shè) x，y，z＞0，x＋y＋z＝1，證明不等式

證明用csset 命令求出附加表達(dá)式可取為2x2＋2y2＋z2＋2xy.由柯西不等式，要證（22）式，只需證

利用條件x＋y＋z＝1 對(duì)這個(gè)不等式齊次化后，得到一個(gè)3 元16 次完全對(duì)稱多項(xiàng)式不等式，且是差分代換平凡的，由此得證.

例 5ΔABC 中，有不等式（Hcx19，見(jiàn)文獻(xiàn)[4]）

證明將不等式（23）代數(shù)化，得等價(jià)式

由hldset 命令找出附加表達(dá)式為C＝{x＋2y＋2z}，deg＝21.

在（23）式的證明過(guò)程中，雖然得到的需證式次數(shù)高達(dá)21，但用差分代換方法（參閱文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]）則容易證明，而不等式（23）本身是一個(gè)難度很大的不等式，用其它方法是很難證明的.

例6在ΔABC 中，證明不等式

證明 不等式（24）等價(jià)于代數(shù)不等式

取附加表達(dá)式為C＝{8x＋y＋z}，則需證式為

設(shè) x＝s－a，y＝s－b，z＝s－c，其中 s 是 ΔABC 的半周，此時(shí)（26）式等價(jià)于

用agl2012 程序可以很快給出bds 的非負(fù)分拆式，故不等式（24）獲證.

例 7設(shè) x，y，z＞0，證明不等式

證明由命令csset 得到附加表達(dá)式為y＋9z＋2x，此時(shí)需證式為

這個(gè)不等式并不容易證明.但如果取附加表達(dá)式為W＝y(tǒng)z＋xy＋xz＋x2，則由柯西不等式，只需證

由于這是基本不等式的形式，立刻就獲得了證明.

注5例7 給我們的啟發(fā)是：同樣是用柯西不等式證題，選用的附加表達(dá)式不同，使用柯西不等式的方式不同，效果大不一樣.問(wèn)題是，我們能否預(yù)先設(shè)出附加表達(dá)式的具體形式，然后通過(guò)待定系數(shù)的方法得到基本不等式的形式，或者其它我們希望得到的可以獲得證明的形式，這才是一個(gè)值得重視的研究思路和方向.

例 8設(shè) a，b，c，d＞0，證明不等式

證明這是一個(gè)四元不等式，其算法和程序與三元的完全類似.由四元的程序hldset4可找出附加式為 C＝{bd＋c（b＋d）}，需證式為

不等式（29）取分母后是一個(gè)4 元15 次對(duì)稱多項(xiàng)式不等式，易用差分代換方法證明，從而不等式（28）獲證.

4 agl2012程序證明功能補(bǔ)述

不等式自動(dòng)發(fā)現(xiàn)與判定程序agl2012 的主要功能是自動(dòng)發(fā)現(xiàn)不等式，其實(shí)它的判定證明功能也有不少，這里專門介紹如下：

1.用差分代換方法證明銳角三角形中的不等式，見(jiàn)文獻(xiàn)[7]；

2.配方（參閱文獻(xiàn)[8-10]）；

3.s-R-r 非負(fù)分拆證明（參閱文獻(xiàn)[11]）；

4.尋找已知不等式的局部對(duì)稱式；

5.誘導(dǎo)解法；

6.用hldset 和csset 等命令輔助證明根式不等式，如本文中的諸例.

上述功能說(shuō)明，agl2012 程序不僅是一個(gè)自動(dòng)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)，而且也是一個(gè)判定和證明系統(tǒng)，是一個(gè)教學(xué)和研究應(yīng)用輔助平臺(tái)，極大地方便了各種應(yīng)用.下面圍繞agl2012 程序的誘導(dǎo)解法功能舉兩個(gè)例子.

例 9設(shè) x，y，z＞0，證明不等式

證明用誘導(dǎo)解法命令ydjf 可發(fā)現(xiàn)不等式（30）的如下隔離式

（a）式等價(jià)于

（b）式等價(jià)于

故不等式（30）獲證.應(yīng)該說(shuō)這里對(duì)不等式（30）的證明是相當(dāng)巧妙的.

例10在ΔABC 中，證明不等式

其中 ra，rb，rc是 ΔABC 的旁切圓半徑.

證明不等式（31）代數(shù)化后為

作置換 x→x2，y→y2，z→z2，得

由柯西不等式，得

故要證（32）式，只需證

但由誘導(dǎo)解法命令ydjf 可發(fā)現(xiàn)不等式（33）的如下隔離式

其中（34）式左邊等價(jià)于 y2－xy＋x2－yz－xz＋z2≥0；（34）式的右邊等價(jià)于

故不等式（32）成立，由此證得不等式（31）.

5 結(jié)語(yǔ)

根式型不等式一直是不等式研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，而由本文的算法可知，根式型不等式最終可歸結(jié)為多項(xiàng)式不等式的證明.自差分代換方法引入到機(jī)器證明以來(lái)，多項(xiàng)式不等式證明取得了很大進(jìn)展，正像文獻(xiàn)[5]指出的那樣，“差分代換平凡規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，可以說(shuō)這是近期代數(shù)不等式研究最重要的成果之一”.另外配平方和，schur 分拆[12]等方法也極大地促進(jìn)了多項(xiàng)式不等式的研究.也正因?yàn)槿绱耍魏闻c有理化方法有關(guān)的研究結(jié)果格外受到關(guān)注.本文通過(guò)程序輔助尋找附加表達(dá)式的方式，利用赫爾德不等式和柯西不等式間接地實(shí)現(xiàn)了根式型不等式的有理化，從而對(duì)根式型不等式的證明有所突破.從上面的大量例子也可以看出，本文所解決的問(wèn)題多數(shù)是多年遺留的難題.事實(shí)上，自本文中的算法出現(xiàn)之后，已經(jīng)解決了數(shù)以百計(jì)的不等式難題.

最后再提兩個(gè)問(wèn)題：

1.對(duì)于有些根式不等式，我們一時(shí)還找不到附加表達(dá)式，使本文中的算法有效.例如網(wǎng)友dragonheart6 針對(duì)筆者的程序提供了陳計(jì)的如下不等式：設(shè)a，b，c＞0，則

對(duì)于這類不等式，到底是附加表達(dá)式不存在呢，還是暫時(shí)找不到它，這個(gè)問(wèn)題其實(shí)是有很深的理論意義的.

2.本文是通過(guò)試探驗(yàn)證的方法確定附加表達(dá)式的，因而效率不高，且算法被動(dòng)消極有盲目性.能否像本文注5 所說(shuō)的那樣，通過(guò)預(yù)先設(shè)出附加表達(dá)式的形式，然后用赫爾德不等式和柯西不等式寫出含有待定參數(shù)的需證式，對(duì)這個(gè)需證式的半正定性進(jìn)行研究，從而得到參數(shù)值？這的確是一個(gè)值得重視的進(jìn)一步研究思路.